Appunti riscritti di Meccanica Razionale

MECCANICA RAZIONALE

TEOREMA DI BUCKINGHAM

Ogni legge fisica ha una espressione del tipof(d₁, d₂, ..., dₙ) = 0 con d_{QUANTITÀ DIMENSIONATE} o puòessere riscritta come f(₁, ₂, ..., ) = 0 con ^QUANTITÀ_{ADIMENSIONATE INDIPENDENTI}

Basta però costruire queste quantità attraverso le soledel tipo (ed esempi) q = a^a d₁^b d₂^c ... d_n^mSe la forza vale un qualcosa ed essendo a circondato F = ma vede leggedi newton è del tipo f(m, ẍ, F) = 0 o meglio f(m, g, , ₃, ₄, ₅, ₁, ₂, ₃, ₄) = 0oppure la legge dei gas perfetti PV = nRT e del tipo f(p, V, n, R, T) = 0con f = PV - nRT.Esempi:

• PENDOLO

Vogliamo trovare il periodo in funzione di masse, lunghezzl_g¹/n² le dimensioniS. Ho che l ~ m, M ~ kg, τ ~ sProcedo eliminado l'unità di misura si ottiene la grandezza adimensionataEliminamo il metro g ~ 1 e poi il secondo · ² = 1Ho trovato la grandezza adimensionata q = · ² della legge(1, 2, ... ) = 0 che stavolta è (1) = 0, ovvero q = cost = kSo, avesso avanti unisce (1, 2) = 0 allora = K(2)

Meccanica Razionale

Teorema di Buckingham

^THM Ogni legge fisica ha una espressione del tipo

f(d₁, d₂, ... d_n) = 0 con d_k quantità dimensionate o può essere riscritta come φ(q₁, q₂, ... q_k) = 0 con q_k quantità adimensionate indipendenti

Basta però costruire queste quantità adimensionate che sono del tipo (vedi esempi) q = d₁^ad₂^bd_nⁿ.

Perché lui vale in quello col sistema cgs e una legge di Newton è del tipo f(m, a₁, r, F) = 0 o meglio f(m, g₁, g₂, g₃, F₁, F₂, F₃, t) = 0

oppure la legge dei gas perfetti PV = nRT è del tipo f(P, V, n, R, T) = 0 con f = PV - nRT.

Esempi

• Pendolo

Vogliamo trovare il periodo τ in funzione di massa, lunghezza

l    _τ

la dimensione

S. cioè che g^-1₂

Procedura: Eliminate le unità di misura si ottiene la quantità adimensionata.

Ho trovato la quantità adimensionata q = g ¹ lτ² della legge.

So avessi avanti unico φ(q₁, q₂) = 0 allora q ∼ k(q₂)

Non las uoto. Con uussa porVso non crene vuost ont s'upole e Ves _h non dete da M.

ho buoto quel el₂ = ^ql/_g z = l^q/_g

Ca sione di q ñicate anal con Con o_h = m ellil su he = gl^-l m^g_-2

Velocita' ouds vasca

V =peduito qg

Not lea non posso usore ρ elimu. Nonu in non ed= > V+¹/² h _m = a _{l d²}

Stoca d'aquin in assonn di gruitu

Gmin ubest sulla sosepe il = ^um/_m = _{V^ll sup2}

Matrice delle dimensioni

Facendo inridum mending la nel soffrni incol

T C W v₃

1^o d₁

2^o d₂

3^o d₃

4^o d₄

K8

1=1 p₁

1=2 p₂

0=3 p₃

0=1 p₄

TWv^p₁m-1s-2s₁

F ~ v^p₃m1s-2s₃

R ~ v^p₄m1s-2s₄

V V v^p₂m1s-3s₂

sistema che compara elle

seguente equazione nutelle

1 1 0 0

3 -3 3 1

2 0 2 1

RIPASSO DI GEOMETRIA

SPAZIO VETTORIALE

È esset definire un vettore come un segmento orientato. Come un punto di applicazione, la definizione corretta è: un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale, quando si definisce cosa un vettore fa, più di cosa è.

DEI (SPAZIO VETTORIALE V)

V è un insieme dotato di due operazioni (V, +, x):

• +: V x V -> V (v₁, v₂) -> v₁ + v₂ SOMMA TRA VETTORI
• x: R x V -> V (a, v) -> av PRODOTTO PER SCALARE

AMA D*: d'ora in poi considero solo il prodotto scalare e non il prodotto per scalare (dei loro si indole).

(V, +) è un GRUPP