Metodi di Calcolo delle Strutture - teoria

METODI DI CALCOLO DELLE STRUTTURE

ANALISI CINEMATICA -> Metodo geometrico (CIR)

• 2 aste
• 1 cerniera esclusiva x ogni asta
• 0 cerniera relativa tra le aste

Possono anche essere esterne/interne

VINCOLI DOPPI

Gruppo di svincolare le 2 aste eliminando la cerniera relativa (OSS. di Eulero)

C₁, C₂ = centri di istantanea rotazione (CIR) assoluti, 1 x ciascuna asta!

Comp. di velocità analoghi a quelli di un disco circolare = annullo tangenze a seconda delle distanze dal CIR, velocità = congiungente del punto col CIR dell’asse.

CON LA CERNIERA RELATIVA

μ_B1 e μ_B2 coincidenti (struttura labile)

Struttura labile vincili compatibili con cond. di atto di moto complessivo

-> CIR relativo eliminato con i CIR assoluti delle 2 aste

Struttura non labile (no atto di moto se struttura rigida e determinanti le cerniere relative non comprimibile)

Equivalenze cinematiche -> 2 strutture diverse con stesso atto di moto (se labili) o entrambe non labili

Reti di moto descritti dalle stesse

Conoidi di velocità -- al CIR e lo stesso -> strutture cinematicamente equivalenti

Nel caso caso può valere l'equivalenza di cui sopra, corrello tra le 2 zone adiacenti in CIR relativo l'altro adiacente CIR assoluto

Non c'è eq. cinematico

Si può fare equivalenza cinematica solo se entrambi fissi, assoluto o entrambi relativi -- cinematica

Analisi Cinematica

n=2

gr: 3, n: 3*2=6

grv: 1, 2=2+1=6

g.d.L struttura ISOSTATICA

Non esiste CIR relativo tra le 2 aste che passa per H

(Su asse carrello in E)

_RC_Rnon labile

!= 0

Indice di Labilita

Analisi Statica

(con carichi sulla Struttura)

Schema ad albero:

• Eliminare tutti gli anelli
• Togliere tutti i vincoli fissi (a terra) tranne uno (a scelta)

Scegliere i vincoli con meno g.d.r. x togliere (meno vincolante)

DIAGRAMMI:

a 2 cerniere

Traz. V. - Pos. successive

Disegno in cui sono tutte forze

Tratto AK:

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

• Σ_x^AK = N = 0
• Σ_y^AK = 2F - T = 0
• ΣM_K^AK = H (l₀ + l) - (d - z) - 2F . l = 0

Posso scrivere eq. di equilibrio per entrambe le parti (struttura nel complesso in equilibrio, anche le sue sotto-parti sono in equilibrio)

Conviene scegliere tratto con equazioni più semplici (in questo caso AK)

• N = 0
• T = 2F
• H = 2F . d

∀ K ∊ (A B)

Sposto K in tratto BE:

Eq. su tratto KE:

Non si può fare equilibrio se tratto BK non è un tratto terminale come KE, è collegato al resto della struttura.

sezione “singolare”

facendo la differenza tra parte a dx e la simmetrica della a sx

Postulato de S. Venant - Effetti locali (trascurabili significativo solo in prossimità dell’estremo)

• pressione risultante ortogonale alla linea d’asse
• alla tangente alla linea d’asse anche in curva, ridotta

(Ipotesi di Bernoulli-Navier) Derivabile da le S.Venant

Cinematica linearizzata della trave

rotata intorno all’asse X

Ang di u,v,w

div, integrando v0.

considera anche systeme intorno all’asse y:

cinetiche lineare.

a singoli riflett, e dei sistemi

È sempre possibile trovare sist. rif. X cui momento d'inerzia centrifugo è nullo

(MT. RIF.) PRINCIPALE D'INERZIA

Se sez. simmetrica.

x y

dA

Qlunque sia l'asse x (perché ortogonale

all'asse y)

→ N - E - J . (C_zz⁰) (z) = 0

vettore azione interna

Modo noto

d'albero

Solido moto

rotaz.

