Metodi matematici e numerici - parte 2

L

212

211 Le Q, 2

021 β, con α e β

= ( " β, 1). incognite

Rm-Im An-Im

Ann-1 Amm 2m

Le 212

α' β, 91212+22

Pertanto 211 = α,

012 = 212 il-1

221 = Le β, ⇒ β, = 221 → GENERALIZ. β, = α,,

α, di =

222 = 012 β, + 22 ⇒ 22 = 222 - 212 β, di: - β,

di-ei'

ALGORITMO DI FATTOR. ZIONE × MATRICI HERMITIANE

sia A E C", A è Hermitiana se A = A# = (AT)

Assumiamo che A sia definita positiva: ∀ ✗ EC"" XIX > 0 e

✗ * AX-◦ ⇔ ✗ ⇒

TEOR Data A Hermitiana definita positiva allora:

∃! mate. Triang Sup t.e.A-L.LI definita da

li; = Rj; - È /2 5=1, ---, n

Il JK

KIT j-1 i = jte, ---/ m

1 %, - 2 lire lin

li; ljj KI 5=1, - , M

(in LU FATTORIE.)

Ed ho che L'è proprio il LEZ 16110

METODO DI GIVEN SU MATRICI SPARSE

Siamo i,j EIN con 1 ≤ i - j ≤ m e G ∈ ¢."

Definiamo G matrice di GIVENS abbiamo:

se ∃ YER, YEE con 141=1

Fi; = 2;; = cosy COSY - I seny

Dij

Iii

gi, =-è seny =

9;; 4 seny cosy

gji

Dj: = 4 sen 4

8km = 1 se K = I e K - J

Ine = 0 altrimenti

Esempio per m-2 • = (cosa -osery

«I <; ≤ 2 ⇒ 1=1

Per 5=2 ✗ seny cos 4

CASO GENERICO i < j

1 01 C- sen 4

0

Gli;):- G =; 5 " " 5 = -è seny

; 5 S = 4 sen 4

C

055 Det (G) ¥0 SEMPRE

vale il seguente teorema

sia AE 6" " e siamo 1 ≤ Icj ≤ m allora

TEOR ∃ una matrice di GIVENS Bij tale che:

Bij = Gi; -A =D (quindi Bij. = 0)

DIM Restano da definire O, 4

ai "

4- _ dii " | Aji

con la /

dai:/ ji

COSY: Sen Y: = la:P + la;)'

/ai:P + la;)'

Dal teorema: Bji = (G -A);;

i; = 0

= 9;; - ii + 9,,-9,, = I servi ai + cosyraji = 0

1aji / dai:/

_ Ai . / 1 aji

• ai: I

dii "

Aji /ai:P + la;)'

/ai:P + la;)'

seny COSY

→ 0=0 ✓ (applicaz. del metodo di Given)

FATTORIZZAZIONE QR

Sia A E C"" cerchiamo una matrice unitaria Q e una mate. Δ sup R

A- QR

tale che & = triangolare superiore

Q-unitaria (a" = Q*)

Oss Le matrici di GIVEN sono unitarie

DIM Dimostriamo che sono unitarie:

cosa -7 sen Y * sen"

COSY "°)

(Usen 4 cosa cosa/ =

- 4 sen 4

②

* (o Gif)

Q (a Gij) ) " ( ✓

- ⇒ Gi;#= Gij"⇒ UNITARIE

⇒ Gij • Gi;* LEZ 21110

CAP 2] RISOLUZIONE DI PROBLEMI

DI ALGEBRA LINEARE

2. 1) Metodi iterativi × sistemi lineari

Sia AEC", bec" e ✗ E 4"" M, 1

Che ¢

✗

' " '

per cui vogliamo generare una SUCCESSIONE con /

KEN

✗ '

" "

∈ E

-

per cui limito dove è soluzione del sistema.

A =D

t. C.

