Metodi Analitici e Numerici / Calcolo Numerico - teoria parte 1

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Metodi Analitici e Numerici - Appunti dalle lezioni del prof. Dedè, corso di laurea in Ingegneria Meccanica, Politecnico di Milano. Argomenti: introduzione all'analisi numerica, sistemi …

Esame Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Dedè Luca

Università Politecnico di Milano

A.A. 2017-2018

109 pagine

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Estratto del documento

METODI ANALITICI E NUMERICI

PARTE II → CALCOLO NUMERICO

INTRO ANALISI NUMERICA

1.1) Rappresentazione macchina dei num. reali

def.: F = insieme dei numeri FLOATING-POINT (numeri reali rappresentabili al calcolatore)

F ⊂ R

fl(x) = rappresenta floating point di x (se x ∉ F)

F = {x̅₀, x̅₁} ⊂ {2^L, 2^U} oss., dire F ⊂ F_₀ 2^±∞

x ∈ F₀ ⟹ x = (-1)^σ⋅m⋅β^e-t = (-1)^σ(a₁,a₂,...,a_t)β^e-t

Parametro

β = BASE (decimale → β = 10, binario β = 2)
m = MANTISSA
t = Molteplice
e = Esponente, e ∈ N, e ∈ [L,U]
L < 0, U > 0
Δ = Insieme → 0 → n^o positivo [(-1)⁰] = 1 (1) 1 → n^o negativo
[a₁] ≠ 0 [1^a cifra ≠ assume diverso da 0]
0 ≤ a_i ≤ β - 1, i = 2,...,t
oss. x_min = β^L ⤷ num. + piccolo rappresentabile (esatto lo 0)
x_max = β^U(1 - β^-t) ⤷ n^o + grande rappresent.
N_num elementi F₀ = 2(β - 1)β^t-1(-L + U + 1)

METODI ANALITICI E NUMERICI

PARTE II → CALCOLO NUMERICO

INTRO ANALISI NUMERICA
Rappresentazione dei num. reali

def: F = insieme dei numeri FLOATING-POINT (numeri reali rappresentabili dal calcolatore)

fl(x) = rappresent. floating point di x (x ∈ F)

F = F₀ ∪ {∞}

oss.: dire F₀ ⊂ R ∪ {0, ∞}

x ∈ F₀ → x = (-1)^μ β ^e-t

= (-1)^μ (a₁, a₂, ..., a_t) β ^e-t

β = BASE (decimale → β = 10, binario β = 2)
μ = MANTISSA
t = M cifre
e = esponente, e ∈ N e ∈ [L, U] (L < 0, U > 0)
Λ = if x > 0 → μ' positivo, [(-1) = 1] + 1

a₁ ≠ a_μ (∃ almeno una cifra diversa da 0)
|a₁| ≤ a_μ
0 ≤ a_i ≤ β - 1, i = 2, ..., t
oss x_max = β + 1 = num. + piccolo rappresentabile (accetto lo 0)
x_max = β ^L (1 - 1/β) = num. + grande rappresent.

Num. elementi F₀ = 2(β - 1)β^t (-L + U + 1)

Def. Epsilon Macchina

ε_M = β^1-t.

é il più piccolo in modo tale che |fl(1 + ε_M)| > 1

Def. Errore Di Arrotondamento

|X - fl(X)| ≤ 1/2 ε_M

dist. relativa tra in reale e sue rapp. finettanza.

Esempio

F₀(2,2,−1,2) → ε_M = β^1-t = 2⁻² = 1/4. X_min = β^1-t = 2⁻² = 1/4 < ε_M

Il calcolatore cambia ordine delle operazioni!

1 + 1/4 + 1/4 → 1

→ 1/4 = 1 → 1 + 1 = 3/2

oss fl(1 + fl(x)) = rapp. di 1 + x.

→ l&apos. ordine è importante perché il calcolatore approssima i numeri.

MANUSSA

t = 2 = M1 = Q1 = Q2.

0 ≤ a₁ ≤ B - 1, 2-1 = 1

0 ≤ a₂ ≤ 1

L U 1/4 0 2 V 1/4 1/2 3/8 3/4 3

→ In pratica sono i risultati che si ottengono tenendo (−1)³ (es. β^−t)

(considerando X>0 → num. positivi)

OSS MATLAB -> 64 BIT

(base 2)_β=2

S_N=1

d₁, ... , d_t

52 CIFRE M BIT

_mantissa _esponente

X_MIN = 10^-308

X_MAX = 10³⁰⁸

Arithmetica floating-p

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