Appunti completi del corso "Metodi analitici e numerici per l'ingegneria"

Trasformata di Laplace

N.B. La trasformata di Laplace considera solo i valori di t tra 0 e +∞, ma generalmente una funzione ha come dominio tutto R, allora per fare i conti con la trasformata di Laplace si considerano solo i valori per t > 0, quindi la funzione di fatto è: Esempi: questa funzione non è integrabile, però si può comunque osservare che questo integrale fa sempre ∞: quindi questa funzione non è trasformabile. Condizioni sufficienti per essere trasformabili: - f continua, o con discontinuità di prima specie (a salto) - f cresca come l'esponenziale di un polinomio di primo grado Proprietà della trasformata: - Linearità: funzioni trasformabili - Esempio: Teoremi di shift - Moltiplicare per un esponenziale la funzione, equivale a fare una traslazione di s nella trasformata - Vale anche l'opposto - Trasformata delle derivate: integrazione per parti - Trasformata del prodotto di convoluzione (è commutativo) Per le antitrasformate si usa la

Applicazioni alle EDO (problemi di Cauchy)
Attenzione:	1) si applica ad equazioni lineari
	2) , risolve per (guarda solo in avanti)
	3) trova delle soluzioni "diverse" (accetta discontinuità)
Prototipo (secondo ordine):
Si trasformano entrambi i membri:	num: dipende dalla forzante B e dalle condizioni iniziali
	den: dipende solo dalle "caratteristiche intrinseche del sistema"
	Per questo la funzione è detta "funzione di trasferimento"
Ora per trovare y bisogna fare l'antitrasformata di Y:
Caso modello (a riposo):
Esempio: Oscillazione armonica:
Quindi se per esempio:
Metodi Numerici per Problemi di Cauchy (EDO)
Approssimazioni di derivate
Sia e sia la derivata è un numero reale: (noi considereremo sempre )
Differenza finita in avanti
Con differenza finita si intende il fatto che non si passa al limite, che è l'operazione che i calcolatori non sono in grado di fare.
h viene chiamato "passo di

Quindi al posto della funzione si sostituisce il rapporto incrementale.
= coefficiente angolare della secante
mentre la derivata è il coefficiente angolare della tangente
Questo metodo può essere applicato a tutti i punti dell'intervallo, tranne l'ultimo
ErroreTaylor:
Errore: "schema accurato al primo ordine", (perché l'errore va a 0 come h)
Differenza finita all'indietro
Questo metodo può essere applicato a tutti i punti dell'intervallo, tranne il primo
L'errore è uguale al caso precedente, quindi anche questo è uno "schema accurato al primo ordine".
Differenza finita centrata è più accurato perché la pendenza della secante è più simile alla pendenza della tangente
Infatti questo ha un "grado di accuratezza del secondo ordine":
Errore
Il fatto che i termini pari si semplificano, permette di proseguire al grado successivo
Questo metodopuò essere applicato a tutti i punti dell'intervallo, tranne il primo e l'ultimo. Iniziamo adesso i metodi per i problemi di Cauchy. (all'indietro si fa in modo analogo, basta prendere l'intervallo [T,t0]). Lavoreremo sempre solo in avanti rispetto t0: Tipicamente la soluzione non è esplicita, per questo vogliamo trovarne un'approssimazione. Approssimazione Discreta (NON è iterativa): La discretizzazione consiste nel suddividere l'intervallo dei tempi in un certo numero di sottointervalli: - h = passo di discretizzazione - n = numero intervalli di generico nodo: Soluzione esatta: noi non approssimeremo la funzione, ma approssimeremo i valori della funzione nei nodi c'è consistenza: Approssimazione: quindi l'approssimazione è un certo numero di valori: quindi è una sorta di "campionamento" della funzione nei nodi della discretizzazione per la condizione iniziale Ciò che si ottiene sono le coordinate di questi

punti:Schemi Numerici di Base - Metodi 1-step

Schema di Eulero in Avanti - EE

discretizzazione dei tempi

discretizzazione della soluzione

EDO: operazione di "collocazione", cioè di campionamento( f(t,y) = soluzione esatta dell'equazione esatta )

approssimazione dell'equazione con la differenza finita in avanti ( f(t,y) = soluzione approssimata dell'equazione approssimata )

incognita approssimata ( f(t,u) = soluzione esatta dell'equazione approssimata )

schema di Eulero:

Lo schema di Eulero in avanti è:

- esplicito ( u dipende solo dai nodi precedenti )

n+1- ad un passo ( u dipende solo u )

nn+1

Viene infatti chiamato EE (Eulero Esplicito) la soluzione è:

Facciamolo in 2 step:

In generale:

Fondamentalmente questo metodo costruisce una spezzata in cui ad ogni step viene aggiornato il coefficiente angolare.

