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Metodi Matematici – Trasformazione Zeta

Appunti sulla materia di Metodi MatematiciTrasformazione Zeta. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Uso della Trasformazione Z per lo Studio delle Equazioni alle Differenze Finite, Equazioni di Ordine Superiore, l’uso della trasformazione di Fourier, ecc.

Esame di Metodi matematici docente Prof. U. Dardano

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Sulla Trasformazione Zeta 3

{f }

Per = δ̄, dalla (1.10) si ottiene la risposta del sistema all’impulso unitario:

n

1 1

−1 −1

{h } Z ∗ Z

:= [L(

δ̄)](z) = δ̄ = .

n p(z) p(z)

Z(h ) è quindi la funzione di trasferimento del sistema discreto. La (1.10)

La funzione 1/p(z) = n

assume quindi la forma Φ(z)

−1

{y } Z {H }∗{f }.

= + (1.11)

n n n

p(z)

2 Equazioni di Ordine Superiore

La trattazione precedente può essere estesa a problemi ai valori iniziali per equazioni alle

derivate ordinarie di ordine qualsiasi.

−1 ∈ ∈ →

0 2 +

M

Siano α , ..., α , y , ..., y C (M N, α = 0), f : R C una funzione nota, e si

0 0

M →

+

consideri il problema di trovare y : R C tale che

 M

 ∀t

m

 α D y = f (t) > 0

 m (2.1)

m=0

 −

m m

y(0) = y m = 0, ..., M 1.

D

Anche qui fissiamo un passo di discretizzazione h > 0, e sostituiamo le funzioni y ed f con suc-

{y } {f },

cessioni e e l’operatore di derivazione D con il rapporto incrementale D . L’equazione

n n h

alle differenze finite,

differenziale viene quindi sostituita da un’equazione algebrica ed il prob-

lema (2.1) è sostituito da

 M

 {y } {f }

m

 α D =

 m n n

h (2.2)

m=0

 {y }] −

m m

= y m = 0, ..., M 1.

[D n n=0

h ∈

Definendo opportunamente i coefficienti a , ..., a C (a = 0) in termini dei dati α , ..., α ,

0 0 0

M M

−1

0 M

y , ..., y , si ottiene un’equazione della forma

M ∀n ≥

a y = f 0, (2.3)

m n+m n

m=0 ∈

con y , ..., y determinati dalle condizioni iniziali e dai coefficienti a , ..., a C.

−1

0 0

M M

Quest’ultimo problema può essere risolto iterativamente. In alternativa, al fine di fornire

{y }, {f }

una rappresentazione analitica della soluzione, estendiamo le successioni agli interi

n n

Z

negativi con valore nullo, ed applichiamo la trasformazione all’equazione (2.3). Ricordiamo

che il “teorema dell’anticipo” fornisce m−1

Z({y }) Z({y }) −

m m−n

= z y z m = 1, ..., M. (2.4)

n+m n n

n=0

−1

2 0 M

y , ..., y non sono da intendersi come potenze!


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AUTORE

Sara F

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Dardano Ulderico.

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