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METODI ANALITICI e NUMERICI

per l'INGEGNERIA

( proff CRISTINA CERUTTI )

Alla base del corso, come alla base dello studio ingegneristico, abbiamo dei modelli matematici basati su equazioni (differenziali) alle derivate parziali. Non avremo dunque solo equazioni ordinarie, ma equazioni con all'interno derivate di funzioni.

Come è costruito un MODELLO MATEMATICO?

  1. LEGGI GENERALI (conservazione e bilancio di energia, massa, forza, q.d.moto)
  2. RELAZIONI COSTITUTIVE
    • leggi di carattere sperimentale (HOOKE, FOURIER, FICK, DARCY)

METODI ANALITICI e NUMERICI

per L'INGEGNERIA

(prof. CRISTINA CERUTTI)

Alla base del corso, come alla base dello studio ingegneristico, abbiamo dei modelli matematici basati su equazioni (differenziali) alle derivate parziali. Non avremo dunque solo equazioni ordinarie, ma equazioni con all'interno derivate di funzioni.

Come è costruito un MODELLO MATEMATICO?

  1. LEGGI GENERALI (conservazione e bilancio di energia, massa, forza, quantità di moto)
  2. RELAZIONI COSTITUTIVE
    • leggi di carattere sperimentale (HOOKE, FOURIER, FICK, DARCY)

Dopo aver definito un modello, devo pormi delle domande :

  • Le equazioni scritte sono ben poste? Ammettono soluzioni? Sono uniche? Si potrebbero calcolare a mano?

Se il problema è troppo complesso, si procede così:

  1. DISCRETIZZANDO il dominio di calcolo ;
  2. Cerco una SOLUZIONE APPROSSIMATIVA, ad esempio uso solve lineare;
  3. Impongo il bilancio di forze alle mie singole e semplifica parti di dominio.

A questo punto ci poniamo un'altra domanda: Quanto bene riesciamo ad approssimare lo stato di deformazione, o di pressione o di calore con una semplificazione lineare a tratti?

Studieremo la TEORIA dell'APPROSSIMAZIONE:

  • Come APPROSSIMARE la funzione data (o il suo integrale mediante la derivata);
  • Come quantificare l'ERRORE;

Tutto questo porta a risolvere un ENORME sistema LINEARE (quindi semplice) di questo forma:

A · u = F

Dunque, tu, studente di ingegneria che prendi gli appunti fatti da qualcun'altro perchè la tua professoressa è uno scapro a spiegare, vedi di ripassare tutto l'ALGEBRA LINEARE se vuoi superare questo esame.

Soluzioni di sistemi lineari

A·x=b, A matrice m x m, x, b∈ℝ

Se A non è singolare, cioè il det[A] ≠ 0

⇒ ∃ ! x soluzione, e sarà questa:

x = A-1·b

N.B Trattino sopra = Vect. Colonna

" " sotto = Vect. Riga

MEG (metodo di eliminazione di gauss)

Prima di scrivere l’algoritmo, cerchiamo di capirlo con un esempio:

  • 3x - y + z = 2
  • 2x + y = 1
  • -2x - 2y + z = -2

Andiamo a rappresentare la matrice dei coefficienti, orlata con il vettore colonna dei termini noti.

OBBIETTIVO Scrivere la matrice come matrice triangolare superiore, cioè avente tutti gli elementi SOTTODIAGONALI uguali a zero, ma mantenendo il significato della matrice di partenza. Come faccio?

Prendendo delle particolari COMBINAZIONI LINEARI delle righe delle matrici A e B.

A = Q1 Q2 Q3

B = b1 b2 b3

⇒ b1(1) = b1, cioè la prima riga della mia nuova matrice sarà uguale alla prima riga della matrice di partenza.

Poi dobbiamo trovare un coefficiente moltiplicatore

"m" T.C Q21(1) = 0

b2   [ 2   1   0   1 ]

b1   [ 2/3   3   -1   1   2 ]

m21   0 5/3   -2/3   -1/3 → b2(1)

         M21 = Q21/Q11

⇒   b(1)2 = b2 - m · b1 ;

Stesso procedimento per b(1)3:

b3   [ -2   -2 &ems

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Scienze matematiche e informatiche MAT/08 Analisi numerica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Skyrex di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi analitici e numerici per l'ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Cerutti Maria Cristina.
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