Meccanica del continuo: Appunti di Scienza costruzioni

S I G

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

M ’

M ’

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L EE

LL

AA

SS

TT

II

CC

II

TT

ÀÀ

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L E L

A S

T I

C I

T À

I

I

L C

O N T

I

N

U O D

E F

O

R

M A B

I L

E

L C

O N T

I

N

U O D

E F

O

R

M A B

I L

E

C

a p i

t o l

o 1 .

I (

1 . 1 )

I (

1 . 1 )

LL CC

O R

P

O C

O N T II

N U

O

O R

P

O C

O N T N U

O

L C

O R

P

O C

O N T I N U

O

Per intendiamo una regione dello spazio delimitata da una o più superfici chiuse (frontiera o

corpo continuo V

con normale definita in ogni punto tranne al più in un insieme di punti di misura nulla, nella quale

contorno)

è diffusa con continuità della massa. Sia ∆V un elemento comunque scelto e comunque piccolo contenente il

generico punto P e ∆m la massa in esso contenuto. Si definisce il limite:

densità di massa volumetrica nel punto P

∆  

m dm

µ = =

lim  

∆

( P )  

∆ → V dV

V P P

Se la densità è costante M = In modo analogo si possono definire le densità di massa e

μV. superficiale lineare.

Indichiamo con C un generico corpo continuo e con S la superficie costituente il contorno. Chiameremo

punti di contorno i punti di C su S, e punti interni gli altri. Le forze esterne agenti sul corpo si distinguono in

e e queste ultime, a loro volta, in concentrate e distribuite. Le prime agiscono su

forze di volume di superficie,

elementi di volume del sistema, e pertanto possiamo calcolare l’intensità in un punto P:

della forza di volume

∆  

F dF N

= = =

 

 

f lim f

 

∆ ( P )

( P ) 3

∆ → m

V dV

 

V P P

Se si riferisce il corpo ad una terna cartesiana triortogonale destrorsa, le componenti rispettive di si

f

f i (P)

calcolano come = dF / dV. Con le forze di volume possiamo definire le forze di massa, cioè quelle che

f i i

agiscono sull’elemento di massa che compete al generico elemento di volume. L’intensità è:

della forza di massa

 

 

dF dF 1 N

= = = =

 

mP   mP

 

f f f

 

 

µ µ

( ) ( P ) ( ) kg

dm dV

   

( P ) ( P )

P P

Le forze esterne di superficie sono dovute al contatto con altri corpi e si esercitano attraverso gli elementi

superficiali che delimitano il corpo stesso. Considerando un punto Q generico appartenente al contorno, si

definisce nel punto Q o il seguente limite:

intensità superficiale del carico pressione superficiale

∆  

F dF N

= = =

 

 

p lim p

 

∆

( Q ) ( Q ) 2

∆ → m

S dS

 

S Q Q

Se per qualche linea ∆ℓ del contorno si verifica che su ogni elemento di essa agisce una forza, si dice allora

che ∆ℓ è una linea di carico della frontiera S. Se T è un punto contenuto in ∆ℓ, il carico che agisce sulla linea è

definito dal vettore che in T vale:

intensità lineare del carico, ∆  

F dF N

= = =

 

 

q lim q

 

∆ ( T )

( T ) ∆ → m

ℓ ℓ

d

 

ℓ T T

Se infine in un punto R del contorno, per un elemento ∆S che lo contiene, la forza su di esso agente ha

F

intensità finita, e tale si mantiene se ∆S R, si dice che in R è applicata una forza concentrata .

R

V (

1 . 2 )

V (

1 . 2 )

EE

TT

TT

O R

E T E N S

II

O N E

O R

E T E N S O N E

E T T O R

E T E N S

I O N E

Per comprendere come si manifesta lo stato di costrizione interna in un continuo C sottoposto all’azione di

forze esterne, isoliamo una qualunque porzione A di C, delimitata da una superficie ω, e chiamiamo B la

F F

restante parte. Se ed sono le risultanti delle forze che agiscono rispettivamente su A e su B, e C è in

A B

F F

equilibrio, allora ed sono direttamente opposte. Se si effettua un taglio tale da dividere A e B, entrambe

A B S S

le parti si mettono in moto. Ma se su entrambi i corpi applichiamo le azioni interne ed che si

AB BA

{ }

trasmettono A e B attraverso ω, allora sono in equilibrio, e sarà: . Sia ∆ω

= − = = − n

∼

F , F 0 ; S S F F

A B BA AB B A

un elemento della superficie ω, con baricentro P e versore normale orientato verso l’esterno di A.

