Metodi analitici e numerici per l'ingegneria - Lezioni

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Questione 1: Calcolatrice scientifica

Soluzione di sistemi lineari nxn

• Q₁₁X₁ + Q₁₂X₂ + ... + Q_1nX_n = b₁
• Q₂₁X₁ + Q₂₂X₂ + ... + Q_2nX_n = b₂
• ...
• Q_n1X₁ + Q_n2X₂ + ... + Q_nnX_n = b_n

A = [ [ Q₁₁ Q₁₂ ... Q_1n ]

      [ Q₂₁ Q₂₂ ... Q_2n ]

      [ ...        ...      ... ]

      [ Q_n1 Q_n2 ... Q_nn ] ]

matrice dei coefficienti

X = [ X₁ ]

    [ X₂ ]

    [ X_n ]

vettore delle incognite

b₁ b₂ b_n

b vettore dei termini noti Ax = b questa eq. equivale al sistema nxn Teorema di Cramer: questo sistema ammette un'unica soluzione se A è invertibile cioè se il det A ≠ 0 Se il sistema ammette 1 soluzione ↔ A è invertibile ⇒ det A ≠ 0 Regole di Cramer x_i = det A_i det A A_i = | a₁₁ ... b₁ ... a_1n ..... ......... a_n1 ... b_i ... a_nn | Quindi devo calcolare n+1 determinanti. Numero di operazioni per risolvere di ordine n ≃ 3(n!) k = n . ordine di grandezza

METODI DIRETTI: prevedono una procedura come Gauss e alla fine ho la risposta METODI ITERATIVI: procedura in cui ad ogni passaggio mi avvicino alla risposta, con infiniti passaggi arrivo alla risposta Quando A ha una forma particolare (matrice triangolare bassa/superiore o alta/inferiore) la risoluzione è semplice A matrice triangolare bassa (o inferiore) | Q₁₁ 0 ... ... 0 Q₂₁ Q₂₂ 0 ... 0 0 Q₃₂ ... 0 0 ... Q_nn | x non successivo se ò a zera tranne quelli della diagonale principale det A: Π q_ii ≠ 0 ↔ q_ii ≠ 0 V i = 1...n Ax = b q₁₁ x₁ = b₁ q₂₁ x₁ + q₂₂ x₂ = b₂ q_n1 x₁ + q_nn_x

vuol dire piano diverso da zero.

Se uno il det della matrice unitaria allora se in una riga è elemento sulla diagonale e zero e c'è zero una riga che nella stessa colonna non sono zero poiché il det non può essere zero.

Gli elementi sulla diagonale sotto matrice di una matrice triangolare sono detti Pivot.

MEG, metodo di eliminazione di Gauss

Ax = b

A = A⁽¹⁾

Li calcola m₂₁, m₃₁, ... m_n1 puoi ottenere gli zeri sulla prima colonna (tranne a₁₁).

L'ultima matrice è equivalente a moltiplicando a sinistra per L⁽¹⁾.

H ₂₁A⁽⁰⁾

Gli si moltiplicano le righe seversi giusto, vedi alla terza riga, l'uno si trova nella terza colonna moltiplica la terza riga a ⁽⁴⁾ cosiche tutte gli elementi di A della terza riga gli viene sottratto min ₂₁ a₁₁

(multiplicazione con matrici)

Questa operazione si può fare ripetuti i passaggi puoi ottenere una matrice triangolare alta.

A⁽²⁾ = H₂A⁽¹⁾

Le prime due righe sono della matrice indentita con lascia b0 A siguale

A⁽³⁾ = H₂H₁A⁽¹⁾

∃ {_vi}ⁿ_i=1 autovettori che formano base ortonormale

(ortonogali e di norma uno)

v_i è autovettore associato ad autovalore λ_i.

