Esercizi Esame Meccanica Razionale

MD

+ =

+

= =

22 "MR2 Ci interessa I33, facendo la

MR

2

[33 GO 3

133 MD MR

+ +

= =

33 rotazione mi rimane invariata

2

DIAGRAMMA CORPO LIBERO: sensea

0 (G R (Cose

0)

nero = ,

e

. -

Go Rocos

Ro

= Sense + 2

- ,

Fe

po (Röcoso-Rösendez

QG-(-Rösens-Rcoso) e

- ,

023

w = +

2

& Pez

Pe +

= ,

P Mg

+ 2

= 2R[( -2) 22]

send

2 +

050

B)

k(A

Ee K ,

= = -

- - -UR)

(2RCOSO

(B-0)

↳ (2RCOS02

(A-0) URQ

2)

2RSend 2 R Send 22

+ 2 +

= =

- , , ,

sensez)]

[R(cose

0)

(G marcoso

ma

P e es

- =

= , 22]) PKR"

K2R[(cos0-2)

/- send

(A-0) (2) sens

(2RCOSO 2

2RSend

E +

x = -

,

= ,

2^ equazione cardinale con polo solidate al corpo

Mesi Io(W) [0)(0) M(G 0) Q0

Wx X

+ + -

=

A Ö23323

IoÖ(3) ÖI0(23) Ö3MR

Idi)

· =

= =

[23

[1

perché 0

=

=

(023) x (0133 (3)

WId() 0

· = =

perché è

M(G-0) fisso

XQ0 0 o

· =

(G-0) &MR

X P (A-0) X

+ E

= (mgRcoso-PKRSens) Send)

2(mgcoso-PKR

marcoso-eKRsens :

ÖMR

= _

= MR2 MR

3 3

Q

P

1^ eq. cardinale Mag

E

+

+ =

-K2R(0s0-2) M/-Röseno-ÖRCOSO)

E

El =

· M(RÖCSO-Rösend

de MG-2KRSeno

22 + = 03/2

sen) /3)

MRC-Öseno-coso) 2)

2 R((0s0

d, =

K

+ -

= Cos(π(3) 2

ÖSeno)-MG

P2 =

MR(ÖcosO 2 KRsend

+

= - sens)

(mgcoss-PKR BM

- 24 KR

MR( +

send =

di MRfÖsend) (cos-2) (cos-2)

2KR

2KR KR-YK

+ +

+

=

= MR

3

MR)2(mgcoss-PRsens) Mg-OKRE

coso-Mg

da V3KR

2KRseno mg

+ +

=

= -

G

MR

3 3a a

Ap 9

= =

. 40

+a

π(qu

πr2

Ac Asc

= > =

= -

= &

4

- M

* M PM

5 = -

I

= · 1202

? 02π a(1 π)

- -

a -

&

4 M

/ M

& 12

i

8 2

Mr a =

a =

= . -(1 π) 12 I

- -

&

/

BM

Ta πM

.

0

M I =

= 2(12

& / π) X

s 12

Q M

-

-I -

Q I COOdTXoloM 3-aax

2

Mr(2x - [

M

12 - e i

ot

RETTANGOLO: xan =

= - =

12

M

12 Co

3

=

myo

Yar a

= =

= ardo - coso

SEMICERCHIO orcosor o

Gxot P

=

=* o

Xesc

M2

Ken -

a a senoj

~

- 8 ↓ O

=

=

al 3

2

/

TO O TQ/2

K Sensordo-Trayo

<

, "sfoydt

, !

=

O senodo

Yas = coso]

a

t

e E

riferimento Ki

nel Ez I

: Z -

/

21

, TOL 3

G =E

G

XGs YG

0 =

= - :

Baricentro

lamina totale: aM)12

TM π)

12M

& !

