Integrali Indefiniti + Metodi di Integrazione

Capitolo 4 Integrali Indefiniti Vol. 1 Parte II

4A Integrali Indefiniti Immediati

Cos'è una funzione primitiva? >>

Le f(x) che hanno una primitiva sono dette integrabili

Possono esistere infinite primitive.

Se una funzione F(x) ammette almeno una primitiva f(x)

- tutte le funzioni f(x) + c sono primitive di f(x), dove c è un numero reale qualsiasi

Quando l'insieme si chiama integrale indefinito di f(x)

∫f(x) dx è uguale a F(x) + c, dove F(x) è una primitiva e c è una costante arbitraria

Esempio

Calcola la primitiva di ∫x² dx = ∫dx = x^b+1/_b+1 + c = x²⁺¹/₂₊₁ + c = x³/₃ + c

quindi F(x) = x³/₃ è una primitiva di f(x).

Alcuni integrali immediati:

1. ∫x^b dx = x^b+1/_b+1 + c _{(b ≠ -1)}
2. ∫_A dx = log |x| + c
3. ∫e^x dx = e^x + c
4. ∫a^x dx = a^x/_{log a} + c
5. ∫sin x dx = -cos x + c
6. ∫cos x dx = sin x + c
7. ∫1/cos² x dx = tg x + c
8. ∫1/sin² x dx = -cotg x + c
9. ∫1/√1-x² dx = arcsin x + c
10. ∫1/1+x² dx = arctg x + c
11. ∫sinh x dx = cosh x + c
12. ∫cosh x dx = sinh x + c

CAPITOLO 4 - INTEGRALI INDEFINITI

VOL. 1, PARTE II

4A INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

Cos'è una FUNZIONE PRIMITIVA? >>

le F(x) che hanno una primitiva sono dette INTEGRABILI

Possono esserci infinite primitive.

Se una funzione F(x) ammette almeno una primitiva F(x)

tutte le funzioni F(x) + C sono primitive della F(x), dove C è un numero reale qualsiasi.

Questo insieme si chiama INTEGRALE INDEFINITO di F(x)

∫ F(x) dx        →   è uguale a F(x) + C, dove F(x) è una primitiva e C è una COSTANTE ARBITRARIA.

ESEMPIO

Calcola la primitiva di ∫ x² dx = ∫ x² dx = x^b+1 / b+1 + C = x²⁺¹ / 2+1 + C = x³ / 3 + C

quindi F(x) = x³ / 3 è una primitiva di F(x).

ALCUNI INTEGRALI IMMEDIATI:

1. ∫ x^b dx = x^b+1 / b+1 + c       (b ≠ -1)
2. ∫ 1/x dx = log |x| + c
3. ∫ e^x dx = e^x + c
4. ∫ a^x dx = a^x / log a + c
5. ∫ sin x dx = -cos x + c
6. ∫ cos x dx = sin x + c
7. ∫ 1/cos² x dx = tg x + c
8. ∫ 1/sin² x dx = -cotg x + c
9. ∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin x + c
10. ∫ 1/(1+x²) dx = arctg x + c
11. ∫ sinh x dx = cosh x + c
12. ∫ cosh x dx = sinh x + c

4.C INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE IN SOMMA

Il calcolo dell'integrale indefinito di una funzione si può ricondurre al calcolo di integrali già noti, o di tipo più semplice

Decomponi la funzione integranda nella somma di due o più funzioni

Applica la proprietà di linearità

ESEMPIO

Sommandosi sottraendo 1 al numeratore si ha che:

Applicando la proprietà di linearità dell'integrale indefinito

Di integrazione per parti

Si basa sulla formula di derivazione del prodotto di due funzioni

Così la formula di integrazione per parti

Se in un intervallo I, f e g sono due funzioni derivabili con derivata continua

Osservazioni riguardo la formula

L'ordine secondo cui le derivata di f e g sono continue, assicura l'esistenza dei due integrali presenti nelle formule

Esempio

1. x²cos x dx = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + ∫ - sin x dx = x sin x + cos x + C
   • f(x) = x come fattore finito
   • g(x) = cos x come fattore differenziale
2. ∫ x² cos x dx = x² sin x - ∫ 2x sin x dx = x sin x² - 2∫ x sin x dx
   • ∫ x sin x dx = -x cos x - ∫ - cos x dx = - x cos x + ∫ cos x = - x cos x + sin x + C
   • ∫ x² cos x dx = x sin x- 2 ( - x cos x + sin x ) + C = x sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C

1.e Integrali delle funzioni razionali

Cos'è una funzione razionale? → Funzione rapporto tra due polinomiP(x), Q(x) del tipo

P(x)/Q(x) = a_nx^m + a_m-1x^m-1 + ... + a₁x + a₀      b_nxⁿ + b_n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀

con m, n ∈ ℕ

Possiamo ottenere 2 casi → 1^o caso

m ≥ n

Si può eseguire la divisione di P(x)per Q(x)

P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x)

S(x) è ilquoziente e R(x)è il resto delladivisione.

Il grado diR(x) è di quellodi Q(x)

∫ P(x)/Q(x) dx = ∫ S(x) dx + ∫ R(x)/Q(x) dx

S(x) è un polinomio e il suointegrale indefinito è immediato

Segue che l'integrale di P(x)/Q(x)viene ricondotto a quello di R(x)/Q(x)che è una funzione razionale

m<n

2^o caso

Supponiamo che ilcoefficiente del grado max diQ(x) sia 1

Se Q(x) è di 1^o grado,l'integrale è immediato

P(x)/Q(x) = a₁/x-c → ∫ a₁/x-c dx = a log|x-c| + K

Se Q(x) è di 2grado

P(x)/Q(x) = ax+b/x²+cx+d → ∫ ax+b/x²+cx+d dx

x²+cx+d = (x-a₁)(x-a₂)

x²+cx+d = (x-α)²

Δ > 0

Δ = 0

Avremo 3 sotto casi.

Δ < 0

3 casi a suavolta

Vedremo questi tre sottocasinella prossima pagina.

Integrali delle funzioni razionali quando m < n

Siano a₁ e a₂ le radici reali e distinte di Q(x) se:

• Δ > 0

Si ha la scomposizione

x² + cx + d = (x - a₁)(x - a₂)

Possiamo determinare due costanti A₁ ed A₂, tali che

∀x

                a₁x + b = A₁     A₂

x²+cx+d         x-a₁           x-a₂

A₁ e A₂ si determinano in questo modo:

• y(A₁(x - a₂)    + A₁(x - a₁)) = a₁x + b      (x - a₁)     (x - a₂)
• A₁ + A₂ = per il principio di identità dei polinomi
• { A₁+ A₂ = c
• { A₁a₂ + A₂a₁ = b

L'integrare sarà:

       a₁x + b =       A₁   dx + A₂   dx

x² + cx + d       x-a₁          x-a₂

=> A₁ log |x-a₁|   - A₂ log |x-a₂| + c

• Δ = 0

Si ha la scomposizione ↓

x² + cx + d = (x - a)²

∀ A₁, A₂ tali che →

a₁x + b =     A₁   + A₂

x² + cx + d    x - a      (x - a)²

Si ha che l'integrale è:

    a₁x + b =   A₂ dx + A₁ + A₂ dx

x² + cx + d    (x - a)    (x - a)²

=> A₂ log |x - a| - A₂

• Δ < 0

Quando non si hanno radici reali, possiamo riscontrare tre casi:

1. x² + cx + d = x² + a²

• L'integrale è dunque

a₁x + b =     1    a₁x + b

x² + cx + d    x - a    (x - y)² + a²

Si ha log (x² + A₁b₂)+ b arco tg (t + y/x)

x^{2 + cx + d = x + h} +

Se si pone t = x + y; x - a = b

dx = h di log

Ci si indirizza nel caso precedente ∀

1. x² + c^{+d = (x - y)+h}

a₁x + b      A₁ x     a

(x + y) ^{+ h}      1    a₁x + b

x² + cx + d = x + h ⁺

Se si pone t = x + y; x - b = ya^alu; dx = h dx

Ci si induce di nuovo al primo caso ∀

Integrali Funzioni Razionali

Supponiamo che il coefficiente di x^s sia 1. Abbiamo 3 casi:

Siano β₁ = iγ₁, β¹/iγ₂, ..., β_s = iγ_s le radici complesse di Q(x)

1^o Caso

Le radici di Q(x) sono semplici

Si ha la scomposizione o.e.v.:

Q(x)=(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_s), (x² + ρx + q_j) dove n pari ->

xⁿ+p_jx+q_j -> x²-2β_j x + (β_j² + γ_j²)

a_i <-> ρ_j = 2β_j

q_j = β_j² + γ_j²

per j = 1, ..., s

Per R(x) si ha la decomposizione in somma:

R(x)/Q(x) = Sum (A_i/(x-a_i) + (Bx + C)/(x²+px+q_j))

Il tipo considerato prima...

2^o Caso

Q(x) ha radici multiple, no radici complesse semplici...

∫dx/(x - a_i)^m = -1/(m-1) + C

3^o Caso

Q(x) può ammettere anche radici complesse multiple...

... sono vissutamente p_i

Per R(x) / Q(x) vale la DECOMPOSIZIONE IN SOMMA

R(x) / Q(x) = ( A_i / (x - α_i^m_i) + A_i,mi / (x - α_i)^m_i + ( Σ _j=1^s ( h_j,1 x + k_j,1 / (x² + β_j x + γ_j) + h_j,2 x + k_j,2 / (x² + β_j x + γ_j) ^m_j + ... + h_j,mj x + k_j,mj / (x² + β_j x + γ_j)^m_j)

A_i,k, h_j,k, k_j,k sono le costanti contenente

I integrali ∫R(x)/Q(x) ∫riconducono al calcolo di integrali di tipo già conosciuto oppure analizzati

1 / (x² + x + γ) oppure 1 / (x - β)^l (x² - β)^m-1 (x - β)^l + y^2m

∫ 1 / [(x - β)^l + y^2m] ... (λ [ λ^{2m + l} ]) ∫ [(x - β)^l + y^2m]

∫ 1 / [(x - β)^2l + y^2m] dx ... eseguimo in sostituzione x = β + y t

∫ 1 / [(x-β)^{2l + 1} + y^2m]

... ∫ 1 / (x^2m + (x² - β²))^m dx = ∫ dt / (a² + t)^m dx e poi applicchiamo le formulae di riduzione (integrazioni per parti)

4 F INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Si basa sulla formula di integrazione delle funzioni composte.

Sia f una funzione continua e g una funzione derivabile con derivata continua in un dato intervallo I di R.

dx = g'(t)dt —> da cui segue —> x = g(t)

Come va messa questa formula? Quindi, se F(x) è una primitiva di f(x) => F(g(t)) è una primitiva di f(g(t)) • g'(t)

ESEMPIO

=>

Sostituiamo x = a sin t, quindi dx = a cos t dt

x = a sin t t = arcsin(^x/_a)

(+)