n

Indichiamo con ∆F la forza di direzione definita e con ∆M la coppia di asse momento definito che,

n n

attraverso ∆ω B trasmette ad A. Se ammettiamo che al tendere a zero di ∆ω , anche le due quantità di cui

n, n

sopra tendano a zero, allora esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali rispettivamente della forza e del

momento con l’area ∆ω . Se in particolare il secondo è nullo (principio di Cauchy), l’effetto di B su A si

n ω

∀ ∈ :

riduce ad una distribuzione sull’intera area ω del che nel caso più generale è diverso

vettore tensione, P

∆Μ ∆  

  N

F dF =

= = =  

n n n

 

  t

lim 0 t lim  

ω ω ω

∆ ∆ n ( P )

n ( P ) 2

ω ω

→ → m

d

   

△ △

P P

n n

n n n

R S – C S

R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA 1

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

M ’

M ’

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L EE

LL

AA

SS

TT

II

CC

II

TT

ÀÀ

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L E L

A S

T I

C I

T À

In generale il vettore tensione è funzione del punto P, dell’azione che B trasmette ad A, e della giacitura del

piano tangente a dω (che dipende da come si effettua il taglio). Pertanto con si indica il vettore tensione

t

n n

che agisce, in un determinato punto, sull’elemento piano di normale Se riferiamo il corpo ad una terna

n.

cartesiana 0(x , x , x ), possiamo associare al vettore tensione un secondo indice che identifichi le componenti

1 2 3

cartesiane del vettore stesso secondo quella terna; se β è l’ coseno direttore, si ha che:

i-esimo

i

β β β

= = =

t t ; t t ; t t

n

1 n 1 n 2 n 2 n 3 n 3

indica pertanto la componente del vettore secondo la normale e prende il nome di ,

n

t tensione normale σ

nn n

mentre la componente , secondo la retta intersezione del piano di ed con il piano di dω prende il

t n

t t,

nt n n

nome di . Così definita la tensione, una qualunque regione A di C, su cui consideriamo

tensione tangenziale τ

nt

applicate sia le forze esterne (di volume e di superficie) che quelle superficiali interne originate dai vettori

tensione, può essere trattata come un unico corpo isolato soggetto a date forze esterne. Sia 0(x , x , x ) una

1 2 3

terna cartesiana di riferimento. Immaginiamo ora di tagliare un corpo secondo 3 piani passanti per un punto

x x x

P, ciascuno parallelo ad uno dei piani coordinati (ad esempio il piano generato da e e di normale ),

1 2 3

x x

per i quali avremo tre vettori tensione. Se è il vettore avente come normale l’asse , l’asse e l’asse

t t t

1 1 2 2 3

x , allora possiamo definire nove componenti (3 per ciascuno), chiamate in P:

componenti speciali di tensione

3 σ σ σ

  

t ( ) componente normale t ( ) componente normale t ( ) compo

nente normale

11 1 22 2 33 3

  

τ τ τ

  

ˆ ˆ ˆ

t : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x ; t : t ( ) tangenziale secondo x

1 12 12 2 2 21 21 1 3 32 32 2

  

τ τ τ

ˆ ˆ ˆ

t ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x t ( ) tangenziale secondo x

  

13 13 3 23 23 3 31 31 1

Si attribuisce segno positivo alle componenti concordi con la direzione dei rispettivi assi. Dunque, per come

sono stati scelti gli assi coordinati (concordi a loro volta con e dunque uscenti dal corpo), le tre tensioni

n,

normali sono positive se rappresentano uno sforzo di trazione. Usualmente si rappresentano le componenti

speciali di tensione del generico punto P di un continuo C come agenti sulle facce di un parallelepipedo

dell’intorno di P parallele ai piani coordinati, da intendersi come elementi piani passanti tutte per P, e di cui

P è il baricentro. Per le tensioni vale il

principio di azione e reazione: “considerato

un generico elemento superficiale interno al

corpo, sulle due facce di esso, cui competono

normali opposte, agiscono sempre due tensioni

Se, per evidenziare le

uguale e contrarie”.

tensioni interne, immaginiamo di tagliare

idealmente un corpo in due parti, sulle

due superfici di taglio le tensioni sono,

punto per punto, uguali e opposte.

R C (

1 . 3 )

R C (

1 . 3 )

EE

LL

A

Z II

O N E D II A

U

C

H Y

A

Z O N E D A

U

C

H Y

E L A

Z I O N E D I A

U

C

H Y

Consideriamo un punto P appartenente a

un continuo C, e costruiamo per esso le

componenti speciali di tensione secondo

, x , x ). Assegniamo la giacitura di P definendo per un’area dω che lo contiene la

una terna cartesiana 0(x 1 2 3

sua normale e supponiamo di conoscere i suoi coseni direttori , ed rispetto agli assi coordinati. Se

n n n n

1 2 3

prendiamo un volume ∆V comunque piccolo racchiuso da più superfici chiuse ciascuna parallela a uno degli

assi coordinati e contenente P, nell’ipotesi che C sia in equilibrio, la somma delle componenti delle forze

agenti secondo gli assi coordinati deve essere nulla. Sul volume considerato agiscono le forze esterne di

volume, e le tensioni sulle facce del contorno, che rappresentano le forze che il resto di C esercita su ∆V.

