Metodi analitici e numerici per l'ingegneria - Appunti

Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

01/10/2003

Prerequisiti del corso

• Algebra lineare (fatta in analisi 2)
• Matrici, matrice inversa, trasporto, autovalori, autovettori

Soluzione di sistemi lineari

A x = c

Scrittura compatta per un sistema lineare

A = matrice m x n = ⎗ a₁₁ a₁₂ ... a_1n ⎚
⎗ a₂₁ a₂₂ ... a_2n ⎚
⎗ ... ... ... a_m1 a_m2 ... a_mn ⎚

Per adesso ci trattiamo i casi A = A^T

A = ⎗ a₁ a₂ a₃ ⎚ → nota come affionamento di vettori colonna → vista come sovrapponimento di vettori riga

c ∈ ℝⁿ → vettore dei termini noti

x = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ → vettore delle incognite

Teorema di Cramer

"A x = c ammette un'unica soluzione x, A ∈ ℝⁿ se e solo se det A ≠ 0 (A non è singolare)".

Se det A ≠ 0 ↔ ∃ A^-1 allora x = A^-1 c

Prop. → operazioni elementari (somma sottrazione, moltiplicazioni e divisioni) sul linguaggio del calcolatore

Per calcolare il determinante di una matrice di ordine n con il metodo di Laplace sono necessari n!=3∙(n+1)!

Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

01/10/2009

Prerequisiti del corso

• Algebra lineare (fatta in analisi 2)
• Matrici, matrice inversa, trasporto, autovalori, autovettori

Soluzione di sistemi lineari

A x = l

Scrittura compatta per un sistema lineare

A = matrice n x m =

Per adesso ci trattiamo solo i sistemi quadrati n_eq = n_inc

A =→ vista come sovrapposizione di vettore riga

l ∈ IR^n → vettore dei termini noti

x = (x_1, ..., x_n) ∈ IR^n → vettore delle incognite

Teorema di Cramer

"A x = l ammette un’unica soluzione x, ∀ l ∈ IR^n se e solo se det A ≠ 0 (A non è singolare)".

Se det A ≠ 0 ⇔ ∃ A^-1 allora x = A^-1 l

Props = operazioni elementari (somma soluzioni, moltiplicazione e divisioni per il linguaggio del calcolatore)

Per calcolare il determinante di una matrice di ordine n con il metodo di Laplace sono necessari n! (n+1)! flops, n = 15 ➔ calcolato da 16 flops/min ➔ 120 n = 20 ➔ ➔ ➔ ~3240 arm

Il metodo di Jacobian non va bene se calcolo il determinante molti di matrice tempo prende, in quanto vettore spesso accompagnamento lungo. Per questo per risolvere sono non lineari con il calcolatore e uso in altro metodo.

Metodo di eliminazione di Gauss

Tale metodo consiste nel rendere la matrice del sistema una matrice triangolare in modo da rendere molto più semplice la risoluzione del sistema (infatti andò il determinante si calcola pure nella co_sn)

Soluzione di un sistema diagonale

Matrice diagonale superiore:

[a₁₁ 0 - 0]
A = [a₂₁ a₂₂ 0]
[a_nn a_nz a_nn]

A x = b

Se si sviluppa il sistema si ottiene da:

• {a₁₁ x₁ = b₁ ➔ x_n = b_n/a_i}
• {a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ = b₂ ➔ x₂ = 1/a₂₂ (b₂ - a₂₁ x₁)}
• i. a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_im x₁ = b_i x_i = 1/a_ii (b_i - ∑_k=1^i-1 a_ik x_k) (i=1... n)

Per calcolare x_i col metodo della matrice triangolare allora ne bisogna di 1+2+(_⊖-1) flops. Per risolvere il sistema più di rinnovi risolvere tutte le equazioni e quindi il numero di flops richiesto è il seguente:

∑_i=1^m 1+(2(_i-1))= ∑_i=1 1 + 2 ∑_i=1^m (i-1)