Metodi analitici e numerici per l'ingegneria - Appunti

METODI ANALITICI E NUMERICI PER L'INGEGNERIA

01/10/2009

prerequisiti del corso:

• algebra lineare (fatta in analisi 2)
• matrici, matrice inversa, trasporto, autovalori, autovettori

Soluzione di sistemi lineari

A x = c

scrittura compatta per un sistema lineare:

A = matrice mxn

• a₁₁ a₁₂ ... a_1n
• a₂₁ a₂₂ ... a_2n
• ...
• a_m1 a_m2 ... a_mn

per alcuni si trattano solo i sistemi quadrati, m=n cioe' m=n

example: a₁ a₂ a₃ => [a₁ a² a³] => rotazione e traslazione di vettori colonna

A= [a₁ a₂ a₃] => vista come sovrapposizione di vettore riga

c ∈ ℝⁿ => vettore dei termini noti

x = (x₁, ... x_n) ∈ ℝⁿ => vettore delle incognite

TEOREMA DI CRAMER:

"Ax = c ammette un'unica soluzione x, ∀ ci ∈ ℝⁿ se e solo se det'A ≠ 0 (A non è singolare)"

Se detA ≠ 0 ⟺ ∃ A^-1 allora X = A^-1 c

Props => operazioni elementari (somme, sottrazioni, multipli)

rigoroso utilizzo definizione dei linguaggi del calcolatore

il calcolo dei determinanti di una matrice di ordine n con il metodo di Laplace sono necesari n + 1 (n+1)!

Metodo di eliminazione di Gauss

Tale metodo consiste nel rendere la matrice del sistema una matrice triangolare in modo da rendere molto più semplice la risoluzione del sistema stesso (infatti, andrà eseguito solo il calcolo per sostituzione).

Soluzione di un sistema diagonale

matrice diagonale superiore:

A = _lx ^{(nx1) con soluzione}

{_lx1 con sviluppo del sistema si ottiene:

{ l₁ = c₁ / a₁a₂1 _x1 + a ₂2 _{x 2 = l2 x2 = 1 / a 21 a22}

i = 0 n a_is2 x ₁ + a i _a2 x ₁ x 1n x = l ₁ = _{k = 1} (k _i a_ikxk) k = 1

Per calcolare x_i col metodo della matrice triangolare alla x bisogna di 1, 2 (i-1) flop, per risolvere il sistema vanno risolte tutte le equazioni, e quindi il numero di flop richiesto è il seguente:

• =
• Σ 12Σ
• Σ1 i = 2
• Σ (i-1)

Sviluppando per rigo i vari calcoli del prodotto matriciale si ottengono le seguenti equazioni:

M₁₁ = A₁₁ M₁₂ = A₁₂ M₁₃ = A₁₃ L₂₁ = M₂₂ = A₁₁ A₂₂ - A₂₁ A₁₂ A₁₁ M₂₃ = _{(a11 A13 - a21 A12 A13 ) A11 A11 L31 = A32 A31 A11 L32 = A32 A21 - A31 A22 A11}

(√ _{A11 A22 Determinata del minore di nord ondesti della notrici di perearcono}

M₃₃ = A₃₃ - L₃₁ M₁₃ - L₃₂ M₂₃

Nota

La fatorizzazione ente iden × A₁₁ ≠0 E Q A₁₁ A₂₂ - A₂₁ A₁₂ ≠0

si pu dimostare dis queste di un casor generale, de vol per ogni notrici di ordira

E

fattorizziamo LU ereseno notrici dell'sistema do

albrino ridolto con goese lanvolta scorna

|3 -1 1| |1 0 0| |M₁₁ M₁₂ M₁₃| A= |2 1 0| = |L₂₁ 1 0| . |0 M₂₂ M₂₃| |-2 -2 1| |L₃₁ L₃₂ 1| |0 0 M₃₃|

M₁₁ = 3 M₁₂ = -1 → M₁₃ = 1

primasecondo e terza colonna di U

moltiplichiamo lo secondo rigo di L per:

• La prima colonna di U: L₂₁ M₁₁ = 2 , L₂₁ = 2 L_{21 21} = = ₁
• La seconda colonna di U: L₂₁ M₁₂ = 1, 1 _{(-1) + M12 M22 = 3/3}

Metodo di riduzione degli errori per il calcolatore

Poiché ad ogni passaggio si divide per il pivot, si può immaginare di dover fare tantissimi test. Tipico dei metodi e punti dell'analisi computazionale, andro pivot che sarebbe un numero piccolo (in valore assoluto possono creare dei problemi.

(E.S. 5.8) facendo la fattorizzazione LU con Matlab e Octave si ottiene:

(c'è un errore commesso)

Per evitare questo errore vi spiego comunque il pivoting che immagino chi non sa cosa sia come pivot (il numero più grande in valore assoluto) disponibile quello delle colonne l.

• fra tutti gli a_ik^(K-1) *a_ik^(K-1) = K, n, si sceglie come pivot quello della modulo massimo.

Procediamo quindi:

• per k=1...n-1, chiami lo k^esimo indice per cui

• si scambia lo riga k-esima con la riga k-esima scambiando anche le altre righe per P(motivo di permutazioni) dopo per k-1^esima è l'indentità l.
• si procede con l'algoritmo della fattorizzazione

Alla fine si ottiene L, U, V e P.

LABORATORIO 06/10/2009

Introduzione a Matlab e Octave

Alcuni comandi principali:

• command window → è la finestra principale, nella quale si scrive
• workspace → è la finestra che racchiude tutte le visuali che si stanno utilizzando
• command history → è la finestra che racchiude tutta la cronologia cronologia dei comandi del programma

x soluzione numerica del sistema AX = b

si definisce

• ix - x˄i è l'errore

1. NOTE: i| x |i = norma euclidea del vettore X

x = sqrt ( x₁² + x ₂² + ... + x_n² ) (x ε R^m)

ESEMPIO:

Un questo esempio applicato si ha un notevole errore nella fattorizzazione LU

• H_n (matrice di Hilbert di ordine n) i,j = 1 / (i+j-1)

H_n X_m = b_m il sistema che si fa risolvere dal calcolatore

se riciclato l'errore E commesso ingrandisce caso si nota che diventa rilevante anche per n relativamente contenuti.

E_m = || X_m - x ||

|| X_m || ≈ sqrt (n) per n > 13 E_m = 10

problema relativo: l',errore E che si commette a priori (pericolo alle spalle delle matrici A) dal termine noto b, resta inaccadibile da calcolare col procedimento solito del ricalcolo x

per risolvere questo problema valuteremo E in termine del residuo

r = b - AX˄ = A(x - x)=A(x-x)

perchè b=ax

si dovrà quindi valutare E = (||A^-1r|| / ||x||)

Condizione di consistentza:

X = BX + c

Massimo degli autovalori di B (in modulo)

P(B) < 1

Condizione si riscriva nella la condizione di consistentza.

A x = l

(P - (P-A)) x = l ⬆_{solo scritture ridicono nella} P x = (P-A) x + (P^-1)c

Dividendo per P: X = P_v^-2 (P-A) e^(k)

quindi per B = P^-1 (P-A) = I - P_v P^-2 A e ^{yf = P-2}

X^(k+1) = P^-2 (P-A) X^(k) + P^-2 L

La notioce P viene scelta in modo da via allatrois falle da inevitere.