Metodi Matematici – Trasformazione Zeta

Applicando l'antitrasformazione, si ottiene allora la soluzione del problema (1.3): Φ(z) = ∫[y(t) * Z(t)] dt. (1.8)

Il primo di questi due addendi dipende dall'operatore differenziale (tramite il suo polinomio risposta libera caratteristico p) e dai dati iniziali, e rappresenta la risposta libera del sistema. Il secondo addendo dipende dall'operatore e dalla funzione f, e rappresenta la risposta forzata.

Per il teorema della convoluzione discreta, Φ(z) = ∑[(F(z)) * (Z(z))] = ∑[(1/n) * p(z) * p(z)]. (1.9)

E quindi Φ(z) = ∑[(F(z)) * (Z(z))] = ∑[(1/n) * p(z) * p(z)]. (1.10)

Anche qui si può applicare il punto di vista dei sistemi lineari nel caso di dati iniziali nulli, y = 0 (da cui Φ(z) = 0 per ogni z). Si può infatti interpretare l'equazione (1.3) come un filtro discreto, a cui è associato un operatore (lineare) di risoluzione L: n → n unitario.

discreto:Si denoti con δ̄ l’impulso ∀m ∈ \ {0}.δ̄ = 1, δ̄ = 0 Z0 mSulla Trasformazione Zeta 3{f }Per = δ̄, dalla (1.10) si ottiene la risposta del sistema all’impulso unitario:n 1 1−1 −1{h } Z ∗ Z:= [L(δ̄)](z) = δ̄ = .n p(z) p(z)Z(h ) è quindi la funzione di trasferimento del sistema discreto. La (1.10)La funzione 1/p(z) = nassume quindi la forma Φ(z)−1{y } Z {H }∗{f }.= + (1.11)n n np(z)2 Equazioni di Ordine SuperioreLa trattazione precedente può essere estesa a problemi ai valori iniziali per equazioni allederivate ordinarie di ordine qualsiasi.−1 ∈ ∈ →0 2 +MSiano α , ..., α , y , ..., y C (M N, α = 0), f : R C una funzione nota, e si0 0M →+consideri il problema di trovare y : R C tale che M ∀tm α D y = f (t) > 0 m (2.1)m=0 −m my(0) = y m = 0, ..., M 1.DAnche qui fissiamo un

passo di discretizzazione h > 0, e sostituiamo le funzioni y ed f con suc-{y } {f },cessioni e e l’operatore di derivazione D con il rapporto incrementale D . L’equazionen n halle differenze finite,differenziale viene quindi sostituita da un’equazione algebrica ed il prob-lema (2.1) è sostituito da M {y } {f }m α D = m n nh (2.2)m=0 {y }] −m m= y m = 0, ..., M 1.[D n n=0h ∈ Definendo opportunamente i coefficienti a , ..., a C (a = 0) in termini dei dati α , ..., α ,0 0 0M M−10 My , ..., y , si ottiene un’equazione della formaM ∀n ≥a y = f 0, (2.3)m n+m nm=0 ∈con y , ..., y determinati dalle condizioni iniziali e dai coefficienti a , ..., a C.−10 0M MQuest’ultimo problema può essere risolto iterativamente. In alternativa, al fine di fornire{y }, {f }una rappresentazione analitica della soluzione, estendiamo le successioni agli interin nZnegativi con valore nullo,

ed applichiamo la trasformazione all’equazione (2.3). Ricordiamo che il “teorema dell’anticipo” fornisce

m−1Z({y }) Z({y }) −m m−n= z y z m = 1, ..., M. (2.4)

n+m n nn=0−12 0 My , ..., y non sono da intendersi come potenze!