Appunti riscritti di Meccanica Razionale

Meccanica Razionale

Teorema di Buckingham

Ogni legge fisica ha una "espressione" del tipo

f(d1, d2, ..., dn) = 0

con (dm) quantità dimensionali e può essere riscritta come

φ(a1, a2, ..., a, q) = 0

con (q) quantità adimensionate indipendenti.

• Bisogna però costruire queste quantità adimensionali che sono del tipo (ad esdript).
• Tele film vale un generale col seguente esempio: F = m ⨯ a cioè di Newton e del tipo f(m - a + 2 - F) = 0 o meglio f(m2, a1, a3, ..., f1, f2, f5) = 0
• Oppure le leggi del gas perfetti PV = μRT è del tipo f(P, V, m, μ, T) = 0 con φ = PV - μRT.

Esempi

• Pendolo

Si voglia trovare il periodo T in funzione di massa, altezza

l

l_o, g_o, m

g l T

S. che dirà

• Proceduro eliminato le unità di misura, se ottiene le grandezze adimensionali.
• Eliminano il metro / g ~ 1 o poi il secondo / ⨯² ~ 1
• Ho trovato le grandezze dimensionali che è = T² delle legge
• φ

Non ho usato la massa perché non c'è una nuova di lungre in , il

perché e the ζ non dipende da M.

Ho trovato quindi che ½ _z² = ^q⁄_g ⇔ z = √^q⁄_g i.e. ∼ ∘ a

Costante ∘ (√^g⁄_q)

La forma di σ ricade un z = d₁^u₁d₂^u₂...d_n^u_n

con d₁ = g, d₂ = l, d₃ = M

e altre 3 con M, infetti σ ha σ z = d₁^½d₂^½d₃^½, g⁻¹, l^−½, M^−½

Velocità onde vasca

^{u½⁄_g⁄q2 d₁ = g puu₂⁄&sub>; m&sub>3}

d₁ = g p^{uu₃⁄&sub>; m&sub>3}

d₃ h v m

v q dedotto

galsy sdr &frasl g

Non dice non posso usare per: elimina e secondi ⅛ v^½ = 1⁄m e per

in netto = ⅛

⇒ V = 1⁄√^g⁄_m

⇒ σ a = d₁d₂...

d₃d₄

¹⁄_^½

=>

Storia d’acqua in assenza di gravità

Camps in secondo sulla superficie e volpi conduce le onde.

S = α Lapizza esternale il rapporto fine l’erosione

per 'nuvolo' le pellicole e le ilysine del loops. T = e

d₁ = z in r^½ ⁄(l ⁄ϰ_½)_2.5

d₂ = p^{uz⁄ϰ g½}

d₃ h m

d₄ V = v in &palphD;

=> g m

=> σ=

V = √^z ∘ ^⁄2⁄_⅛

=> =>

α = T Σ

⊪ 1

MATRICI DELLE DIMENSIONI

Toccando infiniti dell’ultimo esame è possibile costruire la

mente delle dimensioni nel soggetti studiati.

THM

Se ∃ una base di n elementi (n < ∞) allora ogni base ha sempre n elementi.

DEF

La dimensioni di V è n° di elementi di una base.

THM

Sia {b₁...b_n} una base allora ogni v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare v = Σv_ib_i = v₁b₁ + v₂b₂ + ... + v_nb_n dove v_i sono detti componenti di v e sono quindi unici.

DIM

Supponiamo per assurdo che dato v e la base {b₁, b₂, b₃} si possa scrivere anche come v = v₁'b₁ + v₂'b₂ + ... + v_n'b_n con altre componenti.Facciamo la differenza membro a membro: 0 = (v₁ - v₁')b₁ + (v₂ - v₂')b₂ + ... + (v_n - v_n')b_n che è una comb. lineare e che è nulla se e solo se, b_i sono i componenti (perciò v₁ = v₁', v₂ = v₂', ... v_n = v_n').

Anzi, posso considerare le componenti di v solo e solo se ho definito una base.

È un'applicazione lineare e biunivoca (ISOX definito lineare) del tipo V = ℓ₂b₁ℓ₃ⁿ

APPLICAZIONI LINEARI

DEF

l : V → W con V, W spazi vettoriali è lineare se:

• ∀v₁, v₂ ∈ V l(v₁ + v₂) = l(v₁) + l(v₂) (Somma)
• ∀α ∈ R, v ∈ V l(αv) = αl(v) (moltiplicazione per scalare)

Vale quindi che l(aV) = a(l(v)) e che, date W = Σw_ib_i

e |·| = |||| <=> e sono proporzionali

Sia () = ( + )² = ( + )·( + ) = ||² + 2· + ²||² > 0

Posti , tangenti e la stessa parte di posizione nel piano

allora () è una parabola rivolta verso l’alto

Si nota che, essendo () > 0 sempre, la parabola

non può scendere sotto l’asse lambda, perciò non si può avere due

zeri distinti.

Infatti _1,2 = -^·⁄_||² ± √(·)² - ||²||²⁄_||², come si è visto ₁ e ₂

(con >0) non è possibile, perciò necessariamente < 0,ovvero

(·)² - ||²||² < 0 <=> (·)² < ||²||²

Nel caso in cui e sono proporzionali ( = ), allora si ha:

|·| = |·| = ||||² |·| = |||| = |||| |||| = |||| = ||²

La parabola se = si ha = 0 (₁ = ₂) ha due radici

coincidenti perché (₁) = (₂) = 0

( + ₁)² = 0 <=> + ₁ = 0

<=> = -₁

sono quindi proporzionali

RMK

• Su (V; ,) le basi NATURALI sono quelle ORTONORMATI
• Su (V; , oN) le basi NATURALI sono quelle ORTONORMATI POSITIVI

Cioè se {e_i} e {ē_i} sono ORTONORMATI POSITIVI allora si ha che

e_i = Okj ē_j, con det O_ij = +1 > 0 e O ortogonale

RMK (V; oN) induce che le distanze effettuate una scelta su (V; ,

PROIEZIONE DI UN VETTORE SU UN'ASSE VETTORE

Vogliamo proiettare v lungo la direzione di e

Si assume che la PROIEZIONE è V₁ = (V · e / e) e

Infatti v = v₁ + v_n

Infatti v · e - (v · e / e) e = v · e - (v · e) e / e = v · e - v · e = o

SOPPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO DUE DIREZIONI

Dati v e le direzioni e₁, e₂, se V ∈ span {e₁, e₂} ⇒ ∃ α, β t.c. v = αe₁ + βe₂

RMK Mettura nella scomposizione non si utilizza il P.S. (infatti nella scomposizione si può trovare in qualche gruppo senza l'ortogonalmente in (V; ,), nello proiezione si che con sott vettere e in si usa il P.S.