Metodi Matematici

Elementi di analisi funzionale

Spazi vettoriali

Inizieremo occupandoci della nozione di spazio vettoriale (abbreviato s.v.). Parleremo dunque di scalari e di vettori. Si tratta di due termini derivati dalla Fisica: è noto che alcune grandezze possono essere misurate in una certa scala (cioè rispetto a una certa unità di misura) e ciò che ne deriva è un numero; altre grandezze, ad esempio le forze, richiedono l’uso di segmenti orientati, cioè vettori a due o tre componenti. Tali vettori possono essere sommati tra loro, dando come risultato altri vettori, così come è possibile moltiplicare uno scalare per un vettore, ottenendo come risultato ancora un vettore.

L’astrazione da tale situazione conduce alla nozione di spazio vettoriale. Dobbiamo innanzitutto precisare le proprietà degli scalari; tale precisazione conduce alla definizione di campo (o corpo commutativo).

Definizione di campo

Definizione 1.1-1. Un insieme si dice un campo se in esso sono definite due operazioni, denominate addizione e moltiplicazione, che associano ad ogni coppia di elementi x e y rispettivamente un elemento somma x + y e un elemento prodotto xy, per cui valgono le proprietà:

• Commutativa: x + y = y + x, xy = yx
• Associativa: x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz) = (xy)z
• Distributiva: x(y + z) = xy + xz, ∀ x, y, z ∈ K.

Esistono due elementi tra loro distinti, 0 e 1, che sono elementi neutri delle due operazioni: x + 0 = x, x 1 = x ∀ x ∈ K.

Per ogni x esiste un elemento opposto y, cioè un elemento tale che x + y = 0; tale elemento verrà indicato col simbolo -x. Per ogni x ≠ 0 esiste un elemento reciproco z, cioè un elemento tale che xz = 1; tale elemento verrà indicato col simbolo x^-1 oppure 1/x.

Non è difficile dimostrare che gli elementi neutri, così come l’opposto e il reciproco di un elemento, sono univocamente determinati.

Sono esempi di campi il campo dei numeri razionali, quello dei numeri reali ed il campo dei numeri complessi. Il primo è un sottocampo del secondo e il secondo è un sottocampo del terzo.

Più esattamente, il campo dei numeri reali è isomorfo (= ha la stessa struttura) al sottocampo del campo costituito dai numeri complessi con parte immaginaria nulla: se i numeri complessi vengono rappresentati come coppie (x, y) di reali, l’isomorfismo in questione è dato da x → (x, 0).

Spazi vettoriali

Definizione 1.1-2. Sia V un insieme (non vuoto) e K un campo. Siano definite le seguenti operazioni:

• Un’addizione in V, cioè una corrispondenza che ad ogni coppia (x, y) di elementi di V associa un elemento di V stesso, detto somma di x e y e indicato col simbolo x + y.
• Una moltiplicazione degli elementi di K per gli elementi di V, cioè una corrispondenza che ad ogni coppia (a, x) con a ∈ K, x ∈ V associa un elemento di V detto prodotto di a per x e indicato col simbolo ax.

Supponiamo che le operazioni godano delle seguenti proprietà:

• x + y = y + x (commutatività);
• x + (y + z) = (x + y) + z (associatività);
• Esiste un elemento di V, indicato col simbolo 0, tale che x + 0 = x per ogni x (esistenza dell’elemento neutro additivo);
• Per ogni x ∈ V esiste un elemento y ∈ V tale che x + y = 0 (esistenza dell’opposto);
• a(x + y) = ax + ay (distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione tra vettori);
• (a + b)x = ax + bx (distributività della moltiplicazione rispetto all’addizione tra scalari);
• a(bx) = (ab)x;
• 1x = x (1 è l’elemento neutro moltiplicativo di K).

In tali ipotesi diremo che V, con le operazioni definite, è uno spazio vettoriale sul campo K. Gli elementi di V si dicono vettori, gli elementi di K si dicono scalari.

Se K = R si dice che V è uno s.v. reale, se K = C si dice che V è uno s.v. complesso. Non è difficile dimostrare che l’elemento neutro dell’addizione è unico, così come è unico, per ogni x, l’opposto di x stesso: tale elemento verrà indicato col simbolo -x. La somma di x con l’opposto di y, cioè x + (-y), verrà indicata semplicemente -x + y.

