Metodi matematici - le distribuzioni

DERIVATA NEL SENSO DELLE DISTRIBUZIONI

Come già specificato in precedenza, se possiamo scrivere con abuso di notazione ∫( ) ( ) Bisogna ricordare che può non essere una funzione, ma solo una distribuzione (tipo la δ), inoltre quando si parla di distribuzioni l'integrale è solamente un simbolo. Definizione: Sia f si dice che f' è la derivata nel senso delle distribuzioni di f. Nel senso degli integrali sarà invece ∫( ) ∫( ) Se oltre ad essere una distribuzione è anche una funzione dotata di derivata (classica) continua, la derivata classica coinciderà con quella nel senso delle distribuzioni, vediamo perché: ∫( ) ∫( )( ) poiché non è nulla solo in . Usiamo la regola del per parti ∫( ) | ∫( )( )( ) Ora sapendo che otteniamo ∫( ) ∫( )( ), questo integrale ha senso perché f è un funzionale continuo. Proprietà: Ogni volta che c'è un salto in una funzioneci sarà una nella derivata, queste saranno dotate anche di ampiezza e verso, nel senso che la sarà moltiplicata per il valore del limite destro meno il valore del limite sinistro. Esempio: Derivata della , dalla definizione di derivata distribuzionale^{( ) ( ) ( )}∫ ∫( ) Esempio: Derivata del gradino^{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}∫ ∫ ∫( ) La quantità sarà nulla, poiché la funzione è a supporto compatto ed al di fuori di quel supporto è^{( )} pari a zero. Quindi il risultato sarà proprio ^{( )}, e cioè il valore della funzione nel punto zero, cioè^{( ) ( )}∫ 5 Appunti sulle distribuzioni by Mallo Proprietà: Correlazione tra derivata classica e derivata distribuzionale^{( )} 1. Se è derivabile su con derivata continua Derivata classica e distribuzionale coincidono^{( ) ( )} 2. Se è continua in ed è derivabile ovunque con derivata prima continua eccetto in un insieme discreto di punti angolosi La derivataclassica e distribuzionale coincidono³. Se è continua eccetto che in un insieme di punti di discontinuità di prima specie, ed in tali punti i limiti destro e sinistro delle derivate classiche esistono finiti (ma non coincidono) La derivata classica e quella distribuzionale coincidono, tranne però nei punti di discontinuità, dove la derivata classica presenterà delle δ di Dirac moltiplicate per l'ampiezza dei salti, cioè:

Dimostrazioni:
1. Questa dimostrazione è ovvia poiché bisogna solo applicare la regola del per parti, tranquillamente applicabile perché
Supponiamo che la derivata prima di a abbia solo un punto angoloso, se ne ha di più basta solo iterare il procedimento; chiamiamo questo punto x. Vogliamo valutare
∫_a^x se verrà uguale a a la proprietà è dimostrata.
∫_a^x [∫_a^x ] posso eseguire il per parti poiché la derivata

è continua, otteniamo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ | ∫ ] [ | ∫ ]( )ricordando che otterremo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ∫ ] [ ∫ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫che non è altro che la derivata classica.

2. Sulla falsa riga della dimostrazione 2 arriviamo a( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ∫ ] [ ∫ ]raggruppando e riscrivendo gli integrali tramite la funzione gradino si ottiene( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ( ) ∫( ) ( ) ( ) ( )scriviamo la funzione tramite la( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( )∫ {( ) ( ) ( )Dove è la moltiplicata per il salto e( ) ( ) ( ) ( )} ( ) è la derivata nel senso classico

Proprietà: Dirac ( ) ( ) ( ) ( )1. Campionamento: Se è continua( ) ( ) ( ) ( )2. Traslazione: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3. Derivata I: Se è derivabile in modo classico 6Appunti sulle distribuzioni by Mallo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4. Derivata II:Dimostrazione:4. Sappiamo dalla definizione di distribuzione

che( ) ( ) ( ) ( ) ( )_intfacciamo la derivata distribuzionale ( ) ( )) ( )_int ( ( ) ( ) ( )( )Svolgendo la derivata del prodotto viene( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sapendo che e che otterremo( ) ( ) ( )_int ( ) ( )Che è proprio la tesiProposizione: Se è una distribuzione con derivata distribuzionale nulla è costanteDim: Per l'ipotesi che abbiamo fatto ( ) ( )_int _intDefiniamo una Test a media nulla, fa funzione è a media nulla se( )_int ( )_int( )_int{ ( ) ( )_intAllora dato che possiamo dire che è una test a media nulla.Prendiamo una test tale che: ( ) ( )_int _intVogliamo dimostrare chePrendiamo ora una test qualsiasi, da questa possiamo costruirne una a media nulla( )_intsapendo cheInfatti ( ) ( ) ( ) ( )_int _int _int _intDa questo deriva che ( ) ( ) ( )_int _int 7Appunti sulle distribuzioni by MalloAvremo ( ) ( )_int _intCONVOLUZIONE TRA DISTRIBUZIONIDefinizione: Distribuzione a supporto compatto( )Una distribuzione è a

supporto compatto se definito un compatto( )Cioè il supporto non può essere disgiunto dal supporto di

Definizione: Convoluzione tra distribuzioni( )Sia una distribuzione e una funzione test, avremo:( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Il risultato sarà ancora una funzione .( ) ( )( )

Siano invece e , avremo:( ) ( ) ( )∫ ( ) ( ) ( )

Quindi il risultato tra la convoluzione di due distribuzioni è un numero( ) ( )

Non è detto che la convoluzione restituisca ancora una funzione a supporto compatto,per questo affinchè il prodotto di convoluzione abbia senso, una delle due distribuzioni deve essere asupporto compatto.

