Meccanica razionale - l'algebra degli spazi vettoriali

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CAPITOLO I.

ALGEBRA DEGLI SPAZI VETTORIALI.

I. SPAZI VETTORIALI.

1. PROPRIE' ELEMENTARI DEGLI SPAZI VETTORIALI.

   Definizione di spazio vettoriale.

   Indichiamo con R il corpo dei numeri reali; con indichiamo un qualsiasi altro insieme.

   Diremo che E è uno spazio vettoriale sul corpo R se ammette le seguenti due leggi di composizione.

   I) Una interna (indicata col simbolo + ), ove per operazione interna si intende una applicazione definita nel prodotto cartesiano E x E e a valori in E stesso:

   : E x E → E

   questa applicazione è tale che ad una coppia ordinata di elementi di E associa ancora un elemento di E. Gli elementi di E verranno indicati con delle lettere sottolineate (x) e saranno chiamati vettori.

   Scriveremo perciò:

   ∀ x, y ∈ E (x, y) __→ x + y

   2) Una esterna (indicata col simbolo • ), ove per operazione esterna si

CAPITOLO I.

ALGEBRA DEGLI SPAZI VETTORIALI.

I. SPAZI VETTORIALI.

1. PROPRIETA’ ELEMENTARI DEGLI SPAZI VETTORIALI.

Definizione di spazio vettoriale.

Indichiamo con R il corpo dei numeri reali; con _£ indichiamo un qualsiasi altro insieme.

Diremo che _E è uno spazio vettoriale sul corpo R se ammette le seguenti due leggi di composizione.

1) Una interna (indicata col simbolo + ), ove per operazione interna si intende una applicazione definita nel prodotto cartesiano _{E x E} e a valori in _E stesso:

_{Φ: E x E → E}

questa applicazione è tale che ad una coppia ordinata di elementi di _E associa ancora un elemento di _E. Gli elementi di _E verranno indicati con delle lettere sottolineate (_x) e saranno chiamati vettori.

Scriveremo perciò:

∀ _{x, y ∈ E} (_{x + y}) → _E + _I

2) Una esterna (indicata col simbolo • ), ove per operazione esterna si

intende una applicazione definita nel prodotto cartesiano R x E e a valori in E:

φ: R x E → E

Scriveremo perciò:

∀ a ∈ R, ∀ x ∈ E   (a, x) → a * x

In generale preferiamo omettere “il *” e porremo “a * x” ≡ a x (il simbolo lo riserveremo, invece, al prodotto scalare).

Queste operazioni non possono essere date in modo arbitrario, ma devono soddisfare i seguenti due gruppi di assiomi.

I gruppo   i) ∀ x, y ∈ E   x + y = y + x   (prop. commutativa)

      ii) ∀ x, y, z ∈ E   x - (y + z) = (x + y) + z   (prop. associativa)

      iii) ∃ 0 ∈ E tale che x + 0 = x

      iv) ∀ x ∈ E, ∃ x' ∈ E   x + x' = 0

Questo primo gruppo di assiomi definisce su E una struttura di gruppo additivo commutativo (avremmo, quindi, potuto affermare, invece di enunciare i quattro assiomi di cui sopra, che l’insieme E con l’operazione di somma (interna) è un gruppo additivo commutativo).

II gruppo   (questo secondo gruppo di assiomi riguarda in modo particolare l'operazione esterna e le relazioni che intercorrono tra le due operazioni).

       i) ∀ x ∈ E   si ha 1 * x = x

       ii) ∀ a, b ∈ R, ∀ x ∈ E   si ha   a(bx) = (ab)x

       iii) ∀ a, b ∈ R, ∀ x ∈ E   si ha   (a + b) x = a x + b x

       iv) ∀ a ∈ R, ∀ x, y ∈ E   si ha   a(x + y) = a x + a y

Quando si definisce una struttura teorica in maniera assiomatica il primo passo che bisogna compiere consiste nell'assicurarsi che oggetti matematici cosí definiti esistano veramente; bisogna, cioè, portare degli esempi i quali soddisfino i nostri assiomi.

Come primo esempio consideriamo lo spazio Rⁿ. Lo spazio Rⁿ è l'insieme formato dalle n-uple dei numeri reali:

x = (x₁, x₂, ..., x_n)

Definiamo, come segue, le operazioni interna ed esterna.