∥Ax∥ = λ₁ x con v ̂

∥A∥ = max_x∈Rⁿ ∥A x∥

modo balizzato

1^TAx1_x=1 = (Ax)^T (Ax) = (AΣx_iv_i)^T (AΣx_iv_i)

= Σx_iA v_i^T Σx_iA v_i

= Σx_iλ_i v_i^T Σx_iλ_i v_i

= Σx_iλ_i²v_i v_i

Il prodotto scalare tra due vettori è nullo sfrutto il fatto che gli ci formano una base ortonormale

Σ x_i x_i² = (λ_max)² Σ x_i² max = λ_max Σ x_i²

Σ x_i² λ_max²/Σ λ_maxx_i v_i = 1∥x∥²

∥Ax∥ < λ_max ∥x∥ ≤ ∥Ax∥ ∥x∥

poichè la ∥A∥ è tale che ∥A∥ ≤λ_max ma qui vale l’uguale, è sufficiente mostrare che ∃ 1 x per cui ∥Ax∥ = λ_max∥x∥

so che ∥A∥ = λ_max

è sufficiente prendere x ̂= v_max (autovettore relativo all’autovalore massimo).

Infatti Av_max = λ_maxv_max come si voleva dimostrare

∥A∥ = λ_max per questo caso di matrice simmetrica definita positiva,

anche A^-1 e definita positiva simmetrica con autovalori

1/λ₁..., 1/λ_n

Essendo simmetrico definita positiva vale la dimostrazione precedente. Quindi la ∥A∥ eguaglia il massimo autovalore di A^-1

∥A^-1∥= 1/λ_min

Infine, dove λ_min è il minimo autovalore di A.

In definitiva

K(A) = ∥A∥∥A^-1∥ = λ_max/λ_min

Se A è simmetrica ma non necessariamente definita positiva definiamo raggio spettarle di A detto p(A), la massimo moduli degli autovalori

f(A) = max_{i=1,...,n}∣λ_i∣

p. matr. simmetrica

Ma allora

x̄̇_k = x̄̇_0 + α_k p̄_k

Per implementare questo procedimento in Matlab

r̄_k = b̄ - A x̄̇_k

α_k = ^r̄̇_k/_{r̄̇_k A p̄_k}

x̄̇_k+1 = x̄̇_k + α_k p̄_k

METODO DEL GRADIENTE CONIUGATO

E le linee di livello sono circovenete avviso portò al centro, arrivo a z̄ in un solo passaggio

Voglio muovermi in una direzione p̄_k + f(̄x k che mi faccia avvicinare piu rapidamente al centro

β_k < π/2 quindi il prodotto scalare deve essere positivo poiché

||x||⋅||p_k||⋅cosβ > 0 cioè cosβ > 0

x̄̇_k = x̄̇_0 + α_k p̄_k con la medesima dimostrazione di prima

x̄̇_k = x̄ + α_k p̄_k dove x̄ = ^{̄p_k/(̄pō_k)}/_{̄p_k A p̄_k}

Cerco α_k ∈ ℝ tale che Φ(x̄_k) e Φ(x̄_0 + α_kp̄_k) ed altro che da determinato della modalità precedentemente. Con questo metodo impongo una condizione su p̄_k voglio che

dΦ/dα₀ = ^ṗō_k

∂Φ(x̄_0 + x_kp̄ + α_kp̄_mod) / ∂x_k = ^{(A(x̄_0 + x_kp̄_kp̄)_k + b)} - p̄

= 2̄p̄_k - 2̄p̄_kAα_k ō_k

= 3̄p̄ō_k α_k ̄p_k

Scelgo p̄_k tale che α_k = 0 = allora anche x̄o Ṫk p̄k = 0

limk=0

| b_ik^(k+1) |

ordine di quadraticu asintotico con una costante c.

devono tendere a zero e quindi

| x_i-x_i+1

EQUAZIONI NON LINEARI

f(x)=0 f è una funzione non lineare

TEOREMA degli zeri sotto intervallo

Se [a,b]⊂R e continue e f(a)·f(b) ↘ 0

allora ∃c ∊ [a,b] tale che f(c)=0

sostituzione x=a+x₂

punto medio di [a,b]

trovata la radice

f(x)= f(x₁)·f(a) ↘0 f(x)=f(x₁)·f(b)

altron metodo al posto di

se f(x)·f(a) > 0 sapere [a,x_k], → [x,b]

se f(x)·f(a) < 0 sapere [a,b] → [a,x]

definisco x_min = 2x t b_k

Q_xk+1 x_k=1

0 o stop z0 mesniar [a , b_k] come

f(x_min) · f(a_x) aspetta perchofu [a

Q_somer–_{minore di xk}

f(x_k+1) · f(a^_x) < مerro io

ql numera costante o aumenta b_k numera costante o diminuisce a_x converge ad un certo

a