Metodi Matematici – Trasformazione Laplace

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Università Università degli studi di Napoli Federico II

Appunto

Appunti della materia di Metodi Matematici – Trasformazione Laplace. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Trasformazione di Laplace ed Integrazione, Inversione della Trasformata di Laplace, la formula di Riemann-Fourier, Teorema integrale di Cauchy, ecc.

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Trasformazione di Laplace

Nota: Per questa parte è necessario fare riferimento ad un testo più completo, ad esempio a quello di Marini.

Questa classica trasformazione è strettamente legata a quella di Fourier, ma a differenza di quella è particolarmente indicata per lo studio di problemi ai valori iniziali. In particolare essa permette di ridurre ad equazioni algebriche problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali alle derivate ordinarie. In ambito applicativo, la relativa teoria è anche denominata simbolico. La trasformazione di Laplace, che denotiamo con L, agisce su funzioni (segnali) R → C nulle per tempi negativi, e fornisce funzioni C → C. Definiamo la classe delle funzioni trasformabili, Σ, e per ogni u ∈ Σ l'ascissa di convergenza, λ(u), il semipiano di convergenza, C, e la trasformata stessa, L(u):

Σ := L(R) : {u ∈ Σ | ∀t ∃x ∈ {e ∈ R}, λ(u) ≤ 1}

(t) = 0 < 0, R : (t)} L (1.1)loc −xt{x ∈ {e ∈ }(∈ ∀λ(u) := inf R : (t)} L [−∞, +∞[) Σ, (1.2){s ∈ ∀u ∈C := C : Re(s) > λ(u)} Σ, (1.3)λ(u) −st ∀s ∈ ∀u ∈e (t) dt C , Σ. (1.4)[L(u)](s) := λ(u)R + .) Si noti che, a diﬀerenza(Ovviamente sarebbe equivalente limitare l’ultimo integrale a Rdella trasformazione di Fourier, qui l’argomento s è complesso.semipianoAnche se C è denominato di convergenza, non è escluso il caso limite diλ(u) −∞ ∅C = C, corrispondente a λ(u) = (C = è invece escluso, poichè λ(u) < +∞ perλ(u)λ(u)∈ funzione di Heaviside gradino unitario):ogni Σ). Indicando con H la (detta anche∀t ≤ ∀tH(t) := 0 0, H(t) := 1 > 0,ad esempio si ha −t2 2∈ −∞; ∈tu(t) := e H(t) Σ,

λ(u) = e H(t) Σ.→ ∈Se u : R C è continua a tratti, u(t) = 0 per ogni t < 0, ed esiste x R tale che la funzione−xt→ |et u(t)| sia limitata in R, allora si veriﬁca facilmente che l’estremo inferiore di quei valori∈di x coincide con l’ascissa di convergenza. Se inoltre esiste un c R tale che u(t) = 0 per ogni≥ −∞.t c, allora λ(u) =Il prossimo risultato illustra lo stretto legame esistente tra la trasformazione di Fourier (in1L ) e quella di Laplace. →1 1Con L (R) indichiamo lo spazio delle funzioni R C localmente integrabili, ovvero integrabili su ognilocintervallo limitato. Si noti che la classe delle funzioni trasformabili qui deﬁnita è più ampia di quella introdottanel testo di Marini.

Dettagli

Publisher

flaviael

A.A. 2012-2013

3 pagine

SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli studi di Napoli Federico II o del prof Dardano Ulderico.