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PARTE III → EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI

10 PROBLEMI di DIFFUSIONE

(Problemi di diffusione (equazione del calore))

U = U(X, t) = funzione incognita da trovare

X, t = variabili indipendenti, X = spazio, t = tempo

U =

  • superf. che comp.
  • distr. di U
  • nello spazio - tempo

EDP perché problema differenziale coinvolge le derivate parziali della soluzione U:

∂U/∂t, ∂²U/∂x², ..., ∂U/∂x

OSS Equaz. del calore è EDP di tipo Parabolico a problemi differenziali ai valori iniziali e al bordo

10.1 Equazione del calore

ES: trasmissione del calore in un filo metallico

(isolato lateralmente)

Calore fluisce solo agli estremi del filo.

  • immergo il filo in ambiente a T costante = T0
  • Dopo tempo sufficiente U(x) = temperatura in x ∈ (0, L) ossia u(x) = T0

t = 0 filo viene estratto da ambiente e posto in contatto cone 2 sorgenti ai suoi estremi

0°C = TA

• u(x,t)=? x∈(0,L)

t∈(0,+∞)

Modello matematico

  1. EDP in (0,L) che descrive il flusso di calore
  2. Condizioni al contorno (es: temperatura agli estremi)
  3. Condizioni iniziali (al tempo iniziale)

(1)

d/dt u(x,t)=α² d²u/dx² (x,t) ∀x∈(0,L)

∀t∈(0,+∞)

d⁄dt=Tasso di variazione temperatura

d²u/dx² =Concavità/curvatura della funzione temperatura

u(x,t) cresce se d/dt u(x,t)>0

(e decresce se d/dt u(x,t)0 (decresce se d²u/dx²

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Publisher
go9
A.A. 2017-2018
117 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/15 Disegno e metodi dell'ingegneria industriale
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher go9 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi analitici e numerici per l'ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Dedè Luca.