Parte 1, Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

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Appunti di Metodi analitici e numerici per l'ingegneria, prima parte, per l'esame della professoressa Cerutti. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la conduzione di calore, la legge di …

Esame Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Cerutti Maria Cristina

Università Politecnico di Milano

A.A. 2014-2015

144 pagine

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SECONDA PARTE

2/12/14

CONDUZIONE di CALORE

Anche qui abbiamo un modello matematico. Possiamo scomporlo, per realizzarlo, in 2 tipologie di "mottoni":

LEGGE di carattere generale (Newton, Leggi di conservazione, ecc)
Leggi costitutive specifiche (Hooke, Fourier, ecc)

e: calore per unità di massa al tempo t e = e(x̄, t) x̄ ∈ R³(R³ o R)ρ = COSTANTE. densità di massa

SECONDA PARTE

2/12/14

CONDUZIONE di CALORE

Anche qui abbiamo un modello matematico.

Possiamo scomporlo, per realizzarlo, in 2 tipologie di "mottoni":

LEGGE di carattere generale (Newton, Leggi di Conservazione, ecc)
Leggi costitutive specifiche (Hooke, Fourier, ecc)

e: calore per unità di massa al tempo te = e(x, t)

x ∈ ℝ³(ℝ² o ℝ)

p = costante densità di massa

Per studiare il fenomeno utilizzerò un'eq. di conservazione:

La variazione all'interno del corpo deve eguagliare il calore entrato/uscito dal corpo D.

FLUSSO DI CALORE

ENERGIA TOTALE in V al tempo t:

∫_V e(x,t)·ρ·dx

quindi la VARIAZIONE di energia totale in V:

d/dt ∫_V e(x,t)·ρ·dx = ∫_V ∂/∂t e(x,t)·ρ·dx =

dƶ: VARIABILE di INTEGRAZIONE SPECIFICA

∫_V ∂e/∂t (x,t)·ρ·dx

VUOL DIRE DERIVATA RISPETTO AL TEMPO

FLUSSO di CALORE ATTRAVERSO LA FRONTIERA (∂V), PIÙ IL CONTR. FONTI ESOGENE

N.B ATTRAVERSO:

LA FRONTIERA : ∂V
IL VOLUME : V

Ci interessa il flusso di calore che esce in maniera normale dalla frontiera.

Scriviamo il FLUSSO:

∫_v q · m dσ = − ∫_v div q · dx

Teo. della DIVERGENZA

⇒ ∫_v e_f(x, t) · ρ · dx = − ∫_v div q · dx + ∫_v r · ρ · dx

r: quantità di energia per unità di massa e di tempo da fonti esogene.

Poiché V è un volume to arbitrario in D, l'uguaglianza può essere scritta senza gli integrali:

C_t · ρ = - div q + r · ρ

LEGGI COSTITUTIVE

μ: temperatura

FOURIER

q̅ = -k grad μ

k > 0

grad: SOLO SPAZIALE

e = Cμ

C M_t = k div(grad μ) + r_C ρ

Se X̅ = (x, y, z)

e grad μ = (M_x, M_y, M_z)

⇒ div(grad μ) = M_xx + M_yy + M_zz = Δμ

(OPERATORE di LAPLACE)

⇒ M_t = k/C · Δμ + r/C ρ

EQUAZIONE di DIFFUSIONE

M_t - k·Δμ = f(t,X̅)

X̅ ∈ D

t > 0

Esempio (questo!) di un'eq. differenziale alle derivate parziali (PDE) di II^o ordine lineare.

Quando un problema si dice BEN POSTO:

SOLUZIONE: ∃ e ∀
STABILE

CONDIZIONI per un problema ben posto:

CAUCHY

m(²,o) = g(x) + CONDIZIONI AL BORDO (*)

(*) ne abbiamo 4:

DICHLET:

u_|∂D(²,t) = h₁(²,t) &xisin; ∂D, t > 0

PRESCRIVERE LA T°

NEUMANN:

∂m ↦ u_|∂D(²,t) = h₂(²,t)

PRESCRIVERE IL FLUSSO DI CALORE ATTRAVERSO LA FRONTIERA

MISTO:

prescrivere la T° su una parte di frontiera, e il flusso su un'altra.

ROBIN:

u_n(²,t) ∝ (U - u(²,t)) &xisin; ∂D, t > 0

prescrivere le RADIAZIONI

U: temp. ambiente circostante

μ è soluzione se ho il n° di derivate coinvolte nell'eq., continue e se sostituite nell'eq. mi danno un'identità.

μ ∈ C^2,1 (D x (0,+∞))_Ω

2: derivate spaziali

1: temporale CONTINUE

TEOREMA: Se f, h₁, h₂ sono continue, allora ∁D, ∁N, ∁M, ∁R sono ben poste per l'eq. di diffusione; μ_t - KΔμ = f in D x (0,+∞)

con μ ∈ C^2,1 (Ω)

CASO-MONODIMENSIONALE: Un filo che occupa un segmento nell'asse x, di lunghezza L; μ=μ(x,t)

⇒ μ_t - Kμ_xx = f(x,t)

in (0,L) x (0,+∞) = Ω

_{PRODOTTO CARTESIAN}

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