Metodi Matematici – Trasformazione Laplace

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6. Trasformazione di Laplace

Nota: Per questa parte è necessario fare riferimento ad un testo più completo, ad esempio

a quello di Marini.

1 Trasformazione di Laplace

Questa classica trasformazione è strettamente legata a quella di Fourier, ma a differenza di

quella è particolarmente indicata per lo studio di problemi ai valori iniziali. In particolare essa

permette di ridurre ad equazioni algebriche problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali

calcolo

alle derivate ordinarie. In ambito applicativo, la relativa teoria è anche denominata

simbolico. L, →

La trasformazione di Laplace, che denotiamo con agisce su funzioni (segnali) R C nulle

→

per tempi negativi, e fornisce funzioni C C. Definiamo la classe delle funzioni trasformabili,

∈

Σ, e per ogni u Σ l’ascissa di convergenza, λ(u), il semipiano di convergenza, C , e la

λ(u)

L(u): 1

trasformata stessa, −xt

{u ∈ ∀t ∃x ∈ {e ∈ },

1 1

Σ := L (R) : u(t) = 0 < 0, R : u(t)} L (1.1)

loc −xt

{x ∈ {e ∈ }(∈ ∀u ∈

1

λ(u) := inf R : u(t)} L [−∞, +∞[) Σ, (1.2)

{s ∈ ∀u ∈

C := C : Re(s) > λ(u)} Σ, (1.3)

λ(u) −st ∀s ∈ ∀u ∈

e u(t) dt C , Σ. (1.4)

[L(u)](s) := λ(u)

R + .) Si noti che, a differenza

(Ovviamente sarebbe equivalente limitare l’ultimo integrale a R

della trasformazione di Fourier, qui l’argomento s è complesso.

semipiano

Anche se C è denominato di convergenza, non è escluso il caso limite di

λ(u) −∞ ∅

C = C, corrispondente a λ(u) = (C = è invece escluso, poichè λ(u) < +∞ per

λ(u) λ(u)

∈ funzione di Heaviside gradino unitario):

ogni u Σ). Indicando con H la (detta anche

∀t ≤ ∀t

H(t) := 0 0, H(t) := 1 > 0,

ad esempio si ha −t

2 2

∈ −∞; ∈

t

u(t) := e H(t) Σ, λ(u) = e H(t) Σ.

→ ∈

Se u : R C è continua a tratti, u(t) = 0 per ogni t < 0, ed esiste x R tale che la funzione

−xt

→ |e

t u(t)| sia limitata in R, allora si verifica facilmente che l’estremo inferiore di quei valori

∈

di x coincide con l’ascissa di convergenza. Se inoltre esiste un c R tale che u(t) = 0 per ogni

≥ −∞.

t c, allora λ(u) =

Il prossimo risultato illustra lo stretto legame esistente tra la trasformazione di Fourier (in

1

L ) e quella di Laplace. →

1 1

Con L (R) indichiamo lo spazio delle