Metodi Matematici – Trasformazione Zeta

Sulla trasformazione Zeta

Nota: Per la trasformazione Zeta è assolutamente necessario fare riferimento ad un testo più completo, ad esempio a quello di Marini.

Uso della trasformazione per lo studio delle equazioni alle differenze finite

Siano α, β, γ ∈ C (α = 0), y, y ∈ C, sia f : R → C una funzione nota, e si consideri il problema di trovare y : R → C tale che

∀t αy' + βy + γy = f(t) > 0 (1.1)
y(0) = y₀, y'(0) = y₁.

Per la risoluzione di questo problema ai valori iniziali si può procedere per via analitica oppure per via numerica (ovvero calcolando una soluzione approssimata mediante il computer). Nel secondo caso occorre passare da un problema a tempo continuo ad uno a tempo discreto. Fissiamo quindi un passo di discretizzazione h > 0, e sostituiamo la funzione incognita y con una successione (pensando y_n come un’approssimazione di y(nh) per ogni n) e la funzione data f con un suo campionamento. Interpolando la successione si otterrà poi un’approssimazione della soluzione y = y(t).

Inoltre sostituiamo l’operatore di derivazione D con una sua approssimazione, ad esempio il rapporto incrementale “in avanti” D_h:

D_hy_n := (y_n+1 - y_n)/h.

Quindi 

(y_n+2 - y_n+1 - y_n)/(2h) = D_h(D_hy_n) = y_n+2 - 2y_n+1 + y_n/(h²).

Pertanto il problema (1.1) è sostituito da un problema ai valori iniziali per un’equazione algebrica alle differenze finite:

∀n ≥ 0 α(y_n+2 - 2y_n+1 + y_n)/(h²) + β(y_n+1 - y_n)/h + γy_n = f_n (1.2)

y₀ = y₀, y₁ = y₀ + hy₁.

Ponendo

a := α/h², b := β/h, c := γ, otteniamo quindi

∀n ≥ 0 ay_n+2 + by_n+1 + cy_n = f_n (1.3)

y₀ = y₀, y₁ = y₀ + hy₁.

Scriviamo D_h invece di D_yn, poiché ha senso applicare l’operatore D_h ad una successione, ma non al numero y_n.

Sulla trasformazione Zeta

Quest’ultimo problema può essere risolto iterativamente: y₀ ed y₁ sono determinati dalle condizioni iniziali, y₂ è allora determinato dall’equazione per n = 0; ponendo n = 1 nella stessa equazione si determina quindi y₃, ecc.