Proprietà: Proprietà del prodotto di convoluzione( ) ( ) ( ) ( )

1. Commutatività: ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )( ( )

2. Distributiva: ( ) ( )( )

3. Elemento Neutro: ( ) ( )( )

4. Traslazione: ( ) ( ) ( )] ( ) ( )] ( )[ [5. Derivata distribuzionale:( ) ( )( ) ( )( )

6. ( ) ( ) ( )

7. ma non è detto che sia a supporto compattoDimostrazione:3.

Dimostriamo prima che la concentrata in zero è a supporto compatto eè ∫ ( ) ( )( ).se non appartiene al supporto di ( )Quindi il supporto della concentrata in zero è pari al supporto di , ovviamente questo vale per tutti i punti in cui può essere concentrata una( ) ( )Quindi ora facciamo in , che può essere fatta perchè la è a supporto compatto( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ 8Appunti sulle distribuzioni by Mallo ( )( )Ricordando che è la concentrata in avremo( ) ( ) ( )( )| ∫ |( ) – qui si sono cambiati i segni perchè attualmente stiamo calcolando la convoluzione in( ) ( ) ( ) ( )∫ ( )TRASFORMATA DI FOURIER DI DISTRIBUZIONI TEMPERATE( )Sia lo spazio delle funzioni sommabili con tutte le loro derivate.Definizione: Distribuzioni limitateUna distribuzione è detta limitata se è un funzionale continuo e lineare su , quando una distribuzione è di questo tipo si dice che o anche .Ovviamente una distribuzione limitata è ancora una distribuzione, ma non tutte le distribuzioni sono limitate. Proposizione: Una distribuzione è cioè limitata se vale una delle seguenti: 1. È somma finita di derivate (nel senso delle distribuzioni ed anche di ordine zero) di funzioni limitate su R. 2. È limitata su R. Corollario: Se una funzione è limitata su R, allora è una distribuzione limitata. Esempio: Dimostriamo che la delta di Dirac è una distribuzione limitata, usiamo entrambi i punti della proposizione. 1. Usiamo il punto 1, dato che la delta di Dirac è la derivata nel senso delle distribuzioni del gradino, ed il gradino è una funzione limitata. 2. Usiamo il punto 2, che ovviamente è limitata, per tutte le assunzioni che abbiamo fatto sulle funzioni test. Esempio: Treno di impulsi (IMPORTANTE), Sia: f(x) = ∑ δ(x - n). Dimostriamo che f(x) è limitata, usiamo la 2, facciamo la convoluzione con una funzione test φ(x), risulta: ∫ f(x)φ(x) dx = ∑ ∫ δ(x - n)φ(x) dx.

Poiché è a supporto compatto, non si annulla solo una parte della serie, se ci resta: ∑ ( ) ∑ ( ) Che è una somma finita di termini finiti e quindi è limitata. ( ) ( )

Proposizione: Se ( ) ( ) ( )

Dimostrazione: Usiamo il punto 2 della proposizione, con ; risulta 9

Appunti sulle distribuzioni by Mallo( ) ( ) ( ) ( ) il risultato di questa operazione è ancora una funzione limitata, poiché la derivata di una test è ancora una test (supporto compatto limitata) e è limitata per ipotesi. Quindi ( ) anche .

Definizione: Spazio delle funzioni a decrescita rapida( )

Apparterranno a questo spazio tutte le funzioni con le seguenti proprietà( )( ) { ( )|( ) | )

È importante sottolineare che la seconda proprietà dice che il modulo del polinomio ( per la derivata m-esima di deve essere limitato, anche se n ed m sono pari a zero.

Definizione: Spazio delle distribuzioni temperate è lo spazio dei funzionali lineari e

Definizione: Funzione a crescita lenta

Una funzione a crescita lenta è una funzione costituita dal prodotto di un tipo particolare di polinomio per una funzione limitata. Se la funzione limitata è la funzione limitata, avremo che la nostra funzione limitata se:

⁄(x) (P(x)) (f(x))

Proposizione: vale una delle seguenti:

1. con f(x) e P(x) sia una funzione continua e limitata su R

in parole povere è la derivata P-esima di una funzione a crescita lenta

2. Se la convoluzione tra f(x) e P(x) è una funzione a crescita lenta

Esempio: Dimostriamo che la f(x) è una distribuzione temperata

Vogliamo usare il punto 1 della proposizione precedente, questa formula non va bene perché è discontinua in 0, scegliamo la seguente funzione:

f(x) = P(x) * g(x)

Dove g(x) sarà la nostra f(x) e P(x) sarà il polinomio.

Proposizione: Se f(x) e g(x) sono due funzioni tali che:

∫ f(x) g(x) dx

Dimostrazione: Usando la definizione di

La trasformata di Fourier di una funzione f(t) è definita come: ∫ F(ω) = ∫ f(t) e^(-iωt) dt Dove F(ω) rappresenta la trasformata di Fourier di f(t) e ω è la frequenza angolare. Scambiando l'ordine delle integrazioni, otteniamo: ∫ ∫ ∫ F(ω) = ∫ ∫ ∫ f(t) e^(-iωt) dt Ricordiamo che l'integrale triplo può essere scritto come prodotto di tre integrali: ∫ ∫ ∫ F(ω) = ∫ ∫ ∫ f(t) e^(-iωt) dt Quindi, la trasformata di Fourier di f(t) può essere scritta come: F(ω) = ∫ ∫ ∫ f(t) e^(-iωt) dt