Meccanica razionale appunti lezioni

MECCANICA RAZIONALE

CINEMATICA DEL PUNTO

Premesso: con il termine "osservatore" oppure sistema di riferimento, intenderò la scelta di un punto O dello spazio (origine) e di una terna ortonormata (e₁, e₂, e₃):

Il moto di un punto dello spazio rispetto ad un osservatore (assegnato) è descritto da una CURVA, cioè una funzione t → P(t) = (x(t), y(t), z(t)),con t ∈ [t₀, t₁]. Supponiamo che la curva sia di classe C², ossia che x(t), y(t), z(t) siano derivabili due volte con continuità:

Il sostegno della curva, ossia l'immagine {P(t) | t ∈ [t₀, t₁]} ⊂ ℝ³della funzione t → P(t) si chiama in questa contest TRAIETTORIA del punto.

MECCANICA RAZIONALE

CINEMATICA DEL PUNTO

Premessa: con il termine "osservatore" oppure sistema di riferimento, "intendo" la scelta di un punto O dello spazio (origine) e di un terna ortonormata (e₁, e₂, e₃):

Il moto di un punto dello spazio rispetto ad un osservatore assegnato è descritto da una CURVA, cioè una funzionet → P(t) = (x(t), y(t), z(t)),con t ∈ [t₀, t₁]. Supponiamo che la curva sia di classe C², ossia che x(t), y(t), z(t) siano derivabili due volte con continuità:

Il sostegno della curva ossia l'immagine {P(t) | t ∈ [t₀, t₁]} ⊆ ℝ³della funzione t → P(t) si chiama in questo contesto TRAIETTORIA del punto.Si dica che il moto è piano se essa è contenuta in un piano (fisso).

Per es., se Ẑ(t)=0, ∀t, il punto si muove nel piano xy.

Velocita e Accelerazione

Come notazione per le derivate rispetto al tempo t, utilizzeremo:

_x = dx/dt , _x' = dx₁/dt²

La velocità del punto P è data da:

V = dP/dt = d/dt OP = d/dt (x e₁ + y e₂ + z e₃) = veti. pari

= ẋ e₁ + ẏ e₂ + ẑ e₃

L'accelerazione è invece:

a = dV/dt = d²P/dt² = ẍ e₁ + ÿ e₂ + z̈ e₃

Ascissa Curvilinea e Terna Intrinseca

Consideriamo un moto t -> P(t) tale che v(t) = dP/dt ≠ 0 per ogni t (curva regolare)

Introduciamo l'ascissa curvilinea:

s(t) = ∫_t0^t |v(τ)| dτ = ∫_t0^t| dP/dτ| dτ =

= ∫_t0^t √((dx/dτ)² + (dy/dτ)² + (dz/dτ)²) dτ

È la lunghezza del tratto di curva compreso tra P(t₀) e P(t):

s(t)

La funzione del moto

Osserviamo

s̄ = ^ds⁄_dt = |V| = │^dP⁄_dt│

Poche |V| > 0 per ogni t abbiamo che s(t) è una funzione strettamente crescente

quindi possiamo invertire la funzione s = s(t) e ri-parametrizzare la traiettoria

P̄(s) = P(t(s))

Osserviamo che dP⁄ds è un vettore (tangente alla traiettoria): infatti

^dP̄⁄_ds = ^d⁄_ds P(t(s)) = ^dP⁄_dt dt⁄_ds = ^dP⁄_dt⁄^ds⁄_dt

=˃^dP⁄_dt˃

s̄ = │^dP⁄_dt│

= V è un vettore

=˃^dP̄⁄_ds˃_s = 1

Indichiamo allora con t_c = ^dP/_ds il versore tangente.

Poiché t è un versore, abbiamo che ^dt/_ds è ortogonale a t.

Introduciamo quindi

★ n = ^dt/_ds/^|dt|/_ds, versore normale

¹/_σ = ^|dt|/_ds, curvatura

ρ, raggio di curvatura

Dallo ★ abbiamo che

dt/ds = ¹/_ρ n

Completiamo la terna con

b = t ∇ n, versore binormale

Si ottiene così la terna intrinseca

(t(s), n(s), b(s)) nel punto p(s):

* Componenti intrinseche di velocità e accelerazione:

Velocità

v = dp/dt = d/dt p(s(t)) = ^dP/_ds ds/dt = t ṡ

⇒ v = ṡ t

(in particolare |V| = ṡ, cosa che già sapevamo)

Accelerazione

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{s} \vec{t}) = \ddot{s} \vec{t} + \dot{s} \frac{d}{dt} \vec{t}\]

Ma \(\frac{d\vec{t}}{dt} = \frac{d\vec{t}}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{1}{\rho} \dot{s} \vec{n} \) quindi: