Fisica generale I - Meccanica

Moto circolare uniforme

Un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme è vincolato a muoversi su una circonferenza di raggio R. Esso percorre più circonferenza archi uguali in tempi uguali. Supponendo che il moto avvenga sul piano xy, in coordinate polari, la legge oraria θ(t) è data da:

r(t) = Rθ(0) = ωtz(t) = 0

La quantità ω = v_T / R

Legge oraria in coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane inverse la legge oraria è data da:

x(t) = r cos(ωt)

y(t) = r sin(ωt)

z(t) = 0

Si osserva inoltre che si può rinviare il parametro dalle equazioni cartesiane cui moto è avviene l'equazione di una circonferenza:

x² + y² = r² (cos²(ωt) + sin²(ωt)) = R²

Velocità in componenti cartesiane e polari

Le velocità in componenti cartesiane e polari possono essere facilmente ricavate derivando V rispetto a t:

Y_R(t) = 0

Y_θ(t) = ω

Y_z(t) = 0

V_x(t) = -Rω sin(ωt)

V_y(t) = Rω cos(ωt)

V_z(t) = 0

Si osserva che il modulo della velocità V è costante.

Accelerazione

Analogamente in componenti cartesiane le accelerazioni lungo gli assi sono date da:

Δx = -ω²R cos(ωt)

Δy = -ω²R sin(ωt)

Δz = 0

ed inoltre:

a_t(t) = -ω²R(t)

Moto circolare uniforme

Un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme è vincolato a muoversi su una circonferenza di raggio R. Esso percorre poi unioni in tempi uguali. Supponiamo che il moto avvenga sul piano xy, in coordinate polari ha legge oraria esprime da:

r(t) = Rθ(t) = ωt = moto uniforme su xyz(t) = z₀ = moto uniforme e costante

La quantità ω = v / R, dove v è la velocità del punto (tangente alla circonferenza), è detta velocità angolare e rappresenta l'angolo spazzato dal raggio vettore R nel tempo t, puoi si ha ωt = ^dθ/_dt.

Coordinate cartesiane

In coordinate cartesiane invece la legge oraria è data da:

x(t) = R cos(ωt)

y(t) = R sin(ωt)

z(t) = z₀

dove R = √x² + y² + z²

Il moto circolare uniforme permette al punto materiale un solo grado di libertà; essendo il punto vincolato a muoversi su una traiettoria fissa. Esso è inoltre un moto periodico. In particolare, percorsa una (angolo 2π) in un certo periodo T il punto materiale si trova nella stessa posizione, puoi ω = ^Δθ/_Δt → ^2π/_T → T = ^2π/_ω

Equazione della circonferenza

Si osserva inoltre che si può rimuovere il parametro t dalle equazioni cartesiane del moto e ottenere l’equazione di una circonferenza:

x² + y² = R²

(cos²(ωt) + sin²(ωt)) = R²

e ((cos(ωt) - sin(ωt))² = equazione della circonferenza sul piano xy.

Velocità e accelerazione

Le velocità in componenti cartesiane e polari possono essere facilmente ricavate derivando rispetto a t:

Vr(t) = 0

Vθ(t) = ω

Vy(t) = 0

Vx(t) = -Rω sin(ωt)

Vy(t) = Rω cos(ωt)

Vz(t) = 0

Si osserva che il modulo della velocità V è costante:

V = √ V_x² + V_y² = √ R²ω² cos²(ωt) + R²ω² sin²(ωt) = Rω

ed inoltre che R e V sono sempre perpendicolari tra loro: Il loro prodotto scalare è:

V • R = V_x x + V_y y + V_z z = -Rω sin(ωt) R cos(ωt) + Rω cos(ωt) R sin(ωt) = 0.

Analogamente in componenti cartesiane le accelerazioni lungo gli assi sono date da:

Δx = -ω² R cos(ωt)

Δy = -ω² R sin(ωt)

Δz = 0

e il modulo loro vettore a è:

|a| = √ Δx² + Δy² = ω² R = V²/R

ed è orientato lungo il raggio verso il centro della circonferenza:

a(t) = -ω² R(t)

Il vettore a(t) può essere orientato, oltre che per componenti, attraverso rispetto ai t il vettore r(t). Infatti, in generale:

La derivata di un qualunque vettore A si può scrivere come somma di un vettore parallelo ad A con il modulo di A e di un vettore perpendicolare ad A che ha il modulo di A e di un vettore perpendicolare ad A. Questo vettore è di un vettore animato in una talua che ha lo stesso modulo di A e la velocità istantanea di rotazione di A:

_dA/dt = (_dA/dt A + (Aù) û

Accelerazione e vettori

Nel caso particolare dell’accelerazione,