Metodi Analitici e Numerici / Calcolo Numerico - teoria parte 2

PARTE III → EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

10 PROBLEMI DI DIFFUSIONE

Problemi diffusione (equazione del calore)

U=U(X,t)= funzione incognita da trovare

t variabili indipendenti, X = spazio , t = tempo

sopra che rappresenta distribuzione di U nello spazio-tempo

EDP perché problema differenziale coinvolge le derivate parziali della soluzione: u: ^∂u/_∂t , ^∂²u/_∂x² ,..., ^∂u/_∂x

OSS Eq. del calore è EDP di tipo Parabolico → problema differenziale ai vettori iniziali e al bordo

10.1 Equazione del calore

ES. trasmissione del calore in un filo metallico isolato lateralmente

Disegno

calore fluisce solo agli estremi del filo.

• Immergo il filo in ambiente a T costante = T₀
• Dopo tempo sufficiente , U(X)= temperatura in x∈ (0,L) sotto u(x)=T₀

• t=0 filo viene estratto da ambiente e posto in contatto con 2 sorgenti ai suoi estremi

Disegno

PARTE III → EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

10) PROBLEMI DI DIFFUSIONE

Problemi di diffusione (equazione del calore)

U=U(X,t)=funzione incognita da trovare

• X=spazio
• t=tempo

grafo che rappresenta distrib di U nello spazio-tempo

EDP perché problema differenziale coinvolge le derivate parziali della soluzione U:

• (∂U / ∂t), (∂²U / ∂x²) ...

OSS Equ. del calore è EDP di tipo Parabolico → problemi differenziali ai valori iniziali e al bordo

10.1 Equazione del calore

ES. trasmissione del calore in un filo metallico isolato lateralmente

• calore fluisce solo agli estremi del filo.

• immergo il filo in ambiente a T costante=T0
• dopo tempo sufficiente U(x)=temperatura in x∈(0,l) s.sot U(x)=T0
• t=0 filo viene estratto da ambiente e posto in contatto con 2 vasche ai suoi estremi

0∘C=Ta

zona con T=50∘C, (T1, T2 fisse)

• u(x,t)=?

X∈(0,L) t∈(0,+∞)

L

0

T₀

u

Modello matematico

1. EDP in (0,L) che descrive il flusso di calore
2. Condizioni al contorno (es. temperatura agli estremi)
3. Condizioni iniziali (al tempo iniziale) SERVONO ENTRAMBE

(4) ^∂u/_∂t (x,t) = α² ^∂²u/_∂x² (x,t) ∀x∈(0,L) ∀t∈(0,+∞)

^∂u/_∂t = Tasso di variazione temperatura

^∂²u/_∂x² = Concavità/curvatura della funzione temperatura

u(x,t) cresce se ^∂u/_∂t(x,t) > 0 (è decrescente se ^∂u/_∂t(x,t) < 0)

OSS ^∂u/_∂t = α² ^∂²u/_∂x² ⇒ u cresce se ^∂²u/_∂x² >0 (decresce se ^∂²u/_∂x² < 0)

OSS ^∂²u/_∂x è legata al flusso di calore ed è misura di (confronto tra u(x,t) e il nei punti circostanti (allo stesso istante di tempo))

OSS

^∂2u_∂x² ≈ 1/Δx² [u(x+Δx,t) - 2u(x,t) + u(x-Δx,t)] =

differenze finite centrate

= 2/Δx² [^{u(x+Δx,t)+u(x-Δx,t)}/₂ - u(x,t)]

u(x,t)

M_media(x,t)

Confronto tra u(x,t) e la media delle temperature nei punti vicini a x

⇒ ^∂u/_∂x < 0 se u(x,t) > M_media(x,t)

^∂u/_∂t < 0 → u(x,t) tenderà a diminuire

Al contrario ^∂u/_∂x > 0 se u(x,t) < M_media(x,t)

^∂u/_∂t ≥ 0 → u(x,t) tenderà ad aumentare

OSS

condizioni al contorno → ai bordi fissati

u(0,t) = T₁ ∀t∈(0,+∞)

u(L,t) = T₂

OSS 2 bordi → 1 condizione x ogni bordo

(3) Condizione iniziale

u(x,0) = T₀, ∀ x ∈ (0,L)

OSS (1), (2), (3)

Problema differenziale ai valori iniziali e al bordo:

• ∂u/∂t = α² ∂²u/∂x², x ∈ (0,L), t ∈ (0,+∞)
• u(0,t) = T₁, ∀ t ∈ (0,+∞)
• u(L,t) = T₂
• u(x,0) = T₀, x ∈ (0,L)

C.C.

OSS Problema ben posto se u(x,t) esiste ed è unica

Altri problemi diffusione

OSS filo senza scambio termico laterale:

∂u/∂t = α² ∂²u/∂x² - β (u - u_∞), β > 0

• Scambio di calore attraverso sup laterali
• OSS se u = u_∞, d u_∞, d