Meccanica: moto armonico

Forza elastica e moto armonico

Come abbiamo già visto, un corpo solido tende a deformarsi sotto l'azione di una forza.

Questa deformazione è meccanica perché il corpo possa generare una forza di reazione che annulli la forza applicata, così da raggiungere un equilibrio. Questa proprietà dei corpi si chiama elasticità, e si trova che la forza elastica è in generale lineare con la deformazione. Il caso esemplare è quello di un corpo di lunghezza finita (ad esempio una molla)

chiamata x=0 la posizione di equilibrio, la molla applica una forza:

Fe = -kx

dove k è una proprietà della molla (in generale, del corpo), chiamata costante elastica.

Si noti il segno negativo che indica come il verso della forza sia opposto a quello dello spostamento (deformazione).

In particolare forma lineare della forza elastica porta ad un moto meccanico periodico, chiamato moto armonico.

Considero ad esempio un corpo di massa m

attaccato ad una molla (supposta senza massa) e

immagini di portare il corpo di una quantità

X₀ e di lasciarlo quindi partire da

fermo (^.X₀ =0)

La legge di Hooke ci dice che:

Fe = ma —> ma = -kx

ma ricordando che a = ^d2x/_dt²

ma = m^d2x/_dt² = -kX

ovvero:

^d2x/_dt² = -k/m x

Questa è un’equazione differenziale di facile soluzione

se si ricorda la proprietà di derivate delle

funzioni sinusoidali:

• d/dt sin(ωt) = ω cos(ωt)
• d/dt cos(ωt) = -ω sin(ωt)

che implicano:

• d²/dt² sin(ωt) = -ω² sin(ωt)
• d²/dt² cos(ωt) = -ω² cos(ωt)

Questa è proprio la forma dell’equazione di Newton

scritta sopra, se si fa la sostituzione:

ω² = k/m , trovando

X(t) = X₀ cos(ωt)

Si noti come velocità e posizione siano in concordia:

x₀ è massimo, v = 0

x = 0, v è minimo

x₀ è minimo, v = 0

x = 0, v è massimo

Di nuovo questa è una conseguenza della relazione generale:

v = dx/dt

Il moto che abbiamo studiato ora è un caso particolare, nel senso che possiamo scegliere un'altra condizione iniziale e dare lo stesso tipo di oscillazione, ma con una fase diversa.

Ad esempio, facendo partire il corpo da x₀ = 0, ma con v₀ > 0, si ottiene:

Più in generale:

dove φ₀ è la fase iniziale.