Fissiamo:

x = (x₁, x₂, ..., x_n)y = (y₁, y₂, ..., y_n)

per definizione poniamo:

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)a x = (a x₁, a x₂, ..., a x_n)

Ebbene, si può verificare che Rⁿ, con le definizioni date, è uno spazio vettoriale sui reali.

Prima di proseguire, riportando un altro esempio, ricordiamo che il vettore o, neutro rispetto alla somma, ed il vettore x', associato ad ogni vettore x, come subito si verifica, sono unici.

Inoltre si può dimostrare che:

x' = - x

cioè, x' si ottiene applicando ad x il numero - 1.

Altro esempio. Consideriamo un certo intervallo: [a, b] e consideriamo l'insieme delle funzioni continue in [a, b]:

_C⁰[a, b] = {f: R → R continue in [a, b]}

Questo insieme si può dotare di una struttura di spazio vettoriale come segue.

Fissiamo:

x = f(x) ∈ _C⁰[a, b]

y = g(x) ∈ _C⁰[a, b]

per definizione poniamo:

(f + g) = f(x) + g(x)

(af) = af(x)

Ebbene, si può dimostrare che, con le definizioni date, _C⁰[a, b] è uno spazio vettoriale sui reali.

2: DIMENSIONE E BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE.

Uno dei concetti più importanti nella teoria degli spazi vettoriali è quello di dipendenza ed indipendenza lineare.

Definizione: n vettori _X1, _X2, ..., _Xn ∈ E sono linearmente indipendenti se, presa una qualunque combinazione lineare del tipo:

(I) a_1X1 + a_2X2 + ... + a_nXn =

essa risulta uguale al vettore nullo allora e solo allora che sia:

a₁ = a₂ = ... = a_n = 0

Quando esiste una n-upla di numeri reali non tutti nulli tale che una certa combinazione lineare del tipo (T) è uguale al vettore nullo, allora i vettori X₁, X₂, ..., X_n si dicono linearmente dipendenti.

Prima di proseguire introduciamo la seguente convenzione di scrittura.

• Chiamando X_i il generico vettore della combinazione lineare e a_i il generico coefficiente, invece di scrivere a₁X₁ + a₂X₂ + ... + a_nX_n = 0 , potremo scrivere più comodamente:

(2) Σ_i a_iX_i = 0

Sempre per comodità di scrittura, quello che faremo sistematicamente, tranne quando vi siano pericoli di ambiguità, è di togliere nella (2) il simbolo di sommatoria. Più precisamente, ogni qualvolta ci troviamo di fronte ad espressioni con due indici ripetuti del tipo a_iX_i, implicitamente si sottintende un'operazione di somma per tutti i valori attribuibili all'indice i. Questa convenzione sugli indici ripetuti viene intesa come "convenzione di Einstein".

Definiamo il concetto di dimensione di uno spazio vettoriale. Dicessi dimensione di uno spazio vettoriale E il massimo numero di vettori linearmente indipendenti.

Definiamo, adesso, il concetto di base di uno spazio vettoriale. Supponiamo che lo spazio vettoriale E abbia dimensione n:

dim E = n

allora un insieme di n vettori {e_i} (i=1,2,...,n) linearmente indi-

pendenti si dice base dello spazio vettoriale. E

Esempi. Consideriamo lo spazio Rⁿ. Ci proponiamo di dimostrare che la dimensione di Rⁿ è proprio uguale ad n. Basterà dimostrare che in Rⁿ non possono trovarsi n+1 vettori linearmente indipendenti, cioè che ogni relazione lineare del tipo:

(3)

c₁X₁ + c₂X₂ + ⋯ + c_n+1X_n+1 = 0

non è banale. Per fare ciò osserviamo che la (3) è equivalente al seguente sistema lineare:

\[

c₁ x₁¹ + c₂ x₂¹ + ⋯ + c_n+1 x_n+1¹ = 0

c₁ x₁² + c₂ x₂² + ⋯ + c_n+1 x_n+1² = 0

⋮

c₁ x₁ⁿ + c₂ x₂ⁿ + ⋯ + c_n+1 x_n+1ⁿ = 0

\]

Questo che abbiamo ottenuto è un sistema di n+1 incognite in n equazioni omogenee che, per il teorema di Rouche-Capelli, ammette infinite soluzioni.

