Meccanica Razionale e dei continui B

Meccanica Razionale

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori (E,V).

A ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

• Prodotto scalare: a·b = c (modulo, modulo, cos)
• Prodotto vettoriale: a∧b (modulo, modulo, sin + regola della mano destra)
• Prodotto misto: a∧b·c (a·(b∧c) = b·(a∧c)

Terna ortonormale destra:

e₁ ∧ e₂ = e₃

Terna ortonormale sinistra:

e₁ ∧ e₂ = -e₃

e_i ∧ e_k = δ_hk - δ_ik → 1 (i≠k)

Δ = V, e₁, e₂, e₂ + v₃e₃, V_k = V·e_k

a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

a∧b = e₁ e₂ e₃ a₁ a₂ a₃ b₁ b₂ b₃

CINEMATICA

d²P(t) = X_p(t)i₁ + X_p(t)i₂ + X_p(t)i₃

P(τ,t) = P(t)₀

dP = ^d(OP)/_dε

x₁(t)_,i₁+x₃(t)i₂+x₃(t)_,i₃ = OP¹(t)

P(t) è il moto

X è la traiettoria

Δ(t) è l’ascissa curvilinea ovverola lunghezza di X

s(t) = ʃ_s0^tv(τ)dτds/dt = |v(t)|

PER CONSENTIRE ALLA TRAIETTORIA DI AVERE SENSODOBBIAMO PERMETTERE ALLA VELOCITÀ DI ANNULLARSI

dω_s = |v(t)|dt ω(t) ⇔ t_p(s)

{ P(∆(t)) - EQ. DELLA TRAIETTORIA X∆(t) : LEGGE ORARIA }

τ(t) = ^dP/_ds : VERSORE TANGENTE

v(t) = d^P/dt = d^P/ds ̧.v_n+ dP¹. i_x = i_f. q(t) d^P/dt = dt/ds

q(t) dv/dt = ^d2P/dt² = ^dt/dsni¹v¹ + d^s1t, ̧.^q

C : CURVATURAt, ̧.^c RAGGIO DIv(i(t)).i¹(i_f/i_F)curvaturac.n

n: VERSORE NORMALE

c ≔ curvatura

n: VERSORE NORMALE

c n ^dt/_ds

b = t ȷ n VERSORE BINORMALE

LEGGE DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ ANGOLARI

(Wass - Wreli - W) ∧ W = 0

DOVE:

• Ω: velocità angolare della terna mobile
• Wass: velocità angolare del corpo rigido assoluto
• Wrel: velocità angolare relativa
• W: vettore solidale al corpo rigido

VINCOLI

(RESTRIZIONE A PRIORI)

• OLO-NOMI: sulle posizioni, configurazioni
• AN-OLONOMI: sugli atti di moto (velocità)
• FISSI: non dipendono dal tempo (la superficie non dipende da t)
• MOBILI: dipende dal tempo (una legge che descrive i vincoli)
• UNI-LATERALI: descritti da disequazioni
• BI-LATERALI: descritti da equazioni

VINCOLI ANOLONOMI CHE SONO DERIVATE DI VINCOLI DI POSIZIONE SONO VINCOLI OLONOMI.

I VINCOLI OLONOMI RIDUCONO IL NUMERO DI COORDINATE LIBERE NECESSARIE AL SISTEMA

IL VINCOLO DI CONTATTO OBBLIGA I DUE PUNTI AD AVERE LA STESSA COORDINATA E LA STESSA VELOCITÀ NORMALE.

IL VINCOLO DI ROTOLAMENTO SENZA STRISCIAMENTO COSTRINGE I PUNTI A CONTATTO AD AVERE UGUALE ANCHE LA VELOCITÀ TANGENTE (I VETTORI VELOCITÀ DEVONO ESSERE UGUALI)

Operazioni invarianti:

1. Traslazione sulla retta di applicazione.
2. Sommare o sottrarre in P.

Il momento di forze piane è sempre perpendicolare al piano (la risultante appartiene al piano).

Siano sempre nel caso (I = 0)

Un corpo sottoposto a sistemi di forze equivalenti non reagisce allo stesso modo in generale.

Un corpo rigido sottoposto a sistemi di forze equivalenti reagisce allo stesso modo (producono lo stesso effetto meccanico).

Equilibrio

Un punto si dice in equilibrio quando ha atto di moto nullo.

Condizioni di equilibrio per un punto:

R = 0 ↔ equilibrio

È vero solo per un osservatore inerziale.

Un osservatore si dice inerziale quando è in buona approssimazione fisso e vale la legge: F = m a

VINCOLI PERFETTI (IDEALI)

• BILATERALI: è perfetto se il lavoro virtuale del vincolo è nullo δ_vL = Σ ψ_i · δP_i = 0
• UNILATERALI: è perfetto se il lavoro virtuale del vincolo è maggiore o uguale a zero δ_vL = Σ ψ_i · δP_i ≥ 0

Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV):

Condizione necessaria e sufficiente ai vincoli bilateri e perfetti (ideali) è che δ_vL = 0

Per ogni spostamento virtuale δL= Σ F_i δP_i - Σ F