Meccanica razionale appunti lezioni

MECCANICA RAZIONALE

CINEMATICA DEL PUNTO

Ponendo con il termine “osservatore” oppure sistema di riferimento, intenderò la scelta di un punto O dello spazio (origine) e di una terna ortonorma \( e_1, e_2, e_3 \).

Il moto di un punto dello spazio rispetto ad un osservatore assegnato è descritto da una CURVA, cioè una funzione

\[ t \rightarrow \mathbf{P}(t) = (x(t), y(t), z(t)) \]

con \( t \in [t_0, t_1] \). Supporremo che la curva sia di classe \( C^2 \), ossia che \( x(t), y(t), z(t) \) siano derivabili due volte con continuità:

Il sostegno della curva, ossia l’immagine

\[ \{ \mathbf{P}(t) \ | \ t \in [t_0, t_1] \} \subset \mathbb{R}^3 \] della funzione \( t \rightarrow \mathbf{P}(t) \) si chiama in questa contest TRAIETTORIA del punto. Si dica che il moto è piano se essa è contenuta in un piano (fisso).

Per es., se z(t) = 0 ∀t, il punto si muove nel piano xy

Velocità e Accelerazione

Come notazione per la derivata rispetto al tempo t, utilizzeremo ẋ = dx/dt, ẍ = d²x/dt²

La velocità del punto P è dato da

v = dP/dt = dOP/dt = (d/dt) (x e₁ + y e₂ + z e₃) = ẋ e₁ + ẏ e₂ + ż e₃

L'accelerazione è invece

a = dv/dt = d²P/dt² = ẍ e₁ + ÿ e₂ + z̈ e₃

Asse Curvilinea e Terna Intrinseca

Consideriamo un moto t → P(t) tale che v(t) = dP/dt ≠ 0 per ogni t (curva regolare)

Introduciamo l’ascissa curvilinea

s(t) = ∫_t₀^t |v(τ)| dτ = ∫_t₀^t |dP/dτ| dτ = ∫_t₀^t √ (dx/dτ)² + (dy/dτ)² + (dz/dτ)² dτ

x(t)² + y(t)² = R²

Abbiamo che

v = ^d/_dt (OP(t)) = ^d/_dt (R cos(ωt) e₁ + R sin(ωt) e₂) = Rω (-sin(ωt) e₁ + cos(ωt) e₂)

=> |v| = Rω ≠ 0 => curva regolare

Inoltre

a = ^dv/_dt = -Rω² (cos(ωt)e₁ + sin(ωt)e₂) = -ω² OP

Ascissa curvilinea:

s(t) = ∫₀^t |v(τ)| dτ = ∫₀^t Rω dτ = Rωt

Riparametrizzazione:

s = Rωt => t = ^s/_Rω =>

P(s) = P(t(s)) = R (cos(^s/_R) e₁ + sin(^s/_R) e₂)

Versore tangente:

t = ^dP/_ds = -sen(^s/_R) e₁ + cos(^s/_R) e₂

Abbiamo che

_dOP̅^→/dt = V̅ - _dOŌ̅^→/dt = V_o.

mentre

_dŌP̅^→/dt =^d( xe₁ + ye₂ + ze₃) = ẋe₁ + ẏe₂ + że₃ +

                                + x _de1/dt + y _de2/dt + z _de3/dt

= V_r + xψΛe₁ + yψΛe₂ + z ψΛe₃

= V_r + ψΛ ( xe₁ + ye₂ + ze₃ ) = V_r + ψΛŌP̅^→

quindi otteniamo che

_dŌP̅^→/dt = V_r + ψΛŌP̅^→

e che   V̅ = V_o + V_r + ψΛŌP̅^→. Abbiamo così la

             legge di composizione delle velocità

V̅ = V̅_r + V_s           dove  V_s = V_o + ψΛŌP̅^→      e

la velocità di trascinamento (ossia la velocità che P avrebbe se fosse in

quieto rispetto all’ osservatore mobile) e ψ è la velocità angolare del riferimento

mobile.

PROPRIETÀ DELL'ATTO DI MOTO RIGIDO

la formula

(*) V_P = V_O + W ∧ OP^->

si può pensare come un campo vettoriale su tutto R³: tale campo viene chiamato campo di moto del CR (nell'istante considerato)

ESERCIZIO

(Cediamo il sapere del campo vettoriale *)

ESEMPIO

(atto di moto rotatorio)

Supponiamo che V_O = 0 , allora l'atto di moto

V_P = W ∧ OP^->

è essenzialmente rotatorio e gode delle seguenti proprietà:

1. i punti dell'asse passante per O e parallelo ad W hanno tutti velocità nulla (asse di istantanea rotazione)
2. la velocità di P è ortogonale ad W e al vettore OP^->;
3. |V_P| = |W| |OP^->|
4. negli altri piani ortogonali ad W il campo di velocità è lo stesso

Regola per determinare la velocità angolare (sistemi piani): se ϑ è un angolo tra una direzione fissa e una solidale al CR allora ω = ɵ̇ _e₃ (con e₃ uscente se ϑ in senso antiorario).

ω = ɵ̇ _e₃

Regola per determinare il CIR (sistemi piani):

Sappiamo che C sia il CIR, allora se A e B sono due punti del CR,

V_A = V_C + ω ∧ CA => V_A ⊥ CA

V_B = V_C + ω ∧ CB => V_B ⊥ CB

Quindi C si trova sulla retta passante per A e ortogonale a V_A (idem per B)

Esempi di sistemi olonomi continui

1. Lamina quadrata in un piano

   • Coordinate libere: \( x_C, y_C, \Theta \)

   \(\Rightarrow n=3 \) gradi di libertà

2. Doppio pendolo

3. Disco vincolato a muoversi su una guida rettilinea rimanendo in un piano:

   • \(\Theta\) angolo di rotazione propria

   Coordinate libere: \( x, \Theta \) \(\Rightarrow n=2\) gradi di libertà

   È facile vedere che si tratta di un sistema olonomo

4. L'esempio precedente, con in più il vincolo di puro rotolamento:

   • \(\omega = \frac{\dot{x}}{R}\), \(\Theta \)

   Vincolo cinetico:

   • \( V_c = 0 \)
   • Integrando \(\frac{x}{R} = \Theta + \text{cost} (1')\)

   Quindi il sistema risulta essere olonomo con \(n=1\) grado di libertà e coordinata libera \(x\) (oppure \(\Theta\))

Vanno poi analizzate le forze agenti su P.

Si ha che F è la componente del vettore

nel verso specificato dalla freccia.

Scriviamo ora la condizione di equilibrio:

mg - Kx + Φ = 0

Proiettiamola sugli assi x e y:

• mg _√2/₂ - Kx + Φ_T = 0
• -mg _√2/₂ + Φ_N = 0

Traendo: Φ_T = Kx - mg _√2/₂, Φ_N = mg _√2/₂

Utilizziamo infine la relazione statica di Coulomb:

Φ_T ≤ μ |Φ_N| ⇔ |Kx - mg _√2/₂| ≤ μ |mg _√2/₂|

⇔ -μ mg _√2/₂ ≤ Kx - mg _√2/₂ ≤ μ mg _√2/₂

⇔ (1 - μ) mg _√2/₂ ≤ Kx ≤ (1 + μ) mg _√2/₂

⇔ ^{(1 - μ) mg}/_K ⋅ _√2/₂ ≤ x ≤ ^{(1 + μ) mg}/_K ⋅ _√2/₂

Queste sono le posizioni di equilibrio di P.