Corso completo metodi analitici e numerici

Floating Point

x = (-1)^s m β^e-t

e ∈ [L_u, U_o]

m = mantissa = a₁a₂...a_t, a_i ≠ 0, 0 ≤ a_i ≤ β-1 ∀i = 0,...,t

β = base

s = segno

t = numero cifre in mantissa

F_o(β, t, L_u, U_o) ⊂ ℝ

E_m = e^-t

rappresenta la distanza fra i numeri consecutivi

proprio maggiore di 1

| x - x_FL | ≤ 1/2 E_m

X_min = β^L_u-1

X_max = (β^t-1) β^U_o-t = β^U_o (1-β^-t)

SISTEMI LINEARI

A ∈ R^nxn matrice coefficienti

b ∈ Rⁿ vettore termini noti

x ∈ Rⁿ vettore incognite

Ax = b detA ≠ 0 soluzione unica

SOSTITUZIONE ALL'INDIETRO (sottoproblema) METODO DIRETTO

Per risolvere sistemi con matrici triangolari superiori (U)

SOSTITUZIONE IN AVANTI (sottoproblema)

Per risolvere sistemi con matrici triangolari inferiori (L)

costo computazionale (numero operazioni elementari)

METODI ITERATIVI

si costruisce una successione $ \bar{x}^{(k)} $, partendo da $ \bar{x}^{(0)} $ arbitrario,

t.c. $ x^{(k)} \rightarrow_{k \rightarrow \infty} (x \text{ soluzione}) $ $ B \in \mathbb{R}^{nxn} $ $ \bar{f} \in \mathbb{R}^n $ Banach spaciale

$ \bar{x}^{(k+1)} = B \bar{x}^{(k)} + \bar{f} $

RAGGIO SPETTRALE

$ \rho(B) = \max | \lambda_{i} | \; i = 0, ..., n $

CONDIZIONE CONVERGENZA

• $ \exists B : x = B \bar{x} + \bar{f} $\; deve essere verificata da soluzione
• ERRORE: B -> matrice iterazione

$ \bar{e}^{(k+1)} = \bar{x} - \bar{x}^{(k+1)} = \bar{e}^{(k+1)} = B \bar{x} + \bar{f} - B \bar{x}^{(k)} - \bar{f} = B ( \bar{x} - \bar{x}^{(k)} ) = B \bar{e}^{(k)} $

$ || \bar{e}^{(k+1)} || = || \bar{x} - \bar{x}^{(k+1)} || = || B^{k+1}\bar{e}^{(0)} || \leq || B ||^{k+1} || \bar{e}^{(0)} || $ \; criterio aritmetico $ \rho(B)^k || \bar{e}^{(0)} || \epsilon $

$ || \bar{e}^{(k+1)} || = \rho(B)^k || \bar{e}^{(0)} || \; | $

$ => \quad \bar{x}^{(k)} \rightarrow x \text{ se } \rho(B) < 1 $

METODO CONSISTENTE

METODO CONSISTENTE: $ \text{ Se è metodo per } \rho(B), \; \text{ allora metodo converte localmente } $

JACOBI

$ \rho(B) = \max | \lambda_{i} | \; i = 0, ..., n $

1. $ A = P - (P - A) $
2. $ \bar{x} = P^{-1} ( \bar{b} - (A - P) \bar{x} ) = P^{-1} ( P - A ) \bar{x} + P^{-1} \bar{b} $

• $ P = \text{diag} ( a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn} ) \; a_{ii} \neq 0 \; \forall i = 0, ..., n $
• $ P^{-1} = \text{diag} ( 1/a_{11}, 1/a_{22}, ..., 1/a_{nn} ) \quad P^{-1} ( P - A ) = B = \begin{bmatrix} 0 & - a_{12}/a_{11} & - a_{13}/a_{11} \\ - a_{21}/a_{21} & 0 & - a_{23}/a_{21} \\ - a_{31}/a_{31} & - a_{32}/a_{31} & 0 \end{bmatrix} $

$ \bar{x}_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} ( b - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)} ) $

CONDIZIONE SUFFICIENTE CONVERGENZA JACOBI

Se A è a dominante diagonale stretta in righe, allora Jacobi converge per soluzione per qualsiasi $ \bar{x}^{(0)} $

EQUAZIONI NON LINEARI

METODO BISEZIONE

_He f(x) ∈ C⁰([a,b]) (f(x) continua in [a,b])

• f(a)f(b)0 →
  • a^(k+1)=x^(k)
  • b^(k+1)=b^(k)
• -f(a^(k))f(x^(k)) grado esattezza max pari è 1+2n

  es trapezio n=1 retta che che non può ottenere

  pensa per 2 punti qualsiasi che si può ottenere

  ho bisogno degli uni usando un polinomio

  del polinomio di Lagrange di Lagrange

  con l'integrale esattamente polinomi di III grado

  di [a,b] Y_t = a+b-b_₂ α_t⁽⁴⁾ con S integrale esattamente polinomi di V grado