-

XGRMR-XGScMSC 12 T

12 M

I 2(1

- )

- =

XG -

= =

= M MM

12 M/(π)

MR-MSc -

12 12 M

I -

- (xπ)

3 -TM

/

RM

a 2 i 270-20

YGRMR-YEScMSC 250

(12 π)

π) (12

<

/ -

-

YG = -

= - 3(12 π) π)

M 3(12

TM -

12

MR-MSc -

-

12 12 M

+ -

-

INERZIE: a3 a Co Xox

Tyi

, 10

6) xyoxoly

5Sxy =M

-Ret -M

-

= odly x m

=

=

- i

- 5 [x2 ] 5 M2

- +

= = - -

di cosa sens o

SC PM

-M drds e

cossdre

M2 -

d seno

= -

I

Ken 12

N Q e

Mi

~

are MD

,

E &40)

I M)

0)

M7

MB + +

0

= = =_

-

- -

K

< , Ma) 24n π)

Is

O i Iren

-

↓ -

=

-

= -

- a

36

Gab

Mr = = πb)

(36a

+

TbM

πb2

-b/6 .

8

Msc

= (360

= itb)

- +

36

D 72M

1

D13 8 2

= =

= T

E(6)36ba

b +

+

- al2 I

RETTANGOLO Gal go e

bato

G

MrSpExdt xaxdy Xo

XG = =

= =

Sakok

fang

O

25yd

m yoXdy

yG =

=

=

SEMICERCHIO 3/6

π/2 " da bioso

maxo /Grosodrdo

0 scoso

x 72 do o

M2 =

- = =

= /

2

TD

[Senaj Msc-T

b/6 π/2

& -

-b

cb16 Mi π/2b/6 gi i

fr"sens =in

Coyot f -

=

M Ecoso

be do

seno

drold

y = =

b/6

- π/2

-

Ubtot =

XGgR i

riferimento 11 Esc

42

nel : j

=

.

BARICENTRO LAMINA TOTALE: g

<bi I

M

4b 36

/

i

X msc 99π a

R + + 992

GMM

+ b)

↑ b(4b

& 9aπ)

//a

itb)

(360 36

19π +

+

- +

Xq +

=

= I 10(36a b) πb)

(36a

+ +

M M

-

18

M

b 36MQ

b E

t /

(360 πb) (369 πb)

+

+

YG = A

INERZIA: xeddy = ox Mor

-Obam

faxyd

Ei &

-

Rettangolo =

- =-

= Tit

Semi CERCHIO :

DM2 -b/3

-

b/6 In cosodro

..

sens

& .

= T/2

-

b/6

G Mi

· IE -MDE

2 M 70)

I 0 0

=

= =

1 - Mba E

GO )

1

In B( 2

MDi Mf - +

+

+ 0

=

= = -

b/6 2

- More Mb

1is

-O - e

& &

-i

di2 + + =

= - -

R atib

Totale 9

1022

AH Be

=

= -

M

M M

-

RAPPRESENTAZIONE Baricentro I

=

= 3ez

se

22

n l(cosoe

A Sendez

(G H) +

- = ,

M

4 2

& - y

X ya

X 2)

3(X

-

- , y - -

=

-

X2 X Y2-Y

-

B /

,

To

comme e

/ t 0)

(l ,

(0

22 32)

. ,

/

INERZIE 2)

3(X

e 085279

- - 895)

586ydxdy 32)dx a 27x3

084axdy 0X2

2 y

[x 3x +

+

=

= = -

-

=

- 24 Mos -Me

6(ge"-27e" -Ge e il

6

ge" 2

+ = =

= .

09X(

32

3x + C

e - Me

086XdXdy e

06 3e" Maiell

3x3 el)

3x2edx

32)dX 8)

3x

In 2

+ +

+ =

= =

- =

= -

= - G

Me

&Me2 Me2 e

5 e

Il

[33 2

122

+ + =

=

= .

