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Metodi Matematici – Trasformazione Laplace Appunti scolastici Premium

Appunti della materia di Metodi MatematiciTrasformazione Laplace. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Trasformazione di Laplace ed Integrazione, Inversione della Trasformata di Laplace, la formula di Riemann-Fourier, Teorema integrale di Cauchy, ecc.

Esame di Metodi matematici docente Prof. U. Dardano

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Trasformazione di Laplace 2

Per ogni

Proposizione 1.1 u Σ,

−xt −xt

{e 1

u(t)} L , [F({e u(t)})](y/2π) = [L(u)](x + iy) (1.5)

∀y ∈ ∀x

R, > λ(u).

∈ 1 ,

Viceversa, per ogni u L ≤ ∀y ∈

λ(u) 0, [L(u)](2πiy) = [F(u)](y) R. (1.6)

L(u)

∈ 1 , anche se λ(u) = 0, esiste anche per valori immaginari.)

(Pertanto per u L

Si consideri la restrizione della trasformata di Laplace ad una generica retta z = x + iR

parallela all’asse immaginario. Per la (1.5), la funzione ottenuta coincide (a meno del fattore

convenzionale 2π) con la trasformata di Fourier di una funzione che è stata preliminarmente

−xt

smorzata mediante la moltiplicazione per l’esponenziale t e . In questo modo si amplia

notevolmente la classe delle funzioni trasformabili. Per contro, per la (1.6) la trasformata di

1

Fourier di una funzione di L può essere rappresentata come restrizione di quella di Laplace

all’asse immaginario. Questo permette di esportare diverse proprietà da una trasformazione

all’altra; il seguente teorema fornisce alcuni esempi.

Per ogni

Proposizione 1.2 u Σ, −t

− ⇒ ∀s ∈ ∀t

s

v(t) = u(t t ) [L(v)](s) = e [L(u)](s) C , > 0, (1.7)

0

0 0

λ(u)

⇒ − ∀s ∈ ∀s ∈

s t

v(t) = e u(t) [L(v)](s) = [L(u)](s s ) C , C, (1.8)

0 0 0

)

λ(u)+Re(s 0

s

1 ∀s ∈ ∀ω

⇒ ωC , > 0. (1.9)

[L(u)]

v(t) = u(ωt) [L(v)](s) = λ(u)

ω ω

Per ogni u, v Σ, ∗ ∈ ∗ ≤

u v Σ, λ(u v) max{λ(u), λ(v)}, (1.10)

L(u ∗ L(u)L(v) in .

v) = C

λ(u∗v)

∈ L(u) , e per ogni

Per ogni la funzione è analitica in λ > λ(u)

Proposizione 1.3 u Σ, C

λ(u)

{z ∈ ≥ L(u) → →

è limitata nel semipiano Inoltre per Re(s)

C : Re(z) λ}. 0 +∞.

L(u)

In certi casi può comunque essere estesa ad una funzione analitica definita in un

dominio più ampio di C . Ad esempio, la funzione di Heaviside H è trasformabile, ha ascissa

λ(u)

di convergenza λ(H) = 0; la sua trasformata [L(H)](s) = 1/s è definita solo per Re(s) > 0. La

funzione f (s) := 1/s è analitica per ogni s = 0; tuttavia per Re(s) 0 essa non ha nulla a che

vedere con la trasformata di H. ∈ ∈

Proposition 3.4. (Trasformazione di Laplace e Differenziazione) Per ogni u Σ, tu(t) Σ,

λ(tu(t)) = λ(u), e −[L({tu(t)})](s) ∀s ∈

[L(u)] (s) = C . (1.11)

λ(u)

∈ Σ allora (intendendo u come la derivata nel senso usuale, definita per

Per contro, se u, u

t = 0) − ∀s ∈ ∩

[L(u )](s) = s[L(u)](s) lim u(t) C C . (1.12)

)

λ(u) λ(u

+

t→0


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flaviael

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Dardano Ulderico.

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