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SECONDA PARTE
2/12/14
CONDUZIONE di CALORE
Anche qui abbiamo un modello matematico. Possiamo scomporlo, per realizzarlo, in 2 tipologie di "mattoni":
- LEGGE di carattere generale (NEWTON, LEGGI di CONSERVAZIONE, ecc)
- Leggi costitutive specifiche (HOOKE, FOURIER, ecc)
e: CALORE per unità di massa al tempo t
e = e(x,t)
χ ∈ ℝ³(ℝ²₀-ℝ)
ρ = COSTANTE: densità di masse
Per studiare il fenomeno utilizzerò un'eq. di conservazione. La variazione all'interno del corpo deve eguagliare il calore entrato/uscito dal corpo D.
ENERGIA TOTALE in V al tempo t:
quindi la VARIAZIONE di energia totale in V:
= FLUSSO DI CALORE ATTRAVERSO LA FRONTIERA (\partial V), PIÙ IL CONTR. FONTI ESOGENE
dξ: VARIABILE di INTEGRAZIONE SPECIFICA
N.B. ATTRAVERSO:
- LA FRONTIERA: ∂V
- IL VOLUME: V
Ci interessa il flusso di calore che esce in maniera normale dalla frontiera.
u è soluzione se ho il nº di derivate coinvolte nell'eq. continue e se sostituite nell'eq. mi danno un'identità:
u ∈ C2,1(D x (0,+∞))
2 derivate spaziali
1 temporale
TEOREMA: Se f, h1, h2 sono continue, allora CD, CN, CM, CR sono buoni per l'eq. di diffusione; ut - K ⋅ Δu = f in D x (0,+∞) con u ∈ C2,1(Ω)
CASO MONODIMENSIONALE: Un filo che occupa un segmento nell'asse x, di lunghezza L; u = u(x, t)
ut - K ⋅ uxx = f(x, t) in (0, L) x (0, +∞) = Ω
PRODOTTO CARTESIANO
2o CASO | λ = 0
X''(x) = 0 ⇒ X(x) = C1 + C2×X
X(0) = X(π) = 0 ⇒ X(x) = 0 , non ci interessa
3o CASO | λ < 0
lo scriviamo come λ = -ω2 (ω>0)
μ2 + ω2 = 0 ⇒ μ = ±iω
L'integrale generale potrà essere scritto così :
X(x) = C1 cos ωx + C2 sen ωx
- X(0) = C1 = 0
- X(π) = C2 sen ωπ = 0 ; il sen ωπ = 0 se ω = n ∈ N , n ≠ 0.
Otteniamo stavolta delle soluzioni anche NON BANALI :
Xm(x) = C2 sen mx
Tm(t) = C e-D·m2·t
Um(x,t) = Cm e-D·m2·t sen mx
(λ = -m2)
Infinito numerabile di soluzioni ; mi rimane il problema della CONDIZIONE INIZIALE di DIRICHLET
Mostriamo che t→∞ u(x,t) = 0 ;
Se ∑ fm(x) è C.I. W in (a,b) e se ∃ finiti
x→b fm(x) = lm e se ∑m=1∞ lm = L finito ;
x→b s(x) = x→b ∑m=1∞ fm(x) = L = ∑m=1∞ [x→b fm(x)]
⇒ t→∞ fm(x,t) = 0 ;
Per un problema generale :
(CD con Dirichlet omogeneo)
- Ut - D ⋅ Uxx = 0 im (0,π) × (0,+∞)
- U(0,t) = U(π,t) = 0 im (0,+∞)
- U(x,0) = g(x) im [0,π]
Um(x,t) = e-m²⋅D⋅t ⋅ sen mx
Posso risolvere l’esercizio se g(x) è sviluppabile
le in serie di FOURIER di soli seni.
La ∑ di FOURIER rappresenta la g(x),
purché la g(x) sia continua e g(0)=g(π)=0.