Facendo tendere ∆V a P, il termine contenente le forze di volume si annulla e rimangono definite le seguenti

relazioni, esprimibili secondo un’unica legge vettoriale nota come relazione di Cauchy:

= + + = + + = + + → = + +

t t n t n t n ; t t n t n t n ; t t n t n t n t t n t n t n

n

1 11 1 21 2 31 3 n 2 12 1 22 2 32 3 n 3 13 1 23 2 33 3 n 1 1 2 2 3 3

Pertanto: “lo stato tensionale in un punto è pienamente individuato se in quel punto si conoscono le componenti

speciali di tensione, potendosi esprimere tramite queste le componenti cartesiane della tensione su qualsiasi elemento

piano di assegnata giacitura”. R S – C S

R S – C S

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

2 M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

S I G

S I G

CC

II

EE

NN

ZZ

AA DD

EE

LL

LL

EE CC

OO

SS

TT

RR

UU

ZZ

II

OO

NN

II PP

EE

RR NN

GG

EE

GG

NN

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

C I

E N

Z A D

E L

L

E C O S

T R U Z I

O N I P

E R N G

E G N

E R I

A E S

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O N

A L

E

M ’

M ’

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L EE

LL

AA

SS

TT

II

CC

II

TT

ÀÀ

E C C A N

I

C A D

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T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L

E C C A N

I

C A D

E L C O N

T I N

U O E T E O R I

A D

E L

L E L

A S

T I

C I

T À

S

S

T

A T

I C

A D

E

I S

I S

T

E

M

I C

O N T

I N

U I

T

A T

I C

A D

E

I S

I S

T

E

M

I C

O N T

I N

U I

C

a p i

t o l

o 2 .

R (

2

. 1 )

R (

2

. 1 )

EE

LL

A

Z II

O N II C

O N L E C

O M P

O N E N T II S

P

E C

II

A

L II II

N C

O N D II

Z II

O N II S

T A

T II

C

H E

A

Z O N C

O N L E C

O M P

O N E N T S

P

E C A

L N C

O N D Z O N S

T A

T C

H E

E L A

Z I O N I C

O N L E C

O M P

O N E N T I S

P

E C

I A

L I I N C

O N D I Z I O N I S

T A

T I C

H E

In un continuo in equilibrio C, riferito ad una terna cartesiana 0(x , x , x ), consideriamo una porzione C*

1 2 3

comunque presa e connessa di volume V* limitata da una superficie ω (che può anche essere composta da

più superfici). Su C* agiscono forze di volume di intensità (x , x , x ) e forze di superficie la cui intensità è

f 1 2 3

data dalla tensione nei punti di ω interni a C e dalla pressione nei punti di ω sulla frontiera. Indichiamo

t p

con F ed F le proiezioni sull’asse x delle forze rispettivamente di volume e di superficie agenti su C*:

1 1 1

v s ( )

ω ω

∫ ∫ ∫

= = = + +

F f dV ; F t d t n t n t n d

v

1 1 s 1 n

1 11 1 21 2 31 3

ω ω

V *

Per l’ultima uguaglianza si è usata la relazione di Cauchy. Trasformando F in integrale di volume (con la

1

s

formula di Gauss generalizzata), e imponendo la condizione di equilibrio alla traslazione di C*, si ha:

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

   

t t

t t t t

∫ ∫

= + + + + + =

⇒

31 31

11 21 11 21

   

F dV f dV 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

s

1 1

x x x x x x

   

V * V *

1 2 3 1 2 3

Per l’equilibrio, l’equazione precedente deve verificarsi qualunque sia la porzione di corpo V* considerata.

Pertanto, affinché la nullità dell’integrale sia vera per qualsiasi volume di integrazione, deve essere nulla la

funzione integranda, e ciò deve valere per tutti gli assi. Scriviamo allora le equazioni anche per x e x :

2 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

t t t t t t t t t

+ + + = + + + = + + + =

31 32 13 23 33

11 21 12 22

f f f

0 ; 0 ; 0

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 2 3

x x x x x x x x x

1 2 3 1 2 3 1 2 3

Le precedenti, che legano componenti speciali di tensione e intensità delle forze di volume, sono dette

o poiché devono essere soddisfatte in ogni punto di C.

equazioni di Navie