Metodi dettagliati di risoluzione degli integrali indefiniti, Analisi matematica I

Metodi di risoluzione integrali indefiniti

Oltre alle usuali regole di integrazione, è utile avere degli schemi per la risoluzione di alcune categorie di integrali. Ve ne fornisco qualcuno:

Integrazione di funzioni razionali fratte

∫ N/D dx

Avendo un integrale del tipo con N e D polinomi si può procedere solamente se il grado di N è minore del grado di D. Se ciò non accade si possono avere due casi:

• Grado N = Grado D ⇒ si fa comparire il denominatore al numeratore: N = Q + R/D
• Grado N > Grado D ⇒ si applica la formula dove Q è il quoziente e R è il resto.

È necessario a questo punto fare delle distinzioni:

Denominatore di 1° grado

• Grado N = 0 ⇒ ∫ dx/D = ln(x)
• Grado N = 1 ⇒ si usano artifici (faccio comparire i numeri che mi interessano al denominatore) + spezzo l'integrale e applico il caso precedente
• Grado N > 1 ⇒ applico il caso precedente e ulteriori suddivisioni

Denominatore di 2° grado

Se Δ > 0 si risolve l’equazione al denominatore per trovare le due radici e si scompone, riscrivendo il denominatore come: (X - X₁)(X - X₂). A questo punto si fa il minimo comune multiplo e si risolve il sistema lineare dato dall’uguaglianza del numeratore ottenuto con il numeratore di partenza, trovando così A e B. Infine, si riscrive l’integrale di partenza come i due integrali ottenuti scomponendo il denominatore e si risolvono come i casi precedenti.