Altro esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale C⁰[a, b]. Ci proponiamo di dimostrare che:

dim C⁰[a, b] = ∞

Basterà provare che esistono un numero infinito di vettori appartenenti a C⁰[a, b] che siano linearmente indipendenti. Infatti, consideriamo le seguenti funzioni (definite e continue su tutto R):

f₁ = x, f₂ = x², ⋯ f_n = xⁿ

(con n arbitrario), eseguiamo una combinazione lineare di questi vettori

e uguagliamola alla funzione identicamente nulla:

a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ = 0

da ciò segue, per il principio d'identità dei polinomi, che:

a₁ = a₂ = ... = a_n = 0

I nostri vettori sono linearmente indipendenti e in numero infinito

giacché n può variare in tutto il campo dei numeri naturali.

Proposizione. Sia x ≠ 0, x ∈ E_n e sia {e_i} (i = 1, 2, ..., n) una base di E_n, allora esistono e sono univocamente determinati n numeri

reali x₁, x₂, ..., x_n non tutti nulli tali che x risulta essere una

combinazione lineare degli elementi della base:

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n

3. CAMBIAMENTI DI BASE IN R_n. LEGGE DI CONTROVARIANZA.

Una delle domande che, a questo punto, ci si può porre, è la seguente:

"Come cambiano le componenti controvarianti del vettore x al cambiare

della base?" (Questa domanda, fra l'altro, ha un importante significato

fisico: vedremo, infatti, che il concetto di base è collegato a quello di

sistema di riferimento fisico).

Supponiamo di passare dalla base {e_i} alla base {e’_i}; allora, per

il teorema dimostrato al numero 2, il generico vettore e₁ si può rap-

presentare univocamente come combinazione lineare dei vettori della nuova

base:

(I) e₁ = A¹₁e’₁ + ...

ovvero, scrivendo esplicitamente:

e₁ = A^T₁e’₁ + A²₁e’₂ + ... + Aⁿ₁e’_n

Possiamo, dunque, introdurre la matrice del cambiamento di base. (I)

(in questa matrice la "riga i-esima" è formata dai coefficienti della com-

binazione lineare che esprime il vettore e_i in funzione dei vettori del-

la nuova base)

Essa è una matrice quadrata di ordine . Ovviamente possiamo invertire l’intero discorso. Precisamente, fissato il generico vettore ₁’ , esso si può esprimere univocamente come combinazione lineare dei vettori della vecchia base:

(2) _i’ = ¹₁

Avremo così un’altra matrice, (¹) che esprime il cambiamento di base (2) (in questa matrice la riga -esima è formata dai coefficienti della combinazione lineare che esprime il vettore in funzione dei vettori della base []);

Ci proponiamo di dimostrare che le due matrici introdotte sono l’una l’inversa dell’altra, cioè:

det ’ ≠ 0

= ’ I

Dimostrazione: Scriviamo:

₁ = ¹₁’

(sostituiamo ad ₁ la sua espressione in funzione dei vettori della nuova

base):

Ma possiamo scrivere:

dove δ_i^j è il simbolo di Kronecker, simbolo che vale 1 se i = j, vale 0 se i ≠ j.

In definitiva abbiamo:

• (3) { e_i = A_iⁱ A_j^j e_j }
• (4) { e_i = δ_i^j e_j }

sottraendo membro a membro la (4) dalla (3), otteniamo:

da cui, giacché i vettori e_j formano una base (e quindi sono linearmente indipendenti), otteniamo

• (5) [A_iⁱ A_j^j - δ_i^j]

Sappiamo che il prodotto riga per colonna di due matrici (a) e (b) è dato dall'espressione:

e sappiamo pure che δ_jⁱ sono gli elementi della matrice unitaria (I).

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Dalla (5) segue perciò:

A A = I

come.volevasi.dimostrare.

Enunciamo e dimostriamo la seguente proposizione.