Si osservi che la frase “V è uno s.v. sul campo K” è usata spesso per brevità, è molto incompleta: occorrerebbe dire “V, con le operazioni seguenti (a questo punto segue la definizione delle operazioni), è uno s.v. sul campo K”.

Esempi di spazi vettoriali

Esempio 1.1-1. Sia K un campo e V := Kⁿ, l’insieme delle n-uple ordinate x = (x₁, x₂, ..., x_n) di elementi di K. Definiamo l’addizione tra elementi di V e la moltiplicazione di uno scalare a per un elemento x ∈ V, ponendo x + y := (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n), ax := (ax₁, ax₂, ..., ax_n), dove s’intende che y = (y₁, y₂, ..., y_n).

In particolare, se K = R si ottiene lo s.v. reale Rⁿ, se K = C si ottiene lo s.v. complesso Cⁿ.

Se K = B = {0, 1}, si ottiene uno s.v. in cui ogni elemento è l’opposto di se stesso: x + x = 0 per ogni x; infatti, nel campo 1 + 1 = 0 + 0 = 0. Dunque, in tale spazio vettoriale, si ha x + y = x - y per ogni coppia di vettori x e y.

Esempio 1.1-2. Sia A un insieme (non vuoto), V uno s.v. su un campo K. Sia F(A, V) l’insieme di tutte le funzioni da A a V: f : A → V. Se f e g sono due di tali funzioni, poniamo (f + g)(x) := f(x) + g(x), ∀x ∈ A, (af)(x) := af(x), ∀a ∈ K, ∀x ∈ A. Le operazioni che compaiono nei secondi membri sono quelle dello s.v. V. Così facendo, F(A, V) diventa uno s.v. su K. In particolare, se A è l’insieme degli indici {1, 2, ..., n}, e V = K (considerato come s.v. su se stesso), allora F(A, V) si riduce allo s.v. considerato nell’esempio 1.

Sia V uno s.v. su K; se x e y sono due vettori, a e b due scalari, il vettore ax + by si dice combinazione lineare di x e y mediante i coefficienti a e b.

Sottospazi di uno spazio vettoriale

Definizione 1.1-3. Sia V uno s.v. su un campo K, W un sottoinsieme di V; diremo che W è un sottospazio di V se ∀a, b ∈ K e ∀x, y ∈ W ⇒ ax + by ∈ W.

A parole: W è un sottospazio di V se contiene tutte le combinazioni lineari di vettori che già gli appartengano.

Se W è un sottospazio di V, allora esso stesso è uno s.v. con le operazioni definite in V. Per ogni s.v. V esistono due sottospazi cosiddetti impropri, e precisamente il sottospazio ridotto al solo vettore nullo, e V stesso; i restanti sottospazi (se esistono) si diranno propri.

Esempio 1.1-3. Nello s.v. Rⁿ, con n ≥ 2, sono sottospazi gli insiemi:

• W_j := {x = (x₁, x₂, ..., x_n) | x_j = 0}, j = 1, 2, ..., n;
• W := {x = (x₁, x₂, ..., x_n) | ∑x_j = 0}.

Al contrario, l’insieme dei vettori x aventi la prima componente diversa da 0, non è un sottospazio.

Esempio 1.1-4. Nello s.v. F([a, b], R) di tutte le funzioni definite sull’intervallo [a, b] a valori reali (vedi esempio 2), sono sottospazi l’insieme C([a, b]) delle funzioni continue su [a, b], l’insieme C⁽¹⁾([a, b]) delle funzioni derivabili con continuità su [a, b], ecc.

In generale, per ogni naturale positivo k, C^(k)([a, b]) è lo s.v. costituito dalle funzioni derivabili k volte con continuità su [a, b].

Se W₁ e W₂ sono sottospazi dello s.v. V, non è difficile riconoscere che sono ancora sottospazi l’intersezione W₁ ∩ W₂ e la somma vettoriale W₁ + W₂, definita come:

• W₁ + W₂ := {x ∈ V | x = x₁ + x₂, (x₁ ∈ W₁) ∧ (x₂ ∈ W₂)}.

