Meccanica dei Continui - Esercizi

Esercizio Tensore

La faccia xy è principale ed ha sforzo normale pari a 5.

Facce con off nulli. Sicuramente ne esiste almeno 1, relativo all’autovalue 5.

A = ₁ [0,0,1]

det(A - ΛI) = -2Λ₁ + Λ₂ - 0

Λ₂ - Λ₁ - 2 λ₁2 = 1

Λ₂ - Λ₁ - 1

2ΛΛΛ = 2

Λ = 2 ± 2. .4√2

x_y^z x_y^z y_t1

x=-√-2x 1.-1, y

x=-Λx-,

x-(x) 1-(-√2} y

x = x - x y

x.-(-12 z.

x

x = 2

Poiché Λ₁, Λ₂, Λ₃, esistono solo 3 face principali, orthogonal, ogn. con pricipali relative ai tre. autvalori.

...

(λ lambda maximo) = diag.

Esercizio tensore tensioni

λ₁=4

λ₂=-2

λ₃=0

Facce con ƒ(n^m) nullo

λ=0

λ₁=4

λ₂=-2

det(σ-λI)=-λ³-2λ-2λ+λ₂λ₁=0

λ₂λ-2=0

λ=-1±𢆣

λ₁=^-1±3λ₂ 2

σ_x=x σ_y=y

Poiché, ξχ,exissono solo 3 facce principal', ortogonali gel'oss principal' selective al! bus autirala, &inashto'staie oss sono ortogone, infatti:

I_ξ2 = ¹/3 μ λ³

I_ξ = ¹/12m λ²

σ_ξ = 0

• I¹⁴
• I_ξ2 = ¹/

Esercizi tensore d'inerzia

massa = μλ λ_i²

ξ₁ ξ₂

I¹²² = 1/12 ml² λ² I_ξ =

I_ξ =

&Lamb; = 1 λ²

I_ξ2 = λ³ 8

¹/3

Esercizi tensore d'inerzia

massa = ¹/2m λλ

λ I_ξ = λ4 m 2²

I_ξ² =

1/6

1/2 m ³₁ λλ

4/4_⁴

=

= ∫ 1/3

1/3₀ = 4 ∫[I₂​4;

L

• I₁₂
• 1/12

Esercizio cinematico

C(x,η,ζ,t,p) = e^(ζ⁄₂) [x(p)cosω(ζ - t) - z(p)senω(ζ - t)]

ζ(ζ,t,p) = y(ρ) + r₁(senωt

C_η(ζ,t,p) = e^(ζ⁄₂) [-x(p)senω(ζ - t) + z(p)cosω(ζ - t)]

Calcolo matricale C_ε

V^μ(ζ,t,p) = ∂_ρC²/∂a²ζ = e^(ζ⁄₂) [-x(p)cosω(ζ - t) - z(p)senω(ζ - t)] + e^(ζ⁄₂) (-ύ

ω_χ(ρ)senω(ζ - t) - ω₂(ρ)cosω(ζ - t)]

V^η(ζ,t,p) = -z_ζ = e^(ζ⁄₂)(x(p)senω(ζ - t)] + e

²ζ

C_ρ(κ,τηρ) = e^(ζ⁄₂) (x(p)-xω(ρ)'] - ω₂(ρ)senω(ζ - t)

e^(ζ⁄₂) = [x(p)σzω + z(p)senισω(ζ - t) ω])/

β^γ(κ,τηρ) = ¹/₂x(p)ρq + ωx)

a

ν_ω(ζ,τηρ) = ¹/₂x(p) + ω x

ν_η(ζ,τηρ) = -ρ

a^χ(η,τηρ) = ¹/₂x(p) - ω/x(p) ύ x_ρ(p) - ω₂ύ(p)

a^η(η,τηρ) = ρε^ωt/²

A³ = e^(ζ⁄₂)νwTυ

pηt = x(p) [cosω(ζ-t)] χρ[x(p)σν(p)]

det T = e

χ(p) υχ e

Jμ = ¹/ć

Q = μ(R

(cos ω + w)[

Det R= 1 κ (cosγω) x

δ =

μχ

μω σg

0 1 0 1

q [0ρω](ζ)

ωύ (μυ) (μυ)[vωχsz(q,w)![wx!')

1

Δ

0 0 0 0

1 q&lambda=(ζ

D ? T

π

ξη ω=X

ύ

(μ)

ζ

ω

λόγ] J (η)

α

D

θ

ω

∫

D[

Υ=ϑ

ω = (η λ (ωxωY

Esercizio cinematica ed equazione continuità

E_z=^e-zt(x(p)cosω(z-t)-z(p)senω(z-t))

C_z=^x(p)e+λ^senω(z-t)

C_z=^{e-zt(x(p)senω(z-t)+z(p)cosω(z-t))}

u^x=^1tx(p)-λz(p)

u^y=&del;^cosωt

u^z=x(p)^z+ｗ(x(p))

a=^1tx(p)+ω²λz(p)-ω

Δ_t^e=^^{eztcosω(z-t)}0^{-ezsenω(z-t)}

=^⁰1⁰

=^^{eztsenω(z-t)}0^ezcosω(z-t)

s^z_z=_^^1-λ(zt)

=^¹0¹

Δ^e=^^1t0^-ω

=^⁰0⁰

R_=^ cosω(z-t)0^-senω(z-t)

=^0⁰

senω(z-t)0_^cosω(z-t)

SR=^0 0^-ω

=^₀0^ω

divO + OE= ^(^^)+z+ω)

=^{Eζe;+ω(IE)_=_Ωtπ^ωE=A(ω}

κoΩ_1/2=^z(veq^

a=

divz={z

(vz=

v^z=z₂

)&

Ets

Denuta parale di μ:

V_z μ=0

Derintp parale:

2μ=z

Equizione di continuità:

=True

Equazione di continuità:

=^+-(³⁾

Vesetifore:

Esercizio cinematica

C_xⁱ=e^(π/2ζter)(x(ρ) (cosu(π-τ))-z(ρ)(senu(π-τ)))

C_yⁱ=y(ρ)+Lsenυ-z(ρ)(cosuπ-τ))

C_zⁱ=e^(-ζter)(x(ρ)(senu(π-τ))+z(ρ)cosu(π-τ))

• V_x=ù_ιx(ρ)+ù_yp+ù_z(ρ)
• V_y=Lcosuτ
• V_y=ù_ι-x(ρ)+ù_z(p)
• αp²=α(z(ρ))+ù_x(ρ)-ù_zcùx(ρ)
• δ L²cosuτ

R=

• cosu(π-τ)0-senu(π-τ)
• 01 0
• senu(π-τ)0 cosu(π-τ)

• e_tⁱ e(cosu(π-τ)) 0 -e senu(π-τ)
• e_δ 0 1 0
• e(senvπ-t) 0 consuvπ)

D= ⩸ e ⩸