Metodi di risoluzione esercizi Algebra lineare

Metodi di risoluzione esercizi algebra lineare

Esercizio 1: Numeri complessi

1. Svolgere tutti i calcoli più semplici e cercare di ricondursi alla forma algebrica “tradizionale” dei numeri complessi: (z) = a + bi.

2. Trasformare il tutto in forma goniometrica: z = r (cos θ + i sin θ), dove:

r = √(a² + b²) e θ = arctan(b/a)

3. Risolvere l’esercizio con le formule di DeMoivre: zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)), con n = 0, 1, 2, …

Esercizio 2: Applicazioni lineari

1. Per verificare che un’applicazione sia lineare devono sussistere 3 elementi:

• f(0,0,0) = (0,0,0)
• f(x+y) = f(x) + f(y)
• f(cx) = cf(x)

2. Il nucleo di un’applicazione lineare è l’insieme dei vettori che tramite f danno il vettore nullo, ed è sempre composto dal vettore nullo.

3. L’immagine è l’insieme dei vettori del dominio che hanno immagine tramite f nel codominio.

4. Per ricondursi a una base di un’applicazione lineare di cui è nota l’equazione è sufficiente assegnare a tutte le incognite (meno una) un parametro; si procede poi isolando, nell’equazione, l’incognita senza parametro (ovviamente si guarda sempre alla comodità). Poi si andrà a sostituire i valori trovati nel vettore tipo e si troverà la base. Esempio: data l’applicazione lineare "vettore tipo" equazione f(x, y) = ax + by, poniamo la variabile y come la più comoda da mantenere, procediamo ad isolarla: y = 2x + y. Dunque, inserendo le incognite “parametrizzate” nel vettore tipo, si ottiene: (x, y) = (x, 2x + y). A questo punto non ci resta che esprimere il vettore appena trovato come combinazione lineare: ⟨(1,2,0), (0,1,1)⟩. Ecco che (x, y) è una base di V.

5. Quando si trova una base vettoriale, assicurarsi sempre che al suo interno non ci siano vettori linearmente dipendenti tra loro, in caso ce ne siano bisogna semplificare.

6. Quando la matrice associata a un’applicazione lineare rispetto alla base canonica (matrice con i vettori della base come righe) è invertibile (cioè ha determinante non nullo), allora si ha che dim(N) = 0 e dim(V) = dim(N) + dim(Im).

7. Il teorema delle dimensioni dice che la dimensione della base (il numero di vettori che la compongono) è pari alla somma delle dimensioni di nucleo e immagine.

8. Un’applicazione lineare si dice iniettiva quando la matrice associata alla sua base canonica (vettori immagine messi in colonna) ha determinante non nullo, perciò è invertibile. dim(N) = 0 implica f è iniettiva.

9. Un’applicazione lineare è suriettiva quando Im(f) = V.

10. Per trovare una base del nucleo quando si sanno già delle relazioni dell’applicazione lineare, bisogna prima trovare la matrice associata alla base canonica (quindi con i vettori del codominio in colonna), ridurla eventualmente, porla uguale a 0 e trovare i valori di λ da moltiplicare rispettivamente per i vettori del dominio che andranno sommati.

11. Per determinare la controimmagine di un vettore tramite f, occorre vedere se appartiene all’immagine. Se non appartiene significa che la controimmagine cercata non esiste, se appartiene all’immagine allora si cerca il vettore che rende linearmente dipendente da f.

Prodotti tra vettori

(x, y, z) e (a, b, c)

Prodotto “tradizionale”: (x, y, z) · (a, b, c) = xa + yb + zc

Prodotto scalare: (x, y, z) · (a, b, c) = xa + yb + zc

Prodotto vettoriale: (x, y, z) × (a, b, c)