Fisica generale I - Meccanica

Moto Circolare Uniforme

Un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme è vincolato a muoversi su una circonferenza di raggio R. Esso percorre spazi angolari uguali in tempi uguali. Supponendo che il moto avvenga sul piano xy, in coordinate polari ha legge oraria data da:

r(t) = Rθ(t) = ωtz(t) = 0

La quantità v = ωR, dove v è la velocità del punto (tangente alla circonferenza), è detta velocità angolare e rappresenta l'angolo descritto dal raggio vettore R nel tempo t, per cui v = dθ/dt.

In coordinate cartesiane invece la legge oraria è data da:

x(t) = R cos(ωt) y(t) = R sin(ωt) z(t) = 0

Il moto circolare uniforme permette al punto materiale un solo grado di libertà: essendo il punto vincolato a muoversi su una traiettoria fissa. Esso è inoltre un moto periodico: in particolare, percorsa una circonferenza completa (angolo 2π) in un certo periodo T, il punto materiale si ritrova nella stessa posizione, per cui:

ω = Δθ/Δt = 2π/T → T = 2π/ω

Si osserva inoltre che si può rinnovare il parametro t alle equazioni cartesiane del moto e ottenere l'equazione di una circonferenza:

'x²' + 'y²' = R²

Le velocità in componenti cartesiane e polari possono essere facilmente ricavate derivandole rispetto a t:

PolariV_r(t) = 0V_θ(t) = ωV_z(t) = 0

CartesianeV_x(t) = -Rω sin(ωt)V_y(t) = Rω cos(ωt)V_z(t) = 0

Si osserva che il modulo alla velocità v è costante

v = √(v_x² + v_y² + v_z²) = √(R²ω²cos²(ωt) + R²ω²sin²(ωt)) = Rω

ed inoltre che r e v sono sempre perpendicolari tra loro: il loro prodotto scalare è

V ⋅ R = V_x × Y₁ + V_y × Y₂ = (-Rω sin(ωt) R cos(ωt) + Rω cos(ωt) R sin(ωt)) = 0.

Analogamente, in componenti cartesiane le accelerazioni lungo gli assi sono date da:

Δx = -ω²R cos(ωt)

e il modulo del vettore a è

|a|² = Δx² + Δy² + Δz² = v²/R

ed è orientato lungo il raggio verso il centro di una circonferenza:

a(t) = -ω²R(t)

Il vettore ̅(t) può essere ottenuto, oltre che per componenti, derivando rispetto a t il vettore v̅(t).

Infatti, in generale:

La derivata di un qualunque vettore A̅ si può scrivere come somma di un vettore parallelo al modulo di A̅ (o derivata di modulo) e di un vettore perpendicolare ad A̅ (o derivata d'angolo) in cui l'asse che ha direzione modulo A, viene con il vettore istantaneo di rotazione di A̅:

̅(t) = _d/_d  + () ̂

Nel caso particolare dell'accelerazione, essendo a̅(t) = _dv̅/_dt (v(t) vettore tangente)

a̅(t) = _dv/_dt ̂(t) + _v/_dt () ̂

dove è la componente tangenziale dell'accelerazione (o alla velocità)

ed è la componente normale dell'accelerazione (o alla velocità)

La componente ̅(̂) però essere ottenuta facilmente consideriamo che  vettore Ŝ ha

cambiare direzione ad esempio, ̂ un angolo ΔΦ. Per Δ → 0, anche ΔΦ → 0.

Allora, ├Δ̅ = Δ

Modulo |Δ̅| = 2 sin Δθ ≈ 2 sin (^Δϴ/₂) ΔΦ

cosicché, diviene quadrati uguali al limite di _Δϴ/_Δt per Δтов→ 0;

_̂1/_dt = ^sin/ ̂() = Δϴ/ ̂

Nel moto circolare uniforme quindi si ha:

v̅(t) = _dR̂/_dt Â̄

a̅(t) = _a/_v̅() = -Â

Leggi di Keplero

1. I pianeti compiono, nel loro moto intorno al Sole, orbite piane di forma ellittica, dei cui il Sole occupa uno dei fuochi.
2. Il moto dei pianeti avviene con velocità areolare costante, ossia il raggio vettore dal Sole spazza aree uguali in tempi uguali.
3. Il rapporto tra il quadrato del periodo T e l'involucro del cubo del semiasse maggiore è ^a/₂ = costante (e uguale per tutti i pianeti).

