Metodi Matematici – Trasformazione Laplace

Trasformazione di Laplace

Nota: Per questa parte è necessario fare riferimento ad un testo più completo, ad esempio a quello di Marini.

Introduzione alla trasformazione di Laplace

Questa classica trasformazione è strettamente legata a quella di Fourier, ma a differenza di quella è particolarmente indicata per lo studio di problemi ai valori iniziali. In particolare, essa permette di ridurre ad equazioni algebriche problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali alle derivate ordinarie. In ambito applicativo, la relativa teoria è anche denominata simbolico.

La trasformazione di Laplace, che denotiamo con L, agisce su funzioni (segnali) R → C nulle per tempi negativi, e fornisce funzioni C → C. Definiamo la classe delle funzioni trasformabili, Σ, e per ogni u ∈ Σ l’ascissa di convergenza, λ(u), il semipiano di convergenza, C, e la trasformata stessa. Si noti che, a differenza della trasformazione di Fourier, qui l’argomento s è complesso.

Definizioni cruciali

La classe delle funzioni trasformabili è definita come:

• Σ := L (R): u(t) = 0 per t < 0, R : u(t)

Per ogni u ∈ Σ si definiscono:

• λ(u): ^inf {x ∈ R : u(t)}
• C := C : Re(s) > λ(u)
• [L(u)](s) := ∫_{λ(u)R +} ^−st e u(t) dt C, Σ.

Anche se C è denominato semipiano di convergenza, non è escluso il caso limite di λ(u) − ∞, corrispondente a λ(u) = ∅C = C, ma è escluso il caso in cui λ(u) < +∞ per ogni u ∈ Σ.

Indicando con H la funzione di Heaviside (detta anche gradino unitario):

• H(t) := 0 per t ≤ 0, H(t) := 1 per t > 0

Ad esempio, si ha u(t) := ^−t2 e H(t) ∈ Σ, λ(u) = e H(t) ∈ Σ.

Condizioni di continuità e convergenza

Se u : R → C è continua a tratti, u(t) = 0 per ogni t < 0, ed esiste x ∈ R tale che la funzione ^−xt |e^−xt u(t)| sia limitata in R, allora si verifica facilmente che l’estremo inferiore di quei valori di x coincide con l’ascissa di convergenza. Se inoltre esiste un c ∈ R tale che u(t) = 0 per ogni t ≥ c, allora λ(u) = −∞.

Collegamento tra trasformazione di Fourier e di Laplace

Il prossimo risultato illustra lo stretto legame esistente tra la trasformazione di Fourier e quella di Laplace. Con L¹(R) indichiamo lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.