Riassunto esame Meccanica delle strutture/statica, Prof. Bernardini Davide, libro consigliato Meccanica delle strutture, Davide

Cinematica

Cinematica è la parte della meccanica che studia il movimento da un punto di vista puramente geometrico, indipendentemente dalle cause che possono provocarlo.

Concetti fondamentali

Movimento: è il cambiamento di posizione nello spazio al variare del tempo.

Spazio: è un insieme di luoghi o punti con proprietà opportune. Per ogni coppia di luoghi A, B, un vettore 3D AB rappresenta lo spostamento necessario per andare da A a B.

Tempo: Insieme di istanti.

Vettori

I vettori hanno due proprietà principali:

• Somma: regola del parallelogramma
• Moltiplicazione: si possono moltiplicare scalarmente

Componente 3D: dato un sistema di riferimento (fissare tre direzioni), le proiezioni del vettore lungo gli assi di riferimento individuano i vettori componenti. Componenti di un vettore 2D: nel caso di un vettore piano bastano due coordinate, v=a+b= u.i+v.j. Ogni vettore è completamente determinato da due coordinate.

Coordinate

Dato un qualsiasi luogo A dello spazio e fissato un sistema di riferimento spaziale, il luogo A può essere rappresentato da un vettore OA determinato da tre numeri (coordinate spaziali). Per il tempo, la situazione è analoga: viene quindi fissato un istante di riferimento e ogni istante può essere rappresentato da un numero (coordinata temporale).

Funzione moto

Il singolo punto materiale descrive il movimento di un punto, il che significa specificare tutte le posizioni occupate al variare del tempo. Un punto può occupare diverse posizioni spaziali; non bisogna confondere il punto con le posizioni che può occupare nello spazio.

Funzione moto: t ➔ x(t), x(t) è il vettore posizione OP(t) al tempo t, fissato un sistema di riferimento (tre vettori). X(t)=x(t).i+y(t).j+z(t).k

Funzione spostamento: alcune volte conviene ragionare in termini di spostamento, ad esempio la posizione iniziale. T ➔ u(t):=x(t)-x(0)

Velocità e accelerazione

La funzione moto contiene le informazioni necessarie per sapere quanto velocemente viene percorsa ogni traiettoria: basta fare la derivata rispetto al tempo.

Ad ogni istante t si può definire il vettore velocità v(t):= dx(t)/dt. Unità di misura, m/s.

Accelerazione: al variare della velocità, misuriamo l’accelerazione. Ad ogni istante t si può definire il vettore accelerazione. Si misura in m/s².

Tipi di moto

Moto rettilineo uniforme: Se il vettore velocità rimane costante nel tempo.

Rotazione e posizione angolare

Consideriamo ora un singolo punto materiale vincolato a ruotare intorno a un punto fisso. Possiamo osservare che: la traiettoria è una circonferenza, la velocità è tangente alla circonferenza, il moto si svolge nel piano che contiene la circonferenza. Il centro della circonferenza appartiene all’asse di rotazione che è ortogonale al piano del moto. Il vettore posizione ha modulo costante ed è completamente determinato dall’angolo formato rispetto a una direzione di riferimento chiamato posizione angolare e misurato in radianti.

Se il raggio è noto, per sapere dove si trova il punto basta specificare la posizione angolare, cioè una singola funzione scalare, t ➔ θ(t).

La velocità di rotazione è la derivata della posizione angolare rispetto al tempo e si misura in rad/sec. T ➔ θ'(t).

La velocità di rotazione è uniforme, il vettore velocità varia continuamente direzione e l'accelerazione non è nulla. Quindi, il vettore velocità ordinaria non è adatto a descrivere la velocità di rotazione, il suo moto si misura in m/s. Siccome la posizione angolare è positiva se antioraria, si hanno due possibilità per il verso della velocità angolare. Se la rotazione è antioraria, la velocità angolare sarà positiva nel verso k e viceversa.

Prodotto vettoriale di due vettori

Dati due vettori, il loro prodotto vettoriale è un terzo vettore che ha direzione ortogonale al piano formato dai vettori dati. Il modulo è uguale all'area del parallelogramma formato dai due vettori dati. Il verso segue le prime tre dita della mano destra (regola della mano destra).

Relazione tra velocità angolare e ordinaria: v=ω×x, v(velocità), ω(velocità angolare), x(vettore posizione).

Accelerazione angolare: L’accelerazione angolare è la derivata della velocità angolare. Siccome k rimane costante nel tempo, la derivata è ancora un vettore parallelo a k. L’accelerazione angolare è nulla nel moto circolare uniforme e non nulla nel moto circolare non uniforme.

Moto di strutture continue 3D

Descrivere il movimento di un modello continuo 3D significa specificare tutte le posizioni occupate da tutti i punti al variare del tempo. Funzione moto (P,t) ➔ x(P,t), vettore posizione di tutti i punti ad ogni t. Funzione di spostamento: (P,t) ➔ u(P,t).

Cambiamenti di forma: Durante il movimento, i corpi continui cambiano posizione e cambiano forma al variare del tempo. La forma di un oggetto è determinata dalle distanze relative tra tutte le coppie di punti. Un oggetto cambia forma se esiste almeno una coppia di punti che cambia la sua distanza relativa. Il singolo punto non ha forma perché per avere forma bisogna avere almeno due punti.

Deformazione

La funzione moto contiene tutte le informazioni per descrivere oltre alla velocità di movimento anche il cambiamento di forma della struttura. La funzione moto è una funzione di due variabili, P e il tempo t. La derivata rispetto al tempo fornisce la velocità di ogni punto ad ogni istante. La derivata rispetto al primo argomento, il punto P, determina la deformazione degli elementi materiali.

Tipi di movimento

• Moto con deformazione generale: gli elementi materiali si deformano tutti in modo diverso, il tensore F è diverso da punto a punto.
• Moto con deformazione omogenea: gli elementi materiali si deformano ma tutti nello stesso modo, il tensore F è lo stesso per tutti i punti.
• Moto rigido: gli elementi materiali si spostano senza deformarsi, il tensore F è lo stesso per tutti i punti, caratteristiche particolari. Fh uguali per ogni punto.

A seconda degli spostamenti, i tre tipi di moto si possono descrivere tramite:

• Cinematica finita
• Cinematica infinitesima
• Gli spostamenti rigidi

Uno spostamento è rigido se tutti gli elementi materiali si spostano senza deformarsi. La distanza relativa tra ogni coppia di punti rimane costante.

Esempi

• Traslazione: tutti i punti compiono lo stesso spostamento, u(P)=t perché si ha una funzione moto tale che F=I e quindi H=0. u(P) (spostamento del genericopunto P), t (vettore della traslazione).
• Rotazione: tutti i punti si muovono lungo circonferenze con centri posizionati su un’asse che rimane fermo (asse di rotazione). Cerchiamo una formula per la funzione spostamento per una rotazione intorno all’asse k. Consideriamo un generico punto P e la sua posizione relativa D rispetto al centro di rotazione R. in una rotazione nella formula generale si può prendere u(R)=0. La funzione moto ha una forma molto particolare, tanto che per il tensore H(R) nella rotazi...