Metodi matematici e numerici - parte 4

REGOLA DELL'ESTREMO

3) sup ✗ ◦ =D fa)

fb)

Io (f) = f. (b) (b- a) b Δ

ERRORE CON LA REGOLA DEL P.TO MEDIO

I (f) = (↳ fax) dx =

{ " [Alto/+ L' (a) (x-Xo) + 1" E) (×-21×012 Jax

=L' fixoldx + [L'Collx-xoldx + [18" (E) (x-✗ e) 'dx

Io (f) Espansione di fix)

con Taylor

Se ✗ o = • + b (P.TO MEDIO)

2

⇒ I (f) - Io (f) = L'f' (a) (×-Xo) dx -451" (E) (X-Xoldx

2

calcoliamo lo

= L' (%-)-[(x-xoldx = 81:-/[È + (EF) (b-al

0

Pertanto g. (g)-Icf)-I. (f) = /"f" (E) (✗ -Xo)" dx =

2

b

- ½ f.

(E). (x-×.} = 11"

(E) [4-

xD-ca-×.)'

3 a

3

= 18" (E) 21: 4 Xo 4 b

Xo-a b- Xo

uguali ma opposti

INTERPOLAZIONE COMPOSTA con m-o ~ FORMULA del PUNTO

MEDIO

cerchiamo tante

cost. H - b-a no totale

m degli intervalli

Xp = a + 2×+1 H

H H H 2

A xe xe Xm piti medi di ogni sottointervallo

Iam (8) =/" am (f) dx

a -1

✗

sta 8 (Es) dx = Al Es). H

= È:?" am/f) di = È: ✗

s punto

nell'intervallo

⇒ Io,

m (8) = II 8 (Es) ( "I I

ERRORE ato ✗

e ⅓ b

Eam (f) = / È: 1":(Es) (* I

(1) ¾ IHH m-1 8"

(Es) . 42. b- a

↳ 24 m

≤ II 118"• . 24'. bm- a

- 118" la - ½ io -Ii 1 = 118"/lo ½ b-

a. m

L'integrale converge al valore

per

= 118"/lo (b- a) (b- a) ' . In esatto se si aumentano i

24 m → a sotto intervalli della griglia.

Osservaz. non ha senso aumentare m (grado del polim)/

• 13/11

n = 1 Formula di quadratura del trapezio

Ti fix) = fixo] Wo + fExo, ✗ e] Welt) = f. (Xo) + 81×1)-8 (Xo) (×-Xo)

✗ 1-Xo

I

Formula di Newton b

Assumo: → Ii (8) -Ilfe) =/a"Te fixtdx = (fra) + 8lb)-fla) (×-a)) dx =

✗

o-a fCI

b- a

✗

e = b b

b Tifa)

2

- fi)-× 8lb)-fla) ✗ -a)

- a

• /at b flat

a

2

= fai (b-

a) + 8%1-8/01 (b- al

"= ½ (b- a) (2 flat +8lb)-fla)) = 1 (b- a) (fra) + f. (bi)

(b- a) 2 a

Area del trapezio

Errore con la Form_del trapezio h = b- a

E (8) = - È. 8" (E) EE [ab] ; 2

~ o ~

m=2 FORMULA DI CAVALIERI - SIMPSON

Ho bisogno di 3 punti: (Xo, fixo)), (xe, fixe)), (X2, fixe))

Def-il polinomio 1=0×2 + bx + e vedi formula esplicita

Ia (f) = 1182)-½" T2 AG) DX

b del metodo di Newton

= fixo] Wolx) + fExo, ✗ 1) WICH + f Exo, ✗ 1, ✗ a] WalIdx

bya [flat + 4 fixe) + f.

(b)] Formula di CAVALIERI - SIMPSON

◦ PUNTO MEDIO ✗ 2

atb

2

approssima alla

parabola

Xi b

Errore della Formula Cav-Simpson

E 181-- ,"È 8"

(re) (EEINS]; 4=5-2)

↳ Abbiamo un miglioramento dell'esattezza

ma Abbiamo un TEOREMA (NEWTON-COTES)

(Mt 3)

Mm . 4"". f(E) In pari)

se m-2K

(Mta)!