055 Non è possibile calcolare K-O iterazioni

La STRUTTURA GENERALE dei metodi iterativi prevede 3 cose:

1) Un algoritmo che mi permetta di costruire la successione /"I KEN

2) un insieme di condizioni di convergenza per cui ricordiamo che:

line

a- → *' = ⇔ liima.gg 11 ×'"- 11=0

3) dei criteri di stop per le iterazioni

11 ×'"- 11 → 0

Costruiamo prima dei tipi di algoritmi matrice di iterazione

M, M M, 1

Consideriamo piatti = By'+ & con BE ¢ feci

*

ciò prevede ×" C"" FISSATO da cui iniziare

Metodi iterativi lineari

Necessariamente se è soluz. del problema A =D

voglio che = B. + f (da un certo k in poi)

cioè è un PUNTO FISSO per lo schema iterativo lineare *

055 se è soluz. ⇒ A = b

e se A è invertibile ⇒ = A" b

ma se è punto fisso per * -= B + f ⇔ Àb = B È b +8 →

À" b- BA'b-f ⇔ (Id-B) A" b = f

Uno schema lineare * è detto CONSISTENTE con il sistema Ax-b

DEF se soddisfa detto CONDIZ. DI CONSISTENZA

(Id-B) A" b = f

NON SUFFICIENTE.

Questa condizione è NECESSARIA MA

Abbiamo bisogno di un adeguato punto ×'" di partenza che faccia

convergere a

(X) .

Per bypassare la scelta opportuna di ×" noi chiederemo che *

O

converga a 1'

per ogni dato iniziale ✗ * '+ b

Esempio consideriamo A = 2 Id e lo schema ↗""

per cui il sistema ⇔ 2 =3

Ax-b Id-×

Verifichiamo la CONDIZIONE DI CONSISTENZA • A- (È..:)

D=-Id

f- b,

(Id - B)-A- 1. b = f

Sostituiamo: (Id + Id) ½ Id-b = b

=D 2 Id. 1 Id b =D ⇒ b-b verificata A- ¼:)

Cioè la condiz. di consistenza tra 211=5 e lo schema è verif.

Scegliamo ✗ ' "= 0 ' "+ b =D

×'"

✗

' "= - ✗ '

" '+ b = -b + b = 0

* 3' = -✗

' "+ b = o + b = 5

×'" = ( 0, b, 0,5, -- e chiaramente NON CONVERGE.

Pertanto abbiamo verificato che CONSISTENZA → CONVERG (∀X")

In Generale Dato un sist. lineare uno schema iterativo (non necessari te lineare)

si dice /"

" "= 0 (×"? ×'""",.., ×'")

ESPLICITO vedremo questi

INPLICITO "

" "= ∅ (×":" ↑! ×" )

(funzione

2. 1.1 ITERATIVI LINEARI

CONVERGENZA DI SCHEMI

Uno schema iterativo lineare: (Rte)

✗ _ ∅ (×'")

per con BE ∈"" ^ feci"

∅ (x'") = B ✗

"+ f

TEOR UNO schema iterativo lineare CONSISTENTE converge per ogni scelta

di dato iniziale se e solo se:

9 (B) < 1

(RAGGIO SPETTRALE = autovalore di modulo massimo)

DEF Dato uno schema iterativo e soluz del problema Ax = b

definiamo Elk) (k) = l'ERRORE K-ESIMO

"+ "= B

DIM Lo schema iterativo è ✗ ' "+1 punto fisso

↗ = B + f

⇒ facciamo la differenza

1kt"- = B. (×'" - ) iterazione fino ad arrivare a

(K) 2"

E'"")- B Σ = B B e'"-1) = Bitti)

Il metodo converge (✗ ' "- → 0) se e solo se :

E'"

lim E "= ×'"- ∀ ×"]

- ◦ ⇔ lim B""E'" -o

K → xD K-> + CO

Ma visto che non deve dipendere da ✗ " "allora

lim B" = O ⇔ g (B) 21 ⇒ lo schema iterativo lineare

K-> +0 consistente CONVERGE ✓

Vediamo alcuni metodi ITERATIVI ESPLICITI

• Metodi che utilizzano SPLITTING DI MATRICI (o decomposiz.additi.ve)

Portiamo da Ax = b

Vogliamo splittore A come differenza di 2 motrici

A- P-N P, N ∈ 4" "

per cui se soluz del problema:

⇒ PT-N -b ⇒ PI-NI + b

A =D ⇒ (P-N) =D

Seguendo questo schema logico costruisco lo schema iterativo:

p ✗ 'kt" = N E' + b

se det (B)#0 : ✗ (kt') = p" N ×'"/+ P' "b

Ho che il metodo è consistente per costruzione (poiché parto direttam. dal probe)

