Metodi matematici - le distribuzioni

Appunti sulle distribuzioni

Funzioni lineari e limiti

Prendiamo in esempio un insieme di funzioni che agiscono su , queste saranno le nostre funzioni test. Lo spazio delle funzioni test è indicato con , ed è a supporto compatto.

Funzioni a supporto compatto

Sono quelle funzioni che non si annullano solo in un compatto, cioè in un intervallo finito. Ogni funzione appartenente allo spazio delle funzioni test può avere un compatto differente.

Definizione: Funzionale lineare

Un funzionale lineare è una funzione che prende una Test e ne associa un numero complesso se:

( ) ( ) ( ){ con ( ) ( )( )

Esempio

Sia e sia il compatto di ( ) ( )∫ è un funzionale lineare? Dimostriamolo:

( ) ( ) ( ) ( ) | ( )| | ( )||∫ | |∫ | ∫| ( )|

Ricordiamo che , questo vuol dire che non può divergere, e cioè è limitata. ( ) ( )∫( ) è finita perché è un integrale tra due numeri finiti.

Definizione: Funzionale continuo

( ) ( ) è continuo in.

Definizione: Convergenza nel senso delle distribuzioni

La successione { } converge a: 1. I supporti di tutti i e devono essere contenuti in un compatto qualsiasi ( )( ) ( ) ( ) ( ){ } →; 2. la successione in maniera uniforme , dove è la successione derivata.

Definizione: Distribuzione

Sia lo spazio delle distribuzioni, il funzionale sarà una distribuzione, quindi:

• 1. È lineare { } ( ) ( )
• 2. È continuo in ( ) ( )

Dove in è la convergenza nel senso delle distribuzioni e è la normale convergenza in.

Definizione: Limiti nel senso delle distribuzioni

Sia la notazione per indicare una distribuzione applicata ad una test. { } ( ) Sia una successione di funzioni sommabili, converge a nel senso delle distribuzioni∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )( ) l'ultimo integrale è scritto con abuso di notazione, perché può non essere una funzione, ma anche appunto una distribuzione.

Definizione: Uguaglianza tra 2 distribuzioni

Siano due distribuzioni. Coincidono quando.

Esempi notevoli: di Dirac

La delta di Dirac concentrata in un punto è una distribuzione che associa ad ogni test il valore della test nel punto in cui è concentrata la . Dobbiamo dimostrare che la rispetta la linearità e la continuità.

Sia ( )

• 1. Linearità: Applico alla somma di due test ( )( ) ( ) ( ) ( )
• 2. Continuità: in ; , otteniamo poiché uniformemente e di conseguenza anche puntualmente in . ( ) ( ) ( )∫

Osservazione: Non esiste una funzione che esprime la .

Dimostrazione

Dimostriamo che la non è una funzione. Ragioniamo per assurdo che la coincida con la distribuzione ( ) integrale ( ) ( ) ( )∫ | |( ) {Prendiamo la funzione | |( ) )( ) {Da questa costruiamo l'insieme di funzioni tali che :

Questa funzione sarà sempre . Ed inoltre cambierà anche il compatto in cui queste | | ( ) | | / funzioni non si annullano, infatti la funzione non si annulla per ( ) Fissiamo inoltre per questo insieme di funzioni il punto otteniamo per ogni ( ) ( )∫ ( ) ( ) che è il punto precedentemente fissato.

Dato che il risultato appena ottenuto vale ( ) ( )∫ ( ) ∫ ( ) dato che la funzione si annulla all’esterno dell’intervallo . ( ) Si pensi all’insieme di funzioni , queste funzioni saranno fisse nel punto 0 , e varranno sempre 1 lì, però al crescere di queste funzioni tenderanno allo zero, si stringeranno cioè intorno all’unico punto diverso da 0 , quindi poiché ( ) | ( )| | ( )|( ) sapendo che otteniamo perché sommabili otteniamo ( ) ( ).

Portiamo grazie al teorema della convergenza dominata il limite sotto il segno di integrale, qui nasce l’assurdo, noi sappiamo che il limite fa zero, poiché le funzioni sono sommabili, ma l’integrale di quel limite è 1.
Osservazione: Abbiamo appena dimostrato che la non è esprimibile tramite una funzione, però esistono funzioni che si possono approssimare alla , cioè sono distribuzioni che tendono alla nel senso delle distribuzioni. Una di queste è la porta di ampiezza ( ) ( ).

Sia / Per provare la convergenza bisogna far vedere che l'integrale della funzione vale ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ( ) ∫ ( )/
Sappiamo inoltre che ∫ ( )/ Dobbiamo dimostrare che la seguente differenza è nulla (non può essere negativa): ( ) ( ) ( )|∫ |/ non dipende da e può essere portata fuori dall'integrale, sappiamo che la funzione si annulla fuori dal compatto della porta ed inoltre sostituiamo la porta con il suo valore integrale (1), otteniamo: | ( ) ( ) |∫( )

Sapendo che per definizione di funzione test, questa sarà continua, usiamo la definizione di continuità in 0: | ( ) ( )| | || ( ) ( )|

Quindi la quantità può essere maggiorata da un ; inoltre sapendo che ∫ ( )
Ritorniamo alla stima della differenza, eravamo rimasti a | ( ) ( ) |∫ ∫ ∫ Quindi tutta la differenza fa 0.

Osservazione: Esistono anche altre funzioni che approssimano la delta , l'importante è che valga sempre ∫ ( )( )→( )√ ( )→( ) ( )→

Derivata nel senso delle distribuzioni

Come già specificato in precedenza, se possiamo scrivere con abuso di notazione ∫ ( ) ( ) Bisogna ricordare che può non essere una funzione , ma solo una distribuzione (tipo la ) , inoltre quando si parla di distribuzioni l’integrale è solamente un simbolo.
Definizione: Sia si dice che è la derivata nel senso delle distribuzioni di se Nel senso degli integrali sarà invece ∫ ( ) ∫ ( )

Se oltre ad essere una distribuzione è anche una funzione dotata di derivata (classica) continua, la derivata classica coinciderà con quella nel senso delle distribuzioni, vediamo perché:

∫ ( ) ∫ ( )( ) poiché non è nulla solo in . Usiamo la regola del per parti ( )∫ ( ) | ∫ ( )( ) ( ) Ora sapendo che otteniamo ∫ ( ) ∫ ( )( ) questo integrale ha senso perché e è un funzionale continuo.

Proprietà

Ogni volta che c’è un salto in una funzione ci sarà una delta nella derivata, queste saranno dotate anche di ampiezza e verso, nel senso che la sarà moltiplicata per il valore del limite destro meno il valore del limite sinistro.

Esempio

Derivata della , dalla definizione di derivata distribuzionale.