En (f) = (m +2)

1+2 In dispari)

km . h f(E) se n = 2×+1

(nte)!

dove Mn, Km sono delle costanti

In generale Ling En (f) ≠ 0 → non si ha PRECISIONE

Definiamo la PRECISIONE di una formula di integrazione come il

MASSIMO GRADO P DEL POLINOMIO tale che: ovvero il max grado del poliman

Elp) = O ∀ PER che ci dà soluzioni esatte

ESEMPI CON LE FORMULE DI QUADRATURA VISTE

= ⅓ 8'/E) -◦

E. (f) ⇔ p (x)-0

M-O

MA Eelf) = 1- f" (E) =D ⇔ p" (x)-0 ⇔ patata

PRECISIONE = 1

ma → Ealf) = - "•

5 fn (E) =D ⇔ p"-o ⇔ p=ai+ bxtex + d

PRECISIONE = 3

TEOR. ∀ MEIN abbiamo:

m-2K ⇒ precisione = 2k-11 - n#1

n-ERA - precisione = n

4. 1 FORMULA DELL' INTERPOLAZ. COMPOSTA

Abbiamo visto che:

per neo: m-> u­

Em,:(f)

n Xm

Xo ✗ i

per me: ✗ * = a + KH con H- b-a ±

m a b

m- m- intervalli

grafica. k si può verificare che

Em,, (f) = 42 m² 8" (E) ma 0

(1)

" A" (E) mio ◦

per me 2 Em,

a (f) =_ b- a

180

In generale abbiamo Em, n (f) mais

ms 2 ∀ me IN O

4. 2 POLINOMI ORTOGONALI

Sia f: [2,53 → R e indichiamo con If la sua approssimazione

IL

mind f

a b

La"distanza" tra il grafico di f e quello di 11g è misurabile come

l'area delimitata dalle 2 curve.

Definiamo una NORMA per f: Il Villa = È, Ivii

118112 = ([18H15 a)

½

e lo spazio:

[([0,5] =/f:[a. b) → IR 118112 LA} chiediamo che l'integrale

converga sempre

Grafica. abbiamo una CONVERGENZA NON UNIFORME

UNIFORME 86 neo

cost.

Le M-l

fa retta

fa m = 2

⅓ parab

fa

Matematica. Anka CONVERGE UNIFORMEMENTE a f se:

enim → A ✗

sguepas, / fu (X) - f. (X)/ = 0

Oss: L'interpolazione polinomiale In (f) non da convergenza uniforme

Lo spazio [(Ta, 6]) è uno SPAZIO VETTORIALE, ma NON È

finito-dimensionale, cioè ∄ ME per cui :

una IN

Bn = {e,,.. _, en } è una base

Tuttavia posso scegliere una successione {Pnc" Metti

per cui: ∀f E L' ([a, b]): f =L In Pnlx)

PRODOTTO SCALARE:

Si definisce cf.gs = f (x) gal dx

∀ f, g E L'Ca, b)

La NORMA: Lf, f)

118112 =

PROPRIETÀ: 1 (f, g) I ≤ Il 8112. 119112

• DISUGUAGL. CA UCHY-SWARTZ 11×811 = 1×1-118112 #☑ ER

• OMOGENEITÀ:

• DIS. TRIANGOLARE 118+9112 ≤ 118112 + 119112

DEF Una success. di polinomi {pm (x) netti è detta

POLINOMI ORTOGONALI

di 7 1 se n = m

"Pm"1, Pmlx) > = "Pma)-Pma) dx o se n ≠ m

Sia feL([a. 33) (una funz. ∈ allo spazio vettoriale) può essere rappresentata come

una SERIE DI FUNZIONI:

Sg = Σ Pelt) che rappresenta la SERIE DI FOURIER

K-O coeff. di Fourier, ovvero il coeff della serie

talicoff. sono definiti come:

^ CA, Pe' ER

In < PRIPK'

Per funzioni nel campo dei COMPLESSI ∈ (prima eravamo in IR)

f:[a, b] > CI si ha:

b

PRODOTTO: < f, g) = f (x) gtx) dx In

SCALARE

Pertanto la serie di funzioni:

{ti. ., ÀIMEIN Poi---, Pm m-ah

Sf

Prop In [([0,53) la success. di funzioni:

Snf = È fu Prix) MEIN

CONVERGE UNIFORMEMENTE AD &

cioè: sup

lim ✗ Eta,b] / Snf - f / = o

m-> a 20/11/24

Sia f. una funz. f:[0,5] → IR (o 4)

Abbiamo che:

8º ∈ [([0,53) ⇔ " /fisif ds < 0 (Fourier)

PROPOS Sia fel' ([aib]) e sia fa = Èe fà PE) una serie di funz.,

allora: Il f- falla = min Il f- qui/la detta minima distanza

GERIX] (è una proprietà)

"

poli nomio

arbitrario

DIM Osserviamo che

8-full: (f- fu, f- fu) * 11811 =/[1814×7

il

se g EIRE] < f- fu, f- 9+9 -fu > Lfifs

=L f- fu, f- 93 + (f- fu, 9-fu >

Ho che f- In = Io TI PE'ÈI Pkk'= EI È Pr"

Ricordiamo che {P, ma sono polinomi di grado K ortogonali

< P,, p. > = Sij = e allora In [×] = < Po, __, Pn)

se i#j

≠ o se i =;

cioè ∀ PERMEX] 9 = dopo + __+ dm Pm KEIR

⇒ (f- In, 9- In > 0

(in cui sono presenti Po, _. _, pm

Pate' Pmta""

Quindi riprendendo l'eq.me iniziale: > = < f- fa, f- 93

Ilf-fall? = (f- fa, f- 9>+28-fu, 9- In

< Il f- full, • Il f- 9112

disuguaglianza di

Cauchy - Swarte ✓

118-falla ≤ Il f- 9112

BASE DI POLINOMI LEI parte intera

LES inferiore

PEX) = ½ È (1) (-11" (2k:') ×""

Generalizzazione possibile dove W:[a 15] → I

Lf, 92 =/α EACH SAIWA) dx

½

11814,2 ½"/fiwax

Ad es =

POLINOMIO DI CHEBYSHEV WE]-1,1 [

con

1

Sia M (x) = 1- x2

definisco pct) = cos (RO) per O = areas ✗

Per k-1 → pct) = costo) = cos (arcosix)) = ✗

PLX) = costo) = 1

K-O -

INTEGRAZIONE GAUSSIANA

f E Li ([a, b]) = {f: [a, b] → R / 118112,, < 0}

O

Definiamo I win (f) = ½" In fix)- W (X) dx li di Lagrange % = flxi)

= " (È "il:(✗ )) WE) dx

b li (x) WH) di = II di y

= È Yi di pesi di integrazione

TEOR. DI JACOBI

In, m (f) ha PRECISIONE ritmi se il polinomio nodale Wma (x)

associato ai modi il

soddisfa

Xo, - , ✗ n (X-Xo/(X-Xi):.:(×-Xm)

✓ < Wma (x), PLX) ↓-0 ∀ p ERM

Se c'è condiz. di ortogonalità tra il polin. nodale e il polin. arbitrario

COROLL. Il grado di precisione può essere al più 2m71, mentre

m al massimo assume valore mente

se

COROLL. sono polim. ortogonali e la precisione è ante

Pr

allora Iwin (f) è ottenuto con Xo, → ✗ m} zeri del polin Paix)

DEF Sono detti NODI DI GAUSS gli zeri del polinomio Palx).

In tal caso chiamiamo Iwin (f) la QUADRATURA GAUSSIANA.

ESEMPIO WCX) = 1- X2

allora gli zeri dell' Mta-esimo polim. di Chebycher sono

1=0, -

(21+1) I

✗ i = - cos - , M

26m41)

Li =

inoltre Mtt

SERIE DI FOURIER

Sia f [a,b] → 4 con 2=0, b = 21T

generaliz. l'idea di polinomio ortogonale a quella di FAMIGLIA

ORTOGON.

½ (X) = e'" = cos (RX) + i sen (KX) KEIN

per la forma di Eulero

Nei complessi, il prodotto scalore: KEM

< Or, cm) = per questa famiglia

K-m

2T ortogonale

✓ = vili

Def chiamiamo SERIE DI FOURIER di f:[0,53 → E in V

la serie: f- In Pe "

SIA)- II tre ere (x) 7=124 4

coeff di Fourier

1 - Cf, 4k = Lf, Un >

< 4k, 4ns 2T

k 2T 2T - IKX

f. (x) • area dx

1 f. (x) e

1 d

21T

2T

APPROSSIMAZIONE DISCRETA DELLA SERIE DI FOURIER (DFT)

Tronchiamo la serie di Fourier all'ordine N: 25/11/24

Su/f) = È è in NEIN

k

Ke-½ Ke_Le ⇒ K'= O

Per semplificare la notazione poniamo indici positivi: K'= K + se K = ½-1 ⇒ KEN-1

i (k'-1) ✗

Su (f) =:& fa, e CNA punti)

Introduciamo una griglia O = ✗

o < Xi C--- < = 21T

N-I

per calcolare l'integrale: con ✗ je = Xj th

Imio (Fi)

↓

N-A 4 = 2T

N-I

Pertanto rinominiamo K = K' h h h

✗ . ✗ 1 X2

¼-I = < &, ti > N → prodotto scalare discreto

= ½ h E f (x;) e -i (K-E) ×,

O (* = h;)

± ½ ÈI scuse-in-aix:

I (K-N); dove Wu = èh

= ¼ È f(Xi) (Wu)

Def L'applicazione che associa a

f- ((to), ___, fine)

discretizzazione

alla F- (f. , II) è detta TRASFORMATA DI FOURIER

DISCRETA

(DF