Appunti per l'esame di meccanica razionale

Appunti di meccanica razionale

Alessio Russo russo.alessio890@gmail.com
A.A. 2012/2013 Ingegneria Informatica

Meccanica razionale

Programma

• Preliminari matematiche
• Cinematica del punto materiale - descrive il moto di un punto materiale senza tenere conto di cosa genera il moto
• Meccanica del punto materiale - forze
• Meccanica di sistemi materiali - forze interne
• Sistemi materiali rigidi - vincoli al vincolo di rigidità
• Sistemi olonomi - meccanica lagrangiana

Spazi vettoriali

In uno spazio vettoriale V definisco due proprietà per far sì che V sia uno spazio vettoriale: somma e moltiplicazione per gli scalari, cioè gli elementi del corpo ("insieme") tipo R, C...

Ogni spazio vettoriale ha una dimensione, dim V = m.

BASE: n vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio vettoriale. Siano u₁,...,u_m n vettori linearmente indipendenti, ossia vale ciò che segue: ∑_i=1^m α_iu_i = 0 ↔ α_i = 0, i=1,...,m α_i ∈ al corpo.

∀v ∈ V ∃ 1ⁿ scrivere nel seguente modo: v = λ_iu_i con λ_i le componenti di v rispetto la base u.

Convenzione di Einstein

Lo E₃ è l'insieme dei vettori liberi nello spazio ambiente euclideo tridimensionale, ovvero valgono gli assiomi della geometria classica pitagorea etc...

Un vettore libero è un ente matematico con una lunghezza, una direzione e un verso e può avere uno qualunque dei segmenti con queste proprietà.

Per definire E₃ come mezzo vettoriale devo specificare la somma e la moltiplicazione con gli scalari reali:

1. Somma tra vettori liberi: ∀ _{1 2}
2. Moltiplicazione di λ ∈ ℝ

λ mi dà un vettore con stessa direzione, verso che dipende da λ, e lunghezza |λ| | | ||. Se λ=0 λ=0.

Si dimostra che E₃ assume la struttura di spazio vettoriale tridimensionale.

Versore: un vettore di lunghezza unitaria, normale. û = /_|||| û versore.

Base ortonormale destra

Insieme di 3 versori ê_i con i=1...3 ortogonali fra loro e che soddisfano le regole della mano destra: ê_i ed êr, mentre êr è in verso antiorario (ù infinita loro ortanormale destra!).

Se {ê_i} è una terna ortonormale destra per E₃ allora ∀ v ∈ E₃ v = v_iê_i v_i ∈ ℝ

Notazione di Grassmann: = - = (_B - _A, _B - _A, _B - _A) = ( - ) + ( - )

Definiamo due proprietà in E₃:

1. Prodotto scalare
2. Prodotto vettore

Prodotto scalare

∀ , ∈ E₃ 0 ≤ θ ≤ π ⋅ = |||| |||| cos θ

1. ⋅ = ⋅
2. ⋅ = 0 ↔ = 0
3. ⋅ = 0 ↔ = 0

∥∥ = √( ⋅ )

Se {_i} è una base ortonormale destra → _i ⋅ _j = δ_ij = _ii, = _jj ⋅ = (_{i i}) ⋅ (_{j j}) = _{i j i} ⋅ _j = _ii

Prodotto vettore

u, v ∈ E₃

u × v = w

||u × v|| = |u||v|sinθu ⊥ u × v

u, v, w forma una terna ortonormale destra

||u × v|| mi dà area parallelogramma

u × v = -v × u

u × v = 0 se e solo se: u = λv

u_i = δv_j = δu_1/λ

Se {e_i} è una terna ortonormale destra:

1. 0 se ci sono almeno 2 indici uguali
2. 1 se ciò c.f. degli indici
3. -1 se ciò p.d. degli indici

e_i × e_j = e_k

ε_kji = ε_kji

u × v = u_i e_i × v_j e_j = u_i v_j ε_kji e_k

u_i v_i e_i

u × v = det

u₁ v₁ e₁

u₂ v₂ e₂

u₃ v₃ e₃

v ∈ E₃ {e_i} → v = v_i e_i, v_i = v ⋅ e_i

v = [v₁, v₂, v₃]