Meccanica razionale - l'algebra degli spazi vettoriali

CAPITOLO I.

L'ALGEBRA DEGLI SPAZI VETTORIALI.

I. SPAZI VETTORIALI.

1. I. PROPRIETA' ELEMENTARI DEGLI SPAZI VETTORIALI.

   Definizione di spazio vettoriale.

   Indichiamo con R il corpo dei numeri reali; con E indichiamo un qualsiasi altro insieme.

   Diremo che E è uno spazio vettoriale sul corpo R se ammette le seguenti due leggi di composizione.

   I) Una interna (indicata col simbolo +), ove per operazione interna si intende una applicazione definita nel prodotto cartesiano E × E e a valori in E stesso:

   Φ: E × E → E

   questa applicazione è tale che ad una coppia ordinata di elementi di E associa ancora un elemento di E. Gli elementi di E verranno indicati con delle lettere sottolineate, (x) e saranno chiamati vettori.

   Scriveremo perciò:

   ∀ x, y ∈ E

   (x, y) → x + y

   2) Una esterna (indicata col simbolo ·), ove per operazione esterna si

-2-

intende una applicazione definita nel prodotto cartesiano R x E e a valori in E:

-φ-:R x E->E-

Scriveremo perciò

∀a∈R, ∀x∈E (a,x)=a*x

In generale preferiamo omettere “il” e porremo a * x ≡ a*x (il simbololo riserveremo, invece, al prodotto scalare).

Queste operazioni non possono essere date in modo arbitrario ma devonosoddisfare i seguenti due gruppi di assiomi.

I gruppo

1. ∀x, y∈E - x+y = y+x (prop. commutativa)
2. ∀x,y,z∈E, x.(y.z).(x.y).z. (prop. associativa)
3. ∃o∈E tale che - x+o = x
4. ∀x∈E, ∃x'∈E - x+x' = o

Questo primo gruppo di assiomi definisce su... E una struttura di gruppoadditivo commutativo (avremmo, quindi, potuto affermare, invece di enunciare i quattro assiomi di cui sopra, che l’insieme... E.. con l’operazione di somma (interna) è un gruppo additivo commutativo).

II gruppo (questo secondo gruppo di assiomi riguarda in modo particolare...l’operazione esterna e le relazioni che intercorrono tra le... due operazioni).

1. ∀x∈E si ha Γx = x
2. ∀a, b∈R, ∀x∈E si ha a(bx) = (ab)x
3. ∀a, b∈R, ∀x∈E si ha (a + b)x = ax + bx
4. ∀a∈R, ∀x,y∈E si ha a(x + y) = ax + ay

pendenti si dice base dello spazio vettoriale. E

Esempi. Consideriamo lo spazio Rⁿ. Ci proponiamo di dimostrare che

la dimensione di Rⁿ è proprio uguale ad n. Basterà dimostrare che in

Rⁿ non possono trovarsi n+1 vettori linearmente indipendenti, cioè che

ogni relazione lineare del tipo:

(3) c₁ x₁ + c₂ x₂ + ... + c_n+1 x_n+1 = 0

non è banale. Per fare ciò osserviamo che la (3) è equivalente al se-

guente sistema lineare:

{ c₁ x₁ + c₂ x₂ + ... + c_n+1 x_n+1 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c_n x₁ + c₂ x₂ + ... + c_n+1 x_n+1 = 0

Questo che abbiamo ottenuto è un sistema di n+1 incognite in n e-

quazioni omogeneo che, per il teorema di Rouche-Capelli, ammette infinite

soluzioni.

Altro esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale C⁰[a, b]. Ci pro-

poniamo di dimostrare che:

dim C⁰[a, b] = ∞

Basterà provare che esistono un numero infinito di vettori appartenen-

ti a C⁰[a, b] che siano linearmente indipendenti. Infatti, considera-

mo le seguenti funzioni (definite e continue su tutto R):

f₁ = x, f₂ = x², f_n = xⁿ

2. SPAZI-VETTORIALI PSEUDOECLIDEI ED EUCLIDEI

6. ASSIOMI DEGLI SPAZI PSEUDOECLIDEI

Consideriamo uno "spazio vettoriale" E (sui reali e di dimensione finita); su E definiamo un "prodotto scalare" come un'applicazione di : x ∈ E; in R (applicazione indicata con il simbolo · )

• x · y = y · x (proprietà di simmetria)
• x · (ay + bz) = ax · y + bx · z (proprietà di linearità)
• ∀ y ∈ E x · y = 0 -> x = 0

Uno spazio vettoriale E con un prodotto scalare così definito si dice spazio vettoriale pseudo euclideo.

Esempio. Consideriamo lo spazio Rⁿ con l'operazione di somma e di moltiplicazione per uno scalare già definite, definiamo come prodotto scalare tra due vettori x = (x¹, x², ..., xⁿ) e y = (y¹, y², ..., yⁿ) il valore

x · y = x¹y¹ + x²y² + ... + xⁿyⁿ

Con questa definizione lo spazio Rⁿ è uno spazio vettoriale pseudo euclideo (vedremo più avanti che Rⁿ è anche euclideo).

Consideriamo in E una base {e_i} (i=1,2,...,n) e prendiamo in esame due vettori x ed y appartenenti ad E; sarà certamente:

x = xⁱe_i e y = y^je_j

scriviamo il prodotto scalare tra x ed y :

x · y = xⁱy^je_i · e_j

questo perché il prodotto scalare è lineare (per la seconda proprietà).

Poniamo:

g_ij = e_i · e_j