Vettore

deformaz. femorale & associato

Modo noto (inf. da

isometria)

(INCOGNITA)

C_zz⁰ (z) =

dwo/dz

dψ/dz

d²ξ/dz²

= -1/E J⁻¹ . N

→ G_zz (x,y,z) = E ξ_zz (x,y,z) - E [1, x, y] . ξ_zz⁰ (z) =

= E [ξ,x,y] . 1/ E J⁻¹ . N

σ_zz (x,y,z) = [x,y] J⁻¹ | N

| -My

| Mx

FORMULA DI NAVIER GENERALIZZATA

VS FORMULA GENERALE (sist. ref. ordinario,

con z // asse neutro

Posso posizionare assi x e y

a "caso"

→ semplifica

Con particolari → SIST. RIF. BARICENTRICO

Sxz = 0 vic.tot. pressione per G

(cono generico)

BARYCENTRO

Sx = Sy = 0

J'⁻¹ = | 0

| o

| o

| o

= [A 0]

Matrice diagonale

Matrice a blocchi

Momento delle

inerzie

d₂w/dz₂ = N/EA

φ_y = dφ_y/dz = M_y/EI_yy

φ_x = dφ_x/dz = M_x/EI_xx

EA - rigidezza assiale

E∙Iyy - rigidezza flessionale

(* φ_y e anche l’inclinazione *)

(* all'asse 2 *)

lg(φ_y), φ_y → φ_y = 0

dx/dz

Cinematica lineare → |ψ| << 1

Deflessione solo nel piano

(↓)

CASO PIANO

M_x = 0

S_x = S_y = 0

I_xy = 0

M

L

M₁

DIRER. AZIONI INTERNE

Case (1) Case (2)

1) dwo/dz = N/EA = P/EA → (A)

(1) T (2) F

2) dφ_y/dz = M_y/EIyy = F

φ_y = C

-(F∙z)

FlEFN

Φ

IN GENERALE:

• Spost. positivo dal lato non trattogeo: u₁ = +M/EI
• Spost. positivo dal lato trattogeo: u₁ = -M/EI

In ogni caso conviene scegliere sempre in modo tale che in tutto positivo

Es:

• gdl = 3n = 3
• f_dV = 3 + 1 = 4

g_lv - g_ld → strutt. iperstatica

i = g_lv - g_ld + l = 4 - 3 + 0 = 1

Reaz. vincol. iperstatica

(Esco 2 min. nel locale)

∑F_x = N₁ + X = 0 → N₁ = X

∑M_KBE = M₁ + X⋅b = F(b-z) = 0

M_z = (X-F)⋅b + Fz

REA2 VMC

1) ⇒ ∑ F_x z² → - H_E + F = 0 → (H_E = -F)

2) ⇒ ∑ M_A = X + H_E b₁ + V_E b = 0

X + V_E = - F z _b → (X_b = V_E)

3) ⇒ ∑ F_x -> H_A + F = 0 → (H_A = 0)

4) ⇒ ∑ F_y → V_A + F_A x_VS + V_E = 0

→ (V_A = -X_B - F)

N.B. Quando la bolla 3 c'è solo la forza esterna poi la Ftrovata equivale a cavallo ai rec.s vincolari era H_E)

AZ. INTERNE

X_M^M

Considera solo i momenti flettenti (ingezza assale infinita)

M₁(x) = (X - F) z = X , M₂(x) = -F x = (- F x )

(Facendo tutti i casi si ottava questo)

LINEA ELASTICA nei 2 tratti

Δψ = SPOST. CURVA INVERSA

• AB
• W₁ = C₀
• U₁" = M₁ E
• ζ = 1x [X[0]] → X
• U_m(z) = 1 [ (X-F) z - 1 ] z² + C₁
• U_m(z) = 1 [ (X-F) z - 2 ] z² + C₁

• BE
• V₂ = C₅
• U₂(z) = -F D E
• U₂( ) = C₃