a) Orbita piane

Le velocità areolari costanti seguono dalla conservazione del momento angolare.

      c'è gravità ^_r lungo una radiale per cui il momento è P ed è perpendicolare      v [^p_m]

      x = 0; m (m)[prendo più (u in 5) p cu il teorema del momento angolare

      Z

Se r vettore è costante allora Omega è la sua direzione e (oggetto) è la direzione di un piano che contiene r all'insù.

      se r vettore piu altro      ora ^d(af)_{v [^m1]} si sottrae un interrompo sempre domba stawi

      v^W[dim]^{r (sina)} = [=] [=] ^8_p(z - 1)

[dim] diventa un corso dombra inférieure ^{(invidivamente dombra)}[iris = t]

r

      [^dA] = r (sina)      _{(dA per infinetesim)}

_{base al triangolo}

ma dr = r. sina = \(\begin{pmatrix}[A_t] rx v\end{pmatrix}[p_[v1]])\)

σ

a quando      \(v²/[u]^{ucion][P/2m]\)}

essendo p ed m costanti, allora \(\frac{dA}{dV}\) è costante.

b) terza legge di keplero

Supponendo di poter approssimare le orbite a traiettorie circolari, essendo p costante allora il moto ècircolare uniforme. E conseguenza la forza di gravità è espressa come una forza centripeta:

\(\frac{G}{r} \frac{MG}{r^3}\) [_dA]

costante

quindi

w² = \(\frac{GM}{r^3}\)

mantenendo HcU, w = \(\frac{2\Pi}{T}\) allora

\(\frac{GM}{r^3}[dim] [dA]_^m

r³ = \(\frac{GM}{4\Pi^2}\)

non dipende dalle masse dei pianetima solo dal Sole e da costanti

Oscillatore Armonico Smorzato

Considerato un oscillatore unidimensionale e un'asta che ha asse x

considero una oscillazione di moto oscillatorio, se è presente una

forza di attrito all'equazione all'oscillatore armonico si aggiunge

un termine _{f = -b dx} che tiene conto dell'attrito viscoso.

e la quindi che:

^d_2x ^d_{t 2} + b ^dx_dt + k_m = 0

(eq differenziale lineare omogenea

a coeff costanti)

l'equazione di questi parametriche soluzioni generali di tipo

x(t) = Ae^α1t + Be^α2t

dove A e B d'ottimiamo dalle condizioni iniziali e α1, α2 sono le soluzioni dell'equazione

autoegina associata

^β_mα + k_m = 0 di cui Δ è β^24m2;

per cui α1, α2 = ^-b_2m ± ^√Δ_√

il moto risultante è diverso a seconda del segno di Δ:se Δ = 0 (β^24m2) si hanno due soluzioni reali e negative;

il risultato è un moto smorzato in cui domina la forza d'attrito;

se Δ > 0 (β² _4km) si hanno soluzioni negative e coniuganti;

con soluzione generale su x(t) (a2t)  è condizione di smorzamento massimo.

se Δ < 0 ⁰²_4km si hanno soluzioni complesse coniugate:

α₁₂ = - r ± iw con r = ^β_2m e w = ^k_m - ^β2_4m

(w₀ = ^√k_m)

quando sostituendo si ottiene

x(t) = e^-rt(Ae^iwt + Be^-iwt)

ma per la formula di Eulero e^iwt = cos wt + i sin wt, per cui

x(t) = e^-rt(Acos wt + i Aismwt + Bcoswt - i Bismwt) = e^-rt(A+B) cos wt + i(A-B) sin wt)

ponendo (A+B) = x₀ sin q, (A-B) = x₀ cos q

x(t) = x₀ e^-rt (sin qm w_t + cos q_m = x₀ e^-rt sin (wt + q)