Meccanica razionale

Vettori Geometrici

Consideriamo lo spazio tridimensionale.Gli elementi di tale spazio sono i punti geometrici A, B, C.Tutti i elementi di tale spazio formano il gruppo delle traslazioni che indicheremo con A, μ, etc. che sono detti vettori.La azione dell'elemento u del gruppo delle traslazioni sull'elemento A dello spazio forma è A + u = B → μ = B - A.Chiamo u + σ con un altro elemento dello spazio, ad esempio C,denotiamo C + u = D → u = D - C.Osserva che u è la classe di equivalenza di cui i segmenti orientati B - A eD - C sono elementi rappresentativi.Prodotto scalare: u ⋅ σ = u v cosφ dove φ è l'angolo formato dalle retteorientate con u ed s.Se u ⊥ σ, u ⋅ σ = 0 perché cosφ = 0Sia v un vettore e sia r una retta ortogonale al vettore s, la grandezzav₂ = v ⋅ s z dice proiezione scalare di v su r.w = u x v = v u senφ

Rappresentazione Cartesiana dei Vettori

relazione fondamentale

• La somma di due vettori è quel vettore che ha come componenti la somma delle componenti
• Il prodotto scalare è dato dalla somma dei prodotti delle componenti omologhe

Momento risultante: Il momento risultante della forza rispetto ad un polo O, si dice, dalla somma vettoriale dei momenti delle singole forze come sempre rispetto al polo O.

Moti Piani

Quando la traiettoria del moto di un punto materiale è interamente contenuta in un piano si dice che il punto si muove di moto piano. Per i moti piani come nel rimbalzare il contatto si riferisce l'area spazzata dal vettore posizione nell'unità di tempo.

x(0) = x₀, ẋ(0) = v₀, y(0) = z(t) = y(0) = z(0) = v

ω₀ = √^k/_m

L'equazione diventa:

ẍ + ω₀²x = 0

Equazione Oscillatore Armonico

La soluzione generale è:

x(t) = A cos ω_t + B sin ω_t

X(t) = X₀ cos ω_t + v₀ / ω₀ sin ω_t

Abbiamo imposto le condizioni iniziali

A = A₀ cos d

B = A₀ sen d

X(t) = A₀ cos (ω _t - d)

^Frequenza_Angolare ^Fase

^Ampiezza_{Bell'Oscillazione}

T₀ = 2π / ω₀ ^Periodo

v = ω₀ 2π ^Pulsazione

CLASSIFICAZIONE DEI VINCOLI

Un vincolo è detto olio quando le equazioni di vincolo non compaiono esplicitamente il tempo t e le equazioni contengono il tempo t. Il vincolo si dice mobile.

Φ₁ Φ₂ Φ₃ Φ_n gli spostamenti reali e virtuali sono diversi solo in presenza di vincoli mobili.

Gli spostamenti virtuali che corrispondono ad un vincolo bilaterio sono completamente arbitrari. Un vincolo UNILATERIO non influisce il numero di gradi di libertà e le configurazioni. I vincoli unilaterali non comportano riduzione dei vincoli veri e propri, ma si tratta piuttosto di configurazioni di equilibrio.

• VINCOLI GEOMETRICI E CINEMATICI: Alnome nelle equazioni di vincolo compaiono funzioni delle sole coordinate, il vincolo si dice geometrico o di posizione. Alnome nelle equazioni compaiono le derivate padronedi vincoli cinematici.
• VINCOLI CINEMATICI INTEGRABILI: a volte l'equazione è presente la sbestità può essere ricondotta ad una conseguenza la congiura delle sole coordinate. Un vincolo così è detto CINEMATICO INTEGRABILE e va essere trattarlo come un vincolo geometrico.
• VINCOLI OLOMONI: un vincolo si dice oloeomo alnoale del del cdto. A un vincolo si dice oloeomo da un punto materiale &escl;ato quando è espreto da un'equazione del tipo Φ(x,y,z,t) = o. Vi vincole a non dipenderà dal tempo.

m<3N schema libero

m=3N schema isostatico

m>3N schema iperstatico

DISTRIBUZIONI DI MASSA

M = _i=1^k∑ m_i

Massa totale del sistema

M_t = _D∫ ρ(P) dV