Meccanica del continuo: Appunti di Scienza costruzioni

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

M ’

M ’

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L EE

LL

AA

SS

TT

II

CC

II

TT

ÀÀ

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L E L

A S

T I

C I

T À

In generale il vettore tensione è funzione del punto P, dell’azione che B trasmette ad A, e della giacitura del

piano tangente a dω (che dipende da come si effettua il taglio). Pertanto con si indica il vettore tensione

t

n n

che agisce, in un determinato punto, sull’elemento piano di normale Se riferiamo il corpo ad una terna

n.

cartesiana 0(x , x , x ), possiamo associare al vettore tensione un secondo indice che identifichi le componenti

1 2 3

cartesiane del vettore stesso secondo quella terna; se β è l’ coseno direttore, si ha che:

i-esimo

i

β β β

= = =

t t ; t t ; t t

n

1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3

indica pertanto la componente del vettore secondo la normale e prende il nome di ,

n

t tensione normale σ

nn n

mentre la componente , secondo la retta intersezione del piano di ed con il piano di dω prende il

t n

t t,

nt n n

nome di . Così definita la tensione, una qualunque regione A di C, su cui consideriamo

tensione tangenziale τ

nt

applicate sia le forze esterne (di volume e di superficie) che quelle superficiali interne originate dai vettori

tensione, può essere trattata come un unico corpo isolato soggetto a date forze esterne. Sia 0(x , x , x ) una

1 2 3

terna cartesiana di riferimento. Immaginiamo ora di tagliare un corpo secondo 3 piani passanti per un punto

x x x

P, ciascuno parallelo ad uno dei piani coordinati (ad esempio il piano generato da e e di normale ),

1 2 3

x x

per i quali avremo tre vettori tensione. Se è il vettore avente come normale l’asse , l’asse e l’asse

t t t

1 1 2 2 3

x , allora possiamo definire nove componenti (3 per ciascuno), chiamate in P:

componenti speciali di tensione

3 σ σ σ

  

t ( ) componente normale t ( ) componente normale t ( ) compo

nente normale

11 1 22 2 33 3

  

τ τ τ

  

ˆ ˆ ˆ

t : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x

1 12 12 2 2 21 21 1 3 32 32 2

  

τ τ τ

ˆ ˆ ˆ

t ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x

  

13 13 3 23 23 3 31 31 1

Si attribuisce segno positivo alle componenti concordi con la direzione dei rispettivi assi. Dunque, per come

sono stati scelti gli assi coordinati (concordi a loro volta con e dunque uscenti dal corpo), le tre tensioni

n,

normali sono positive se rappresentano uno sforzo di trazione. Usualmente si rappresentano le componenti

speciali di tensione del generico punto P di un continuo C come agenti sulle facce di un parallelepipedo

dell’intorno di P parallele ai piani coordinati, da intendersi come elementi piani passanti tutte per P, e di cui

P è il baricentro. Per le tensioni vale il

principio di azione e reazione: “considerato

un generico elemento superficiale interno al

corpo, sulle due facce di esso, cui competono

normali opposte, agiscono sempre due tensioni

Se, per evidenziare le

uguale e contrarie”.

tensioni interne, immaginiamo di tagliare

idealmente un corpo in due parti, sulle

due superfici di taglio le tensioni sono,

punto per punto, uguali e opposte.

R C (

1 . 3 )

R C (

1 . 3 )

EE

LL

A

Z II

O N E D II A

U

C

H Y

A

Z O N E D A

U

C

H Y

E L A

Z I O N E D I A

U

C

H Y

Consideriamo un punto P appartenente a

un continuo C, e costruiamo per esso le

componenti speciali di tensione secondo

, x , x ). Assegniamo la giacitura di P definendo per un’area dω che lo contiene la

una terna cartesiana 0(x 1 2 3

sua normale e supponiamo di conoscere i suoi coseni direttori , ed rispetto agli assi coordinati. Se

n n n n

1 2 3

prendiamo un volume ∆V comunque piccolo racchiuso da più superfici chiuse ciascuna parallela a uno degli

assi coordinati e contenente P, nell’ipotesi che C sia in equilibrio, la somma delle componenti delle forze

agenti secondo gli assi coordinati deve essere nulla. Sul volume considerato agiscono le forze esterne di

volume, e le tensioni sulle facce del contorno, che rappresentano le forze che il resto di C esercita su ∆V.

Facendo tendere ∆V a P, il termine contenente le forze di volume si annulla e rimangono definite le seguenti

relazioni, esprimibili secondo un’unica legge vettoriale nota come relazione di Cauchy:

= + + = + + = + + → = + +

t t n t n t n ; t t n t n t n ; t t n t n t n t t n t n t n

n

1 11 1 21 2 31 3 n 2 12 1 22 2 32 3 n 3 13 1 23 2 33 3 n 1 1 2 2 3 3

Pertanto: “lo stato tensionale in un punto è pienamente individuato se in quel punto si conoscono le componenti

speciali di tensione, potendosi esprimere tramite queste le componenti cartesiane della tensione su qualsiasi elemento

piano di assegnata giacitura”. R S – C S

R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

2 M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

M ’

M ’

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L EE

LL

AA

SS

TT

II

CC

II

TT

ÀÀ

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L E L

A S

T I

C I

T À

S

S

T

A T

I C

A D

E

I S

I S

T

E

M

I C

O N T

I N

U I

T

A T

I C

A D

E

I S

I S

T

E

M

I C

O N T

I N

U I

C

a p i

t o l

o 2 .

R (

2

. 1 )

R (

2

. 1 )

EE

LL

A

Z II

O N II C

O N L E C

O M P

O N E N T II S

P

E C

II

A

L II II

N C

O N D II

Z II

O N II S

T A

T II

C

H E

A

Z O N C

O N L E C

O M P

O N E N T S

P

E C A

L N C

O N D Z O N S

T A

T C

H E

E L A

Z I O N I C

O N L E C

O M P

O N E N T I S

P

E C

I A

L I I N C

O N D I Z I O N I S

T A

T I C

H E

In un continuo in equilibrio C, riferito ad una terna cartesiana 0(x , x , x ), consideriamo una porzione C*

1 2 3

comunque presa e connessa di volume V* limitata da una superficie ω (che può anche essere composta da

più superfici). Su C* agiscono forze di volume di intensità (x , x , x ) e forze di superficie la cui intensità è

f 1 2 3

data dalla tensione nei punti di ω interni a C e dalla pressione nei punti di ω sulla frontiera. Indichiamo

t p

con F ed F le proiezioni sull’asse x delle forze rispettivamente di volume e di superficie agenti su C*:

1 1 1

v s ( )

ω ω

∫ ∫ ∫

= = = + +

F f dV ; F t d t n t n t n d

v

1 1 s 1 n

1 11 1 21 2 31 3

ω ω

V *

Per l’ultima uguaglianza si è usata la relazione di Cauchy. Trasformando F in integrale di volume (con la

1

s

formula di Gauss generalizzata), e imponendo la condizione di equilibrio alla traslazione di C*, si ha:

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

   

t t

t t t t

∫ ∫

= + + + + + =

⇒

31 31

11 21 11 21

   

F dV f dV 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

s

1 1

x x x x x x

   

V * V *

1 2 3 1 2 3

Per l’equilibrio, l’equazione precedente deve verificarsi qualunque sia la porzione di corpo V* considerata.

Pertanto, affinché la nullità dell’integrale sia vera per qualsiasi volume di integrazione, deve essere nulla la

funzione integranda, e ciò deve valere per tutti gli assi. Scriviamo allora le equazioni anche per x e x :

2 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

t t t t t t t t t

+ + + = + + + = + + + =

31 32 13 23 33

11 21 12 22

f f f

0 ; 0 ; 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 2 3

x x x x x x x x x

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Le precedenti, che legano componenti speciali di tensione e intensità delle forze di volume, sono dette

o poiché devono essere soddisfatte in ogni punto di C.

equazioni di Navier equazioni indefinite d