Eulero all'Indietro - EI

Si fanno le stesse considerazioni del caso precedente, ma si usa la differenza finita all'indietro (invece che

quella in avanti)EDO:la collocazione viene fatta nel punto successivo: (non nel punto precedente)approssimazione della derivata prima con la differenza finita all'indietro:si risolve l'equazione approssimata:schema di Eulero:Lo schema di Eulero all'indietro è:- implicito ( u dipende a sua volta da u )n+1n+1- ad un passo ( u dipende solo u , cioè si considerano solo le informazioni ottenute al passo precedente )n+1 nViene infatti chiamato EI (Eulero Implicito)Questo metodo tenta di prevedere il coefficiente angolare della tangente al punto successivo.EE:EI:Crank-Nicolson - CNÈ la media dei due schemi precedenti:Lo schema di Crank-Nicolson è:- implicito ( u dipende a sua volta da u )n+1 n+1- ad un passo ( u dipende solo u , cioè si considerano solo le informazioni ottenute al passo precedente )n+1 nProblema ModelloEE: In generale:EI: In generale:CN: In generale:Analisi dei Metodi 1-stepSupponiamo esistenza globaleAnche se poi nella

pratica anche i computer si limitano a una scatola:(se la funzione esce da limiti: o ci si ferma fino all'ultimo valore buono, osi allargano i bordi della scatola)

Parole chiave:

• convergenza (soluzione approssimata soluzione esatta)
• consistenza (la soluzione esatta "verifica" lo schema = lo schema si comporta bene quando lo si applica alla soluzione esatta) (non verifica propriamente perché c'è di mezzo un'approssimazione)
• stabilità (piccole variazioni dei dati, implicano piccole variazione delle soluzione) "errore locale" (al nodo tn)

Definizione:

Il metodo converge se e solo se per

Il metodo converge con ordine se

Quindi è l'ordine di convergenza

Eulero Esplicito

Vediamo come si propaga l'errore:

L'errore si può suddividere in due parti: è sempre Eulero, ma partendo dalla soluzione esatta

da qua si vede che la soluzione esatta non verifica propriamente lo schema, perché se si mette y(n-1)

non si trova y(n) ma u*(n)

convergenza consistenza

errore locale: errore di troncamento locale:

errore globale: errore di troncamento globale:

convergenza di ordine p: consistenza di ordine p:

il metodo è consistente se τ(h) tende a 0

errore accumulato nei passi precedenti

Gli errori si amplificano via via che si va avanti per due motivi:

• il metodo tronca l'equazione (invece che seguire la funzione, si segue la tangente verde)
• non si parte dalla soluzione esatta, ma si parte da u(n-1)

EE consistenza (dal problema di Cauchy)

Bisogna vedere se τ(h) tende a 0: Taylor è il resto/h dello sviluppo di Taylor

quindi EE è consistente di ordine 1

EE convergenza

Bisogna vedere se en tende a 0:

Per il secondo termine bisogna usare la lipschitzianità:

In definitiva: l'errore quindi aumenta ad ogni passo

Sostituendo gli errori ai passi precedenti si ottiene:

Sfruttando queste due proprietà:

Possiamo scrivere: per la consistenza quindi EE è convergente

di ordine 1

Oss:- C* diventa brutta su intervalli non brevissimi- la stima della consistenza è cruciale per la stima della convergenza

Di conseguenza:- ordine di consistenza = ordine di convergenza- EI ha le stesse caratteristiche: consistente e convergente di ordine 1- CN invece è consistente e convergente di ordine 2

CN consistenzaBisogna vedere se τ(h) tende a 0:teorema fondamentaledel calcolo integrale è come l'errore della formula di quadratura del trapezioSupponendo:e definendo:si ha che: quindi CN è consistente di ordine 2

Stabilità- zero-stabilità: dipendenza continua dai dati, piccole perturbazioni sui dati, danno piccole perturbazioni sulla soluzione- assoluta stabilità comportamento per tempi lunghi del problema, quindi cosa succede a regime- A-stabilitàzero-stabilitàEs: perturbato perturbazioniperturbazioni dati:perturbazioni soluzioni:se è piccolo è piccolo ?Definizione:Lo schema si dice

"zero-stabile" se (passi ed errori non più grandi di un tot.)se allora= costante di trasmissione dell'errore

Come si potrebbe dimostrare?

Se da qui si ragiona come per la convergenza, alla fine si trova la zero-stabilità, con

Teorema

Per i metodi 1-step consistenti:

se continua in lo schema è zero-stabile

se lipschitziana rispetto a (ipotesi di base del teorema di esistenza globale)

Con costante che cresce esponenzialmente con T,L

Teorema di equivalenza di Lax-Richtmyer

Per i metodi 1-step consistenti:

se continua in lo schema è convergente lo schema è zero-stabile

se lipschitziana rispetto a (ipotesi di base del teorema di esistenza globale)

Questi teoremi si applicano a tutti e 3 gli schemi, che quindi sono tutti e 3 consistenti, convergenti e zero-stabili

Quindi consistenza, convergenza e stabilità sono strettamente collegate.

Absoluta stabilità

Non lavoriamo più su , ma su

Vogliamo valutare il comportamento per di

Quindi non ha

di EI è assolutamente stabile Quindi EI è "condizionalmente assolutamente stabile" IE: vera sempre Quindi IE è assolutamente stabile Quindi IE è "condizionalmente assolutamente stabile" In conclusione, tutti e tre gli schemi sono "condizionalmente assolutamente stabili" nel problema modello con λ < 0.