Definisco il RESIDUO: 2"' = b- A ✗ (K)

Per ogni scelta di Ped N si hanno diversi METODI

• METODO DI JACOBI

Consid il sistema AX-b, A = (ai;) e definisco:

O_ -ai;)

Rii Ne

D= DIAG (A) = O - Rij

\

0 amm 4K h#K

- a

Mhk =

Lo schema iterativo è: O h-k

α,, ×:("")

= bi-FI, ai; ✗

%'

se ai ≠ :

1

✗ 4ᵗʰ" ↳ ÈI, ai; ×;" per i = 1, m

dii

• METODO DI IACOBI con RILASSAMENTO WE [0,1]

si introduce un parametro di rilassamento

M

(Rtl) w 12=1 ai; ×!"/+ (1- a) ×:"'

bi -

dii

✗ i J#

⇒ La matrice di iteraz. è: B = W B+ (1- W/Id

,

se 0=1 ⇒ Bu-B e si ha il metodo di Jacobi classico

METODO DI GAUSS - SEIDEL [A =P-N - D-(E + FI]

• Abbiamo P-(ai:) come per metodo di Jacobi = (% inn)

O - ai;)

E = Δ-sup = F- Δ-inf =

(°

- aji 0

⇒ N = E-F ulteriore splitting

( )

Quindi schema. (Rtl) in

×, = 1 - dij ×!

"

"

" Σ Qi; ×!"

bi ⅔

dii Jeite

Risultati di CONVERGENZA per i 3 metodi:

(1) Se A è SIMMETRICA e DEFINITA POSITIVA, allora:

• P è invertibile, e

• 9 (B) =p (P-N) (1 ⇒ convergenza assicurata

(2) Se A ha PREDOMINANZA DIAGONALE per righe (la:/ > ÈI, /ai/

allora i metodi convergono.

(3) Se il metodo di Jacobi converge, allora il metodo di Jacobi con

rilassamento converge ∀ W E 30, 1]

Altra tipologia di Metodi iterativi : METODO DEL GRADIENTE

Dato un sistema Ax-b, con A simmetrica e definita positiva

Voglio riscrivere il problema tramite una funzione:

∅:[→ e

per cui A -b ⇔ V0 ( ) = O

Definisco: ① (Y) = ½ F. A-Y - Y". b

1 Yi bi

= ½ Σ 1ª 1-È,

ij j

i

i, j-1

20

∅ =/"

aye 04m

20

¾ ⅔ (½ EI mai; Y; --. II Yi bi)

se Or (Σ dij Y; dij ⇒

= ½ Σ (a %) ai; %. + ½ Σ % ai; ancy;)

= 12¥ ai 4. + ½ E • in % - be

= (Ax - b)

k

Pertanto ☑ ① (✗ 1=0 ⇔ (A ✗ - b) ← =D

⇔ ✗ = A" b

⇔ × è soluzione del sistema Ax-b

introduciamo l'iterazione:

Pertanto 2k ( ×'" - b)

✗ "+ "= ×'" + La

per cui resta da definire chi sia [(K)" 2 (K)

Nel metodo del Gradiente abbiamo che: La = 2 "

"FA 2'"

dove 2#'= AX'"-b detto K-esimo residuo

Quindi gli STEP da seguire sono: TROVARE LA

TROVARE ✗ (K) → CALCOLARE IL RESIDUO 2"") ITERARE la proced.

DIM ∅ (✗

'kt") = 0 ( ✗ ' "+ α (A ×"-b) ): fla)

allora studio f' (A) = 0 ⅓

fla) = ½ (✗ '

"+ α, (Ax'"-b))? A. (✗

c'+ α,/Ax'

"-b))-( "+ α" (AXIS)"

24ᵗʰ AX'! b

= ½/ALL'2'"/TA (×':L, - (✗ ' "+ a- 2'"):b

.2'")

½ (✗ '* FA /"

"+ ½ α,/2 '

"FAX"" + 1 (✗ 'MIA α 2'" +

+ 1 2k (2'"FA Le 2'" (×'")" b - α (2'")" b

L'

(d) = ½ (2 AX'

"+ ½ (✗

'"FAZ' "+ 124/2'

"512""-(2"'Ib<