Problema
Separazione delle variabili:
Mt - D∙Mxx = 0
u(0,t) = u(π,t) = 0
u(x,0) = g(x)
u(x,t) = ∑m=1∞ bm e-D∙m²∙t∙senmx
Teorema
∑m=1∞ fm(x) di W in I con fm derivabili e ∀C ∑m=1∞ fm'(x) di W in I,
allora ∑m=1∞ fm(x) = S(x) e S'(x) = ∑m=1∞ fm'(x);
⇒ un(x,t) è continuo per t>0, fisso t0>0;
|bm e-D∙m²∙t∙senmx| ≤ |bm|e-D∙m²∙t0 = |bm|eD∙t0(1)
è termine generale di ∑ convergente xt
|bm| → 0 e (1/eD∙t0)m² < (1/eD∙t0)m termine generale
di ∑ geometrica convergente.
u(x,t) è continuo in [0,π]×[t0,+∞), ma
t0 è arbitrario, quindi è continuo in [0,π]×[0,∞).
Riprendiamo da dopo l'esempio dell'inquinante:
Ct = D ⋅ Cxx - ∇ Cx + α ⋅ C
W(x,t) = eh⋅x+k⋅t ⋅ C(x,t) , scegliere h e k ∇ C :
Wt = D ⋅ Wxx
⇒ KC + Ct - D(h2 C + 2h Cx + Cxx) = 0
⇒ Ct - D ⋅ Cxx = -∇ Cx + α ⋅ C + K C - D h2 C + 2h ⋅ D ⋅ Cx
⇒ 0 = (-∇ + 2h ⋅ D) Cx + (K - D ⋅ h2 + α) C = 0
h = ∇/2D
K = D(∇/2D)2 + α
⇒ C(x,t) = e-h⋅x−k⋅t ⋅ W(x,t)
EQ. di LAPLACE/POISSON
(non evolutiva, è stazionaria)
Δu = 0 (LAPLACE)
Δu = f (POISSON)
x ∈ Ω ⊂ ℝm (m ≤ 3) aperto, connesso e limitato
INTERPRETAZIONI FISICHE
- Distribuzione di calore a regime (o staz) (EQ. ONDE: Utt - α · Δu = f)
- Tensionamento di una membrana soggetta a vincoli.
- Potenziale elettrostatico in Ω
- se cariche ∈ ΩΔu = g
- se cariche ∉ ΩΔu = 0
ESEMPIO
Δu = 0 u |∂Br = g in Br(ō)
Insieme connesso: tutti i punti sono congiungibili tramite una curva. Insieme convesso: la curva che li collega appartiene sempre all'insieme.
con Br(ō) = { (x,y) ∈ ℝ² | x² + y² ≤ R² }
Per risolverlo si passa in coord. polari:
∇uρρ + 1/ρ ∇uρ + 1/ρ² ∇uθθ = 0 ρ ∈ (0, R) θ ∈ (-π, π)
u(ρ, θ) = g1(θ), g1(θ) = g(R cosθ, R senθ)
Voglio u periodica in θ. METODO SEP. VARIABILI Cerco u(ρ, θ) = R(ρ)·T(θ)
⇒ ∇uρ = R'(ρ)·T(θ), ∇uρρ = R''(ρ)·T(θ), ∇uθθ = R(ρ)·T''(θ)
⇒ R''(ρ)·T(θ) + 1/ρ R'(ρ)·T(θ) + 1/ρ² R(ρ)·T''(θ) = 0
dividendo per R(ρ)·T(θ), ottengo:
R''(ρ)/R(ρ) + 1/ρ R'(ρ)/R(ρ) + 1/ρ² T''(θ)/T(θ) = 0, moltiplico per ρ²
Chiamiamo y = L / π
Se L → +∞ λm(L) → 0 , βm,L(x) → 0
Vuol dire all’∞ la tecnica delle separazioni delle variabili non funzione, vale solo per lunghezze FINITE.
Ritorniamo al caso generale: DERICLET
μ(t,0) = α , μ(t,π) = b , problema non più omogeneo.
⇒ μ(t,x) = ∑n=1 Am e-m2·t · sen(m·t)
μ(0,x) = φ(x) = senx - ½ sen(8x)
Facciamo una sostituzione di incognita: INCOGNITA AUSILIARIA ν(t,x)
ν(t,x) = μ(t,x) - &ftilde;(t,x)
&ftilde; ∈ C2[0,π] ; ν(t,0) = ν(t,π) = 0
⇒ &ftilde;(x) = a + &frac{b - a}{\frac{L}{π}} · x
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