A parole: W₁ + W₂ è l’insieme di quei vettori di V che si possono scrivere come somma tra un vettore di W₁ e un vettore di W₂. In generale, l’unione W₁ ∪ W₂ non è un sottospazio di V.

Un modo semplice per costruire un sottospazio di uno s.v. V (non necessariamente distinto da V stesso) si ottiene scegliendo un insieme di r ≥ 1 vettori A := {v₁, v₂, ..., v_r} e considerando l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari:

• W := {x ∈ V | x = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_rv_r, ∀j ∈ K}.

Lasciamo come esercizio il compito di verificare che W è effettivamente uno s.v.; si dice che esso è generato da A, oppure che A è un insieme di generatori di W, e si scrive W = G[A].

Esempio 1.1-5. Riprendiamo l’esempio 4 con A = ℝ, K = ℝ. Dunque F(ℝ; ℝ) è lo s.v. delle funzioni reali di una variabile reale, ovunque definite. Sia p₀(x) = 1 per ogni x ∈ ℝ, p_j(x) = x^j, per j = 1, 2, ..., n. L’insieme {p₀, p₁, ..., p_n} genera lo s.v. costituito dalla funzione nulla e dai polinomi di grado ≤ n:

• ℝ[x] = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ, ∀a_i ∈ ℝ.

Esso è un sottospazio di F(ℝ; ℝ).

Indipendenza lineare

Ci si può chiedere sotto quali condizioni su un insieme di generatori, gli scalari che individuano un generico vettore di G[A] sono univocamente determinati. Supponiamo che per almeno un vettore x esistano due diverse rappresentazioni:

• x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_rv_r,
• x = c'₁v₁ + c'₂v₂ + ... + c'_rv_r,

dove c_j ≠ c'_j per almeno un indice j. Sottraendo membro a membro le due uguaglianze precedenti e ponendo c_j - c'_j =: c''_j, si ottiene una rappresentazione del vettore nullo come combinazione lineare dei vettori v_j, con coefficienti non tutti nulli.

Definizione 1.1-4. I vettori v₁, v₂, ..., v_r dello s.v. V si dicono linearmente indipendenti se dall’uguaglianza

• 0 = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_rv_r

segue necessariamente c₁ = c₂ = ... = c_r = 0. In caso contrario essi si dicono linearmente dipendenti.

In luogo di dire che i vettori v₁, v₂, ..., v_r sono linearmente indipendenti si dice anche che l’insieme da essi costituito è libero.

Se i vettori v₁, v₂, ..., v_r sono linearmente indipendenti, ciascuno di essi è diverso dal vettore nullo; infatti se fosse, ad esempio, v₁ = 0, basterebbe porre c₁ = 1, c₂ = c₃ = ... = c_r = 0 per avere una combinazione lineare nulla dei vettori dati con coefficienti non tutti nulli.

Se r ≥ 2 vettori sono linearmente dipendenti, almeno uno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei restanti (e viceversa); infatti se risulta, ad esempio,

• c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_rv_r = 0

con c₁ ≠ 0, si ha

• v₁ = -(c₂/c₁)v₂ - ... - (c_r/c₁)v_r.

Dire che due vettori di R² sono linearmente indipendenti equivale ad affermare che essi sono non nulli e non proporzionali (cioè non appartengono ad una medesima retta passante per l’origine). Tre vettori di R³ sono linermente indipendenti se e solo se essi sono non nulli e non complanari.

Base di un sottospazio

Introduciamo la nozione di base di un sottospazio W dello s.v. V (dove non si esclude che sia W = V).

Definizione 1.1-5. Un insieme {v₁, v₂, ..., v_n} di generatori del sottospazio W dello s.v. V si dice una base di W se i vettori che lo costituiscono sono linearmente indipendenti. In tal caso, per ogni x ∈ W la rappresentazione

• x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n

è univocamente determinata; gli scalari c₁, c₂, ..., c_n si dicono le coordinate di x rispetto ai vettori della base.

La definizione posta significa due cose:

• Ogni vettore di W è rappresentabile come combinazione lineare dei vettori della base;
• Tale rappresentazione è univocamente determinata.

Se lo s.v. V ammette un insieme finito di generatori, si dice che esso è finitamente generato. Se V è finitamente generato e {v₁, v₂, ..., v_r} è un insieme di generatori, allora è possibile trovare un sottoinsieme (non necessariamente proprio) di tale insieme che è una base di V. Basta procedere nel seguente modo:

• Scartare gli eventuali vettori v_j nulli;
• Procedendo per valori crescenti dell’indice, scartare ogni v_j che sia combinazione lineare dei precedenti.

Dunque ogni insieme di generatori contiene una base. Ne segue che i vettori di una base di uno s.v. generato da r vettori sono in numero ≤ r. Naturalmente si possono avere più basi in un medesimo s.v.; è però fondamentale il seguente risultato:

Proposizione 1.1-1

Se V è uno s.v. finitamente generato, allora due diverse basi sono necessariamente costituite da ugual numero di vettori; tale numero si chiama dimensione di V e si indica col simbolo dim V. Se dim V = n, ogni insieme libero contiene al più n elementi.

La dimostrazione della precedente proposizione è riportata in tutti i testi di Algebra Lineare e lo stesso vale per le restanti proposizioni di questo paragrafo.

Esempio 1.1-6. Lo s.v. Kⁿ dell’esempio 1 ha dimensione n. Consideriamo infatti i vettori e_j, j = 1, 2, ..., n, aventi tutte le coordinate nulle tranne quella di posto j, uguale a 1:

• e₁ := (1, 0, ..., 0)
• e₂ := (0, 1, ..., 0)
• ...
• e_n := (0, 0, ..., 1)

Allora x = (x₁, x₂, ..., x_n) si scrive

x = (x₁, 0, ..., 0) + (0, x₂, ..., 0) + (0, 0, ..., x_n) = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n.

Cioè mostra che i vettori e_j costituiscono un insieme di generatori. D’altra parte, se

x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n = (x₁, x₂, ..., x_n) = 0,

allora x₁ = x₂ = ... = x_n = 0, quindi gli stessi vettori sono linearmente indipendenti.

Essi costituiscono la cosiddetta base canonica (o naturale) di Kⁿ: essa è caratterizzata dal fatto che le coordinate del vettore x = (x₁, x₂, ..., x_n) sono semplicemente le componenti dello stesso vettore.

Esempio 1.1-7. L’esempio precedente, per n = 1 e K = C (campo dei numeri complessi) ci assicura che C, considerato come spazio vettoriale complesso, ha dimensione 1. Una base è costituita da un qualsivoglia numero diverso da 0, ad esempio 1: è chiaro che ogni numero complesso z si lascia scrivere nella forma z = z · 1.

Tuttavia possiamo considerare C come s.v. reale, cioè possiamo limitarci a considerare scalari reali. Per sottolineare il fatto che consideriamo C come s.v. reale utilizziamo il simbolo R_C. Tale s.v. ha dimensione 2, una base essendo costituita, ad esempio, dai vettori 1 e i: la scrittura z = x + iy mostra che ogni numero complesso si lascia esprimere (ed in un solo modo) come combinazione lineare a coefficienti reali (la parte reale e il coefficiente della parte immaginaria) dei due numeri complessi considerati.

In luogo di dire che uno s.v. V è finitamente generato si dice anche che esso ha dimensione finita. Non è difficile verificare che ogni sottospazio W di uno s.v. V di dimensione finita è anch’esso di dimensione finita. Per convenzione si assegna dimensione 0 al sottospazio ridotto all’elemento nullo: dim {0} := 0.

Ad esempio, nello spazio R³, le rette passanti per l’origine sono sottospazi di dimensione 1, i piani passanti per l’origine sono sottospazi di dimensione 2.

Proposizione 1.1-2

Se V è uno s.v. di dimensione finita, allora ogni sottospazio W è di dimensione finita; si ha dimW ≤ dimV, dove vale il segno di uguaglianza se e solo se W = V.

Sia V uno s.v. di dimensione nota: dimV = n. Dire che una n-pla di vettori {v₁, v₂, ..., v_n} è una base di V significa dire due cose:

• {v₁, v₂, ..., v_n} è un insieme di generatori;
• {v₁, v₂, ..., v_n} è un insieme libero.

Ci si può chiedere se una n-pla di vettori di V può verificare una delle due condizioni ma non l’altra. La risposta è negativa: vale un “teorema dell’alternativa”, cioè.