Siano {e_i} ed {e_i¹} due basi dello spazio vettoriale E (di dimensione finita e sui reali) e sia x E:

x = xⁱ e_i x = xⁱ e_i¹

Allora si ha:

xi = Ai1i xi e xi = Ai1i xi

Dimostrazione. Dall’!potesi si ha che:

xⁱ e_i = xⁱ e_i¹,

esprimendo e_i in funzione di e_i¹ otteniamo:

xi Ai1i ei1 = xi ei1

da cui segue immediatamente:

xi = Ai1i xi

Analogamente si prova che:

xi = Ai1i xi

Quindi se per passare da {eⁱ} a {e_i¹} usiamo la matrice A, per

2.-Spazi-Vettoriali Pseudoeuclidei ed Euclidei

6. Assiomi degli Spazi Pseudoeuclidei.

Consideriamo uno "spazio vettoriale" E (sui reali e di dimensione finita), su E definiamo un "prodotto scalare" come un'applicazione di . .

(applicazione indicata con il simbolo . )

(x, y) ↦ x . y ∈ R

Questa applicazione deve essere tale che:

1) x . y = y . x (proprietà di simmetria)

2) x . (ay + bz) = ax . y + bx . z (proprietà di linearità)

3) ∀ y ∈ E x . y = o ⇔ x = o

Uno spazio vettoriale E con un prodotto scalare così definito si dice spazio vettoriale pseudoeuclideo.

Esempio. Consideriamo lo spazio Rⁿ con l'operazione di somma e di moltiplicazione per uno scalare già definite; definiremo come prodotto scalare tra due vettori x =(x^I, x², ..., xⁿ) e y =(y¹, y², ..., yⁿ) il valore:

x . y = x¹y¹ + x²y² + ... + xⁿyⁿ

Con questa definizione lo spazio . Rⁿ è uno spazio vettoriale pseudoeuclideo (vedremo più avanti che Rⁿ è anche euclideo).

Consideriamo in E una base {e_i} (i=1,2,...,n) e prendiamo in esame due vettori x ed y appartenenti ad E, sarà certamente:

x = xⁱe_i, e y = y^je_j

scriviamo il prodotto scalare tra x ed y:

x . y = xⁱy^je_i . e_j

questo perché il prodotto scalare è lineare (per la seconda proprietà).

Poniamo:

s_ij = e_i . e_j

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I numeri g_ij (che sono n²) formano una matrice quadrata di ordine n che viene chiamata matrice della metrica dello spazio vettoriale E:

g₁₁ g₁₂ ... g_1n..........g_n1 g_n2 ... g_nn

Proprietà. La matrice della metrica (g_ij) è non singolare (cioè il suo determinante è non nullo) e quindi essa è invertibile.

Dimostrazione. Consideriamo:

(I) x * e_i = 0(i=1,2,...,n)

sarà:

X * e_i = x^j e_j * e_i = 0 g_ij x^j = 0

Il sistema (I) è un sistema di n equazioni omogeneo in n incognite che, per la proprietà di non degenerazione del prodotto scalare, ammette come unica soluzione il vettore nullo. Ricordando la proprietà di cui godono i sistemi lineari omogenei, da ciò segue proprio:

det.(g_ij) ≠ 0

come volevasi dimostrare.

Inoltre dalla proprietà di simmetria del prodotto scalare segue subito che la matrice della metrica è simmetrica, cioè:

g_ij = g_ji

8. SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI.

Uno "spazio vettoriale" E (sui reali e di dimensione finita) pseuoeuclideo si dice euclideo quando il prodotto scalare soddisfa in più un quarto assioma:

Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale ℝ².

In ℝ² noi possiamo introdurre due tipi di prodotto scalare.

Fissati i vettori: x = (x₁, x₂) ed y = (y₁, y₂), poniamo per definizione:

quarto assioma:

Se, sempre considerando lo spazio ℝ², avessimo definito il prodotto scalare come segue:

(I)

allora lo spazio ℝ² sarebbe stato pseuoeuclideo ma non euclideo perché avrebbe cessato di avere validità il quarto assioma.

Successivamente vedremo che lo spazio fisico della meccanica classica è uno spazio euclideo, mentre, nell'ambito della teoria della relatività, lo "spazio-tempo" è pseudeuclideo ma non euclideo (in esso è definito un prodotto scalare del tipo (I)),

In entrambi i due tipi di spazi definiti cerchiamo di vedere qual è la matrice della metrica e cerchiamo di calcolare componenti covarianti e componenti controvarianti di un vettore.

Consideriamo dapprima E = ℝ² per cui è: