Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
METODI ANALITICI e NUMERICI per l'INGEGNERIA
(prof.ssa CRISTINA CERUTTI)
Alla base del corso, come alla base dello studio ingegneristico, abbiamo dei modelli matematici basati su equazioni (differenziali) alle derivate parziali. Non avremo dunque solo equazioni ordinarie, ma equazioni con all'interno derivate di funzioni.
Come è costruito un MODELLO MATEMATICO?
- LEGGI GENERALI (conservazione e bilancio di energia, massa, forza, quantità di moto)
- RELAZIONI COSTITUTIVE
- leggi di carattere sperimentale (HOOKE, FOURIER, FICK, DARCY)
Dopo aver definito un modello, devo pormi delle domande:
- Le equazioni scritte sono ben poste? Ammettono soluzioni? Sono uniche? Si potrebbero calcolare a mano?
Se il problema è troppo complesso, si procede così:
- DISCRETIZZANDO il dominio di calcolo;
- Cerco una SOLUZIONE APPROSSIMATIVA, ad esempio una soluzione lineare;
- Impongo il bilancio di forze alle mie singole e semplifico parti di dominio.
A questo punto ci poniamo un'altra domanda: Quanto bene riusciamo ad approssimare lo stato di deformazione, o di pressione o di calore con una semplificazione lineare a tratti?
Poi dobbiamo trovare un coefficiente moltiplicatore
21(1) =
21 = 21 / 11
= 2 - 21 1
(1) = 2 - (1) 1 ;
Stesso procedimento per 3(1) :
3 [-2 -2 1 -2]
1 -3 [3 -1 1 2]
- ,-
= (1) [
dalla 3a:
M11 = Q11
M12 = a12
l21 = a21 / a11
dalla 4a:
l21 · M11 = a21
l21 · M12 + M22 = Q22
u22 = Q22 - a21 · a12 / a11
M22 = (Q22 · Q11 - Q21 · Q12) / a11 → det(A)
N. B. CONDIZIONE NECESSARIA: a11 ≠ 0
In un caso generale di matrice M x n, facendo i prodotti riga per colonna, ottengo n2 eq. e n2 + m incognite, per cui scelgo n incognite libere lii = 1, i = 1, ..., n;
Ottengo che la prima riga di U è uguale alla prima riga di A; per ciò questo tipo di fattorizzazione viene anche chiamato
FATTORIZZAZIONE LU di GAUSS, xx è legato al MEG grazie a questo primo passaggio.
La matrice U è proprio quello dei coeff. che ottengo col MEG, e gli elementi di L (non banali, ≠ 0, ≠ 1) sono i moltiplicatori del MEG, cioè lij = Mij.
CNS
Condizione necessaria e sufficiente
Affinché LU di Gauss di una matrice A, è (la condizione) che i determinanti delle sottomatrici di Nord-Ovest siano ≠ da zero.
Se la mia matrice è singolare, superiore, posso scambiare tra loro le ultime 2 righe.
CS
- È che A sia a dominanza diagonale stretta per righe; cioè:
|akk| > ∑j=1m |akj|
- È che A sia simmetrico e definita positiva, cioè aij = aji; e che tutti gli autovettori di A siano > di zero. (Ricordo che se A è simmetrica ∃ P t.c. P.A.PT = Λ diagonale)
Se K(A) >> 1 dice che A è malcondizionata.
"cond(Ha) > 15000"
Hilbert di 4o ordine
A simmetrica definita positiva:
||A|| = max λi autovalori
- A è diagonalizzabile;
- ∃ λ1, ..., λm > 0;
- ∃ una base ortonormale di autovettori
Insieme di vettori {Vi} i=1,...,m che generano tutto lo spazio e sono linearmente indipendenti.
Cioè ||Vi|| = 1 e ViT Vj = 0, i ≠ j
N.B: Gli autovalori di una matrice inversa saranno i reciproci della matrice di partenza.
DEFINIZIONE AUTOVALORI e AUTOVETTORI
- A·Vi = λi·Vi (Vi ≠ 0)
x̄ ∈ ℝm
x̄ = ∑i=1m xi·Vi
⇒ ||A·x̄||2 = (A·x̄)T(A·x̄) = (A(∑i=1m xi·Vi))T(A(∑i=1m xi·Vi))
METODO di RICHARDSON:
Ha un parso di sviluppo e sono fatti così, in generale:
P (k+1x̄(k+1) - x̄(k)) = αk · r̄(k) , P: matrice di precondizionamento
ESEMPIO:
x̄(k+1) = x̄(k) + αk · P-1 · r̄(k) , r̄(k) = b - A · x̄(k)
se P = I, non precondizionato.
αk = α metodo STAZIONARIO αk ≠ α " DINAMICO
Il metodo stazionario non verrà preso in considerazione durante il corso.
È un procedimento a cascata; con il valore di K ricavo la prima circonferenza di livello in cui, dopo la scelta del primo piano verticale, trovo la X(0). A questo punto mi muovo sul vettore P(0) diretto nel verso -∇⊗(X(0)); in quella direzione, andrò, tramite un altro piano a trovare X(1) e di conseguente P(1); procedo in questo modo fino a ricavarmi il punto X(k) minimo del paraboloide.
Ora facciamo i conti:
∇⊗(ȳ) = -F̅ = A⋅F̅ -b̅, direzione di massima decrescita!
⇒ X(1) = X(0) - λ ⋅ ∇⊗(X(0)) = X(0) + λ ⋅ F̅
Dobbiamo scegliere un α = α(k) ∇⊗ sia minimo.
1) ∂F/∂α(o) = p(o)ᴛ∇ℽ(x(o) + α(o)p(o) + α(1)p(1)) =
= p(o)ᴛ[A(x(o) + α(o)p(o) + α(1)p(1)) - b] =
= p(o)ᴛr + α(o)p(o)ᴛA.p(o) + α(1)p(o)ᴛA.p(1);
2) ∂F/∂α(1) = p(1)ᴛ∇ℽ(x(o) + α(o)p(o) + α(1)p(1)) =
= p(1)ᴛ[A(x(o) + α(o)p(o) + α(1)p(1)) - b] =
= - p(1)ᴛr + α(o)p(1)ᴛA.p(o) + α(1)p(1)ᴛA.p(1);
Abbiamo 2 equazioni in 2 incognite (α(o), α(1)) e non abbiamo ancora scelto p(1).
Devo sceglierlo in modo che p(o)ᴛA.p(1) = ∅
⟹ α(o) = p(o)ᴛr(o) / p(o)ᴛA.p(o) e α(1) = p(1)ᴛr(1) / p(1)ᴛA.p(1),
essendo poi r(1) - r(o) ⟂ p(1);
Miglioriamo dunque il MGC:
W(k) = A · P(k)
r(k) P(k) = ( P(k)T W(k) )-1 r(k) P(k) => X(k+1) = X(k) + α · P(k)
=> r(k+1) = r(k) - α · W(k)
β(k) = r(k+1)TW(k) / P(k)TW(k) , e infine P(k+1) = r(k+1) - β · P(k)
CRITERIO di ARRESTO: Si usa:
- Sui RESIDUO, ci si arresta per K=Kmin, il primo K per cui: ||r(Kmin)|| < ε ||b|| => E(k) = ||e(Kmin)|| / ||X|| < ε · K(A)
- Sull'INCREMENTO, ci si arresta per K=Kmin, primo K per cui: ||δ(k)|| < ε ||b||; δ(k) = X(k+1) - X(k)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