=

DIAGRAMMA CORPO LIBERO l(cosoe Sendez

(G H) +

- = ,

22 Osende coso 2)

e)

n T +

-

A ,

=

-E (coss-osens)

e[föseno-coso)

Q 22

2 +

= 023

w =

& Pez

Pe

Dop +

= ,

B -

I

To P

commer E -Mg 2

=

t a) esenose

k(c 3) ecosaea

Ee K /- +

= -

=

- -

- , (esende-ecosoez

/c

-(H H)

a) 322

+ +

-

- =

- ,

POTENZIALI: -3e eseno) ecoso e

e

+

= -

,

KIC-al -'kle Gesend

ge

--

Ue +

= = - = ge-Geseno

e

↳ ecoso eseno-sesens ecos

ge

-eseno)

e + +

+ =

Up -mgh -molesend)

=

= -2 ge-Gesend-malesend

K(e

UtoT +

=

% 5 () 62cos) malcos

+

= -

Eguagliando a zero si trova che il Quindi è verificata

kecos Mg

malcoso Ma K

3 =

minimo della funzione U( ): = per qualsiasi angolo

O 32 die

Per vedere se l'equilibrio è stabile o instabile si studia la derivata seconda: Megseno-3keseno

=

da

(I Moe-3eMo

) Mge-3ke

. *

0 Mge-Moe

= = o

=

= Sono entrambi angoli di fo

~

equilibrio INDIFFERENTE

/Bπ 32 Mg

3K2 -Mge

-Mge -Mge

* Mge

0 +

+ + o

= =

=

=

REAZIONI VINCOLARI con la lamina in quiete all'equilibrio stabile

(G H) 22)

sens

e(coso e

- = , +

el-osende cosoez

Va = ,

[-Öseno-ocoso) (coso -o send

aG 22

2 +

= ,

=3

22

el -mecoso

(G H)P eseno

ecoso es

o =

=

- O

o-my

(C H) ecoso

-esende 22

=

- , 22 E3

El (esenocoso secoso

sekcoso-eksens

(c Ee

H) coso)

23

ecoso

eseno es

+

- =

= O =

- -ecos

eksend

-31k o

+

2^ equazione cardinale con polo solidate al corpo

M(esi) [4(W) (2) M(G H)

I &H

w x

+ x + -

=

H 4

A M

[4(Ö(3) 014(23) Ö13323

[Hw)

· =

= =

[23

[1

perché 0

=

=

(023)x(013323)

WI(w) 0

· = =

H perchè è

M(G H) Fisso

H

XQ4 0

· =

- Me 39050 9 K

cos) e se

-Kos

=

secoso-mgecoso =

- 5e

& perché

P quiete

in

E

+ + 0

= &

↓

P ek

3ek-ekseno 3ek Seno

el +

O

· + = -

= Ö

, Se è in quiete non mi serve

De Mg-Kecoso

-D2-Mg Kecoso

22 + 0 =

=

Per cercare le reazioni vincolari nell' equilibrio stabile sostituisco con

l'angolo in cui la derivata seconda mi viene <0 H 2

8 = =

(2x b) h

D/2

M2 I -

X -

- y =

A 7

I I b

b/2 h M2

M32

-

A h)

(0 ,

- PRINCIPALI

Assi D'InerIQ

BARICENTRO >

er Simmetria

XG Per

0

= b(2 (2x b) h

-

-

5266y =

0iXOly

Y

(b12 0) =

, m

·

- Q

B H

b I

I 0

Dati

INERZIE y-ob s

Pax x3

h(2x 3

08 b)

Yaxoly o 66 12bx

-

-

> 0

In x +

= -

= - -

5

Pybl2 b 2MN

2Mnt

16X3 DY7

46"

e

C

[p3 2

24h Ab M2 e

x 2

+ + _ =

=

-

= .

- 4 i

2

4(2x 3 SOR

- 59013)

b129

- e

2MbY

b3y

Poxoly b)

2(2x &2M 2M b b

- 2

- -bx O

=0

[2 0x

= =-

= = -

- i

- b

MP e

fb M

-RM I 2

. - . =

=

TRASPORTO Ma

2)

2

%M2 M) M( Ma

-

d M

+

-

= = -

L

① t

33 =

2 24

Mb

[22 = 24

EQUAZIONE PURA DEL MOTO

M(esi) Ia(w) In((0) M(G A) 2^ equazione cardinale con polo solidate al corpo

O

W x

+ x + -

= e

Th