Metodi Matematici

Capitolo 4. Funzioni di una variabile complessa

X Y−1φ (X, Y, Z) = , .− −1 Z 1 Z CL’applicazione φ è un omeomorfismo tra e S\(0, 0, 1), cioè una funzione continua\insieme alla sua inversa. S’intende che S (0, 0, 1) è munito dalla topologia indottaR 3dalla distanza euclidea di . Poiché lim φ(z) = (0, 0, 1), φ può essere prolungatoz→∞C e S ponendo φ(∞) := (0, 0, 1).in un omeomorfismo traSi può introdurre una metrica nel piano complesso esteso mediante la cosiddetta Cdistanza cordale: la distanza cordale δ(z, z ) tra due punti di è la distanza euclideatra le loro immagini su S ad opera della funzione φ. ∈ C,Se z, z poiché la distanza euclidea tra i corrispondenti punti (X, Y, Z) e (X , Y , Z ) di S è 2 2 2 − − −X X + Y Y + Z Z ,si trova (↓ Appendice 4-A) |−2|z z δ(z, z . (11)) := d φ(z), φ(z ) = |z| |z |2 2+ 1 + 16 c 88-08-00000-0

→ ∞ |z|²Per z il secondo membro della (11) tende a 2/ + 1 mentre (X , Y , Z )tende a (0, 0, 1); pertanto 2 ∞)δ(z, := d φ(z), (0, 0, 1) = ). (11|z|² + 1 CSi verifica che la distanza cordale induce su la stessa topologia che già abbiamointrodotto in esso mediante gli intorni.

4.2. Funzioni di una variabile complessa → C,Considereremo in questo paragrafo funzioni f : A dove A è un aperto connesso∈C. , z A, esiste unadi L’aperto A è connesso se, per ogni coppia di punti z 1 2poligonale che li congiunge, interamente contenuta in A stesso.∈ CSi dice che la funzione f tende (o converge) a λ per z che tende a z (punto0di accumulazione di A), se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 (dipendente da ε), tale∈ ∧ |z − | |f −(z A) (0 < z < δ) =⇒ (z) λ| < ε.0 ∈In particolare, la funzione f si dice continua in z A se per ogni ε > 0 esiste0δ >

0 (dipendente da ε), tale∈ ∧ − | |f −(z A) (|z z < δ) =⇒ (z) f (z )| < ε.

0 0 A parole: fissato ad arbitrio un intorno B f (z ) (intorno “bersaglio”), esi-0ε(z ) (intorno “controllo”) la cui immagine tramite f è contenutaste un intorno B 0δnell’intorno precedentemente fissato.

Se f è continua in tutti i punti del proprio dominio A, si dirà brevemente che essaè continua in A.

Sia z = x + iy, w = f (z) = u + iv, dunquef (z) = u(x, y) + iv(x, y);dalle diseguaglianze |u(x, −y) u(x , y )|0 0 ≤≤ |f − )|(z) f (z 0|v(x, −y) v(x , y )|0 0 ≤ |u(x, − |v(x, −y) u(x , y )| + y) v(x , y )|,0 0 0 0dove s’intende che sia z = x + y , segue subito che la continuità di f in z equivale0 0 0 0alla continuità in (x , y ) delle due funzioni (reali di due variabili reali) u = Re f ,0 0v = Im f . ∈ C.2Esempio 4.2-1. Sia f (z) = z , z Si trova−2 2u(x,

y) = x y , v(x, y) = 2xy.∗∈ C C \ {0}.
Sia poi f (z) = 1/z, z = Si trova−yxu(x, y) = , v(x, y) = .2 2 2 2x + y x + y∗ ∈ C.
Sia infine f (z) = z , z Si trova−y.u(x, y) = x, v(x, y) =Le tre funzioni considerate sono continue nei rispettivi insiemi di definizione.
→Esempio 4.2-1. La funzione z Arg(z) (argomento principale di z), definita in∗C C \ {0} R= e a valori in (più esattamente, essa ha come immagine l’intervallo∗C ad eccezione dei punti del semiasse reale(−π, π]), è continua in tutti i punti di∗∗ ∗C ⊂ Cnegativo, dunque è continua in . Se x < 0 si ha (↓ fig. 4.2-2)0 π, se Im z > 0lim Arg(z) = −π, se Im z < 0.z→x0 7c 88-08-00000-0 4.2 Funzioni di una variabile complessai −11 10Figura 4.2-1. Un modo per rappresentare le funzioni complesse di una variabile complessaconsiste nel tracciare una famiglia di curve nel piano z e in secondo piano

(piano w) tracciarela curve trasformate ad opera di un’assegnata funzione f . In figura i segmenti del reticolato→ 2di sinistra vengono trasformati in archi di parabola mediante la funzione z z .Se avessimo scelto come argomento principale la determinazione dell’argomento cheappartiene all’intervallo [0, 2π), avremmo ottenuto una funzione discontinua sul semi-asse reale positivo. Comunque si scelga l’intervallo da cui prelevare una determi-nazione dell’argomento, si ottiene una funzione discontinua su una semiretta uscentedall’origine. θ = π x51y 0−πθ = 4.2-2.FiguraGrafico della funzione→(x, y) θ = Arg(x + iy), per≤ |z| ≤1 ρ = 5.I teoremi sulla somma, il prodotto e il quoziente di due funzioni continue (conl’esclusione, in quest’ultimo caso, degli eventuali punti in cui si annulla il denomina-tore) sussistono esattamente come per le funzioni reali di una variabile reale.→ ∈

indipendente delle funzioniallo studio, scambiamo i ruoli delle variabili z e w; la formula precedente ci consente→ Cdi definire due funzioni z f (z), entrambe definite su e tali che∀z ∈ C.

2[f (z)] = z, (2)Una funzione che verifica la (2) è un’inversa destra della funzione di elevamento→al quadrato, nel senso che se si compone, nell’ordine, la funzione z w = f (z) con→ C.2la funzione w w , si ottiene la funzione identità su√i 2 √−2 2 2Figura 4.2-3. Se x è un numero reale negativo, punti “vicini” ad esso, contenuti nel√→semipiano Im z < 0, vengono trasformati dalla funzione z z in punti “lontani” da√ |x|. −2.x = i In figura x =Le due funzioni di cui abbiamo parlato poco sopra sono quelle che si ottengonodalla (1) ponendo k = 0 oppure k = 1. Porremo dunque 0, se z = 0, f (z) := )(1|z|0 [cos(θ/2) + i sin(θ/2)], altrimenti,−fe successivamente f (z) :=

(z).1 0 √Per la funzione f useremo il simbolo z e diremo che essa è la radice quadrata0 alprincipale di z. Tale denominazione trae origine dal fatto che la restrizione di f√0→semiasse reale positivo restituisce la funzione radice quadrata aritmetica x x,≥x 0. Torneremo su questo punto nel paragrafo seguente, quando studieremo lafunzione potenza ad esponente complesso.

La discontinuità della funzione argomento principale sul semiasse reale negativoproduce un’analoga discontinuità delle funzioni f e f . Più precisamente, se x < 00 1si ha 9c 88-08-00000-0 4.2 Funzioni di una variabile complessa√ |x|, se Im x > 0,ilim z = −i |x|, se Im x < 0.z→xDunque il limite di f per z che tende a x < 0, mantenendosi nel semipiano0Im z > 0, coincide col limite analogo di f quando z tende a x < 0 mantenendosi nel1semipiano Im z < 0; stesso discorso scambiando i ruoli dei due semipiani in questione.

2 i √i 2i

Immaginiamo che il punto z ruoti su una circonferenza di centro l'origine, a partire dal punto d'intersezione col semiasse reale positivo, e consideriamo la sua radice quadrata principale: quando il punto incontra il semiasse reale negativo dobbiamo scambiare f con f se vogliamo che l'immagine di z si muova con continuità. Dopo un giro completo dobbiamo di nuovo scambiare f con f , e così via, ogni volta che il punto mobile attraversa il semiasse reale negativo (vedi fig. 4.2-7).

Si ottiene una migliore comprensione di quanto precede, se si tiene conto del fatto che l'immagine di f è il semipiano x > 0 unito con il semiasse immaginario positivo (origine compresa), cioè è l'insieme ∈ C ∨ ≥S := z = x + iy (x > 0) (x = 0 y 0) .

funzione di elevamento al quadrato. Analogamente, l'immagine di f è costituita dagli opposti degli elementi di S, quindi è ∈ C ∪ ≤S := z = x + iy (x < 0) (x = 0 y 0). Quanto La funzione di elevamento al quadrato è iniettiva tanto ristretta a S 0C. ristretta a S, avendo, in entrambi i casi, come immagine tutto Abbiamo quindi individuato due regioni fondamentali per la funzione di elevamento al quadrato. 10 c 88-08-00000-0 Capitolo 4. Funzioni di una variabile complessa → C ⊂ In generale, sia f: A una funzione non iniettiva; diremo che A A è una regione fondamentale per f se: i) la restrizione di f ad A è iniettiva; ii) l'immagine della stessa restrizione, cioè f(A), coincide con f(A). In altri termini: A è una regione fondamentale per f se è un insieme abbastanza "piccolo" affinché la rest