Meccanica del continuo

Teoria dei grandi spostamenti

In tre dimensioni si perde la linearità e la matematica diventa più difficile; dobbiamo essere più precisi.

Cinematica in grandi spostamenti

Spazio euclideo (fatto di punti) annovvero uno spazio vettoriale che, presi due punti, mi associa un vettore. