Meccanica Razionale

MECCANICA RAZIONALE

Lo spazio della meccanica è l'insieme di uno spazio di punti e uno spazio di vettori.

Ad ogni coppia di punti è associato un unico vettore.

Prodotto scalare: a · b (modulo, modulo, cos α)

Prodotto vettoriale: a ∧ b (modulo, modulo, sen α + regola della mano destra)

Prodotto misto: a ∧ b · c (a ∧ b = b ∧ c ∧ a)

Terna ortonormale destra

e₁ ∧ e₂ = e₃

Terna ortonormale sinistra

e₁ ∧ e₂ = -e₃

ɛ_h ɛ_k - δ_hk

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃,   v_A = v · e_i

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a ∧ b = \begin{vmatrix} e₁ & e₂ & e₃ \\ a₁ & a₂ & a₃ \\ b₁ & b₂ & b₃ \end{vmatrix}

MECCANICA RAZIONALE

Lo spazio della meccanica è l'insieme di unospazio di punti e uno spazio di vettori(E, V) Ad ogni coppia di punti è associatoun unico vettore

Prodotto scalare: a · b(modulo, modulo, cos)

Prodotto vettoriale: a ∧ b(modulo, modulo, sin +regola della mano destra)

Prodotto misto: a ∧ b · c(a, b, c) = a · (b ∧ c), c)

Terna orionormale destra

Terna orionormale sinistra:

e₁ ∧ e₂ = e₃

e₁ ∧ e₂ = -e₃

e_i e_k - δ_ik(i ≠ k) (i/k ± k)

v = v₁ e₁ + v₂ e₂ + v₃ e₃,v_A = v-v_c

a · b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

a ∧ b =   | e₁ e₂ e₃ |   | a₁ a₂ a₃ |  | b₁ b₂ b₃ |

CINEMATICA:

OP(t) = X₀(t)i₁ + X₀(t)i₂ + X₀(t)i₃

dP(t), v(t), dP, d(OP)dt dt dt de

- X₁(t)i₁ + X₁(t)i₂ + X₁(t)i₃ = OP'(t)

P(t) è il M.R.R.. X è la TRAIETTORIA.∆l(t) è PASSO CURVILINEO, ovvero la LUNGHEZZA D.L.

∆(t) = ∫v(t)dt ₀₀

d∆ dt = |v(t)|

PER CONSENTIRE ALLA TRAIETTORIA DI AVERE SENSIDOBBIAMO PERMETTERE ALLA VELOCITÀ DI ANNULLARSI

{∆_L = |v(t)|dt ∆(t) t∈∆}}

P(t) : EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA ℵx(t) : LEGGE ORARIA

v(t) = dP = dP ds = dP i = i ξ

dt dt ds ds

ξ = dPds : VERSORE TANGENTE

a(t), dv = d²P = d(d²t)i + ξ . di + d . di + .. ξ(t + ξ²n)

dt dt

c . n c : CURVATURAn : VERSORE NORMALE

R = 1/c

b = t ∧ n

VERSORE BITANGENTE

SISTEMA DI PUNTI:

UN MOTO RIGIDO È UN MOTO IN CUI LA DISTANZA DEI PUNTI NON CAMBIA.UN PUNTO SOLIDO È UN PUNTO ESTERNO AL SISTEMA LE CUI DISTANZE DA ESSO NON CAMBIANO.POSSONO ESSERCI ANCHE PIANI SOLIDI ...

P(t) = Q(t) + Y₁ e₁(t) + Y₂ e₂(t) + Y₃ e₃(t) - Q(t) + QP(t)

Q(t) È ARBITRARIO MA LE U₁ DEVONO ESSERE ORTOGONALI IN QUALSIASI ISTANTE DI TEMPO

ANGOLI DI EULERO:

n = e₁ × e₃   : VERSORE NORMALE⁡ · e₃ = 0Θ : ANGOLO DI INCLINAZIONEψ : ANGOLO DI ROTAZIONE PROPRIOψ : ANGOLO DI PRECESSIONE

L'INSIEME DELLE VELOCITÀ DEI PUNTI DEL CORPO RIGIDO SI CHIAMA ATTO DI MOTO (È UN CAMPO VETTORIALE).

TEOREMA DI POISSON:

{

1. Θ· = ω · e₂
2. ω · e₂ = ω · e₃

CON : ψ ( Θ · e₁ + Ψ · e₂ + Θ · e₁)VELOCIÀ ANGOLARE DEL MOT

Formula del moto rotoradiatorio:

v(P) = v(Q) + w ∧ QP

Proprietà

1. I punti del corpo rigido hanno la stessa velocità sulla direzione che li congiunge.
2. Le velocità di tutti i punti del corpo rigido nella direzione di w devono essere uguali.
3. I punti appartenenti a rette parallele a w avranno velocità uguali.

Invariante scalare cinematico

I. v(A) • w = v(Q) • w

(non dipende dal punto)

Asse del mozzi o asse di moto

I punti hanno velocità nulla con componente solo in direzione di w.

(varia da istante a istante non è una proprietà del corpo)

Se I. v(A) • w = 0 vuol dire che tutti i punti devono essere paralleli e perpendicolari a w.

Se ciò accade il corpo starà ruotando attorno l'asse del mozzi che chiameremo

Asse di istantanea rotazione.

Classi di Moto

Sono definite su un intervallo di tempo

• Traslatorio

w = 0

• Rototraslatorio

direct(w) = cost.