Metodi Matematici – Trasformazione Zeta

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7. Sulla Trasformazione Zeta

Nota: Per la Trasformazione Zeta è assolutamente necessario fare riferimento ad un testo

più completo, ad esempio a quello di Marini. Z

1 Uso della Trasformazione per lo Studio delle

Equazioni alle Differenze Finite

∈ ∈ →

0 1 +

Siano α, β, γ C (α = 0), y , y C, sia f : R C una funzione nota, e si consideri il

→

+

problema di trovare y : R C tale che

 ∀t

 αy + βy + γy = f (t) > 0

 (1.1)





0 1

, y (0) = y .

y(0) = y

Per la risoluzione di questo problema ai valori iniziali si può procedere per via analitica oppure

per via numerica (ovvero calcolando una soluzione approssimata mediante il computer). Nel

secondo caso occorre passare da un problema a tempo continuo ad uno a tempo discreto.

Fissiamo quindi un passo di discretizzazione h > 0, e sostituiamo la funzione incognita y

{y }

con una successione (pensando y come un’approssimazione di y(nh) per ogni n) e la

n n {f }. {y },

funzione data f con un suo campionamento Interpolando la successione si otterrà

n n

poi un’approssimazione della soluzione y = y(t). Inoltre sostituiamo l’operatore di derivazione

1

D con una sua approssimazione, ad esempio il rapporto incrementale “in avanti” D :

h

−

y y

n+1 n

{y }

D := ;

h n h

quindi

− −

y y y 2y + y

n+1 n n+2 n+1 n

{y } {y })

2 = D (D = D = .

D n h h n h

h 2

h h

Pertanto il problema (1.1) è sostituito da un problema ai valori iniziali per un’equazione alge-

alle differenze finite

brica  − −

y y

2y + y y



 n+2 n+1 n n+1 n ∀n ≥

 α + β = f 0

+ γy

 n n

 2

h h (1.2)



 −

 y

y

 1 0

 0 1

= y , .

= y

y 0 h

Ponendo −2α/h −

2 2 2

a := α/h ( = 0), b := + β/h, c := α/h β/h + γ,

otteniamo quindi  ∀n ≥

 ay + by + cy = f 0

 n+2 n+1 n n (1.3)



 0 1

= y , y = y + hy .

y 0 1 0

{y }

1 Scriviamo D invece di D y , poichè ha senso applicare l’operatore D ad una successione, ma non al

h n h n h

.

numero y n

Sulla Trasformazione Zeta 2

Quest’ultimo problema può essere risolto iterativamente: y ed y sono determinati dalle con-

0 1

dizioni iniziali, y è allora determinato dall’equazione per n = 0; ponendo n = 1 nella stessa

2

equazione si determina quindi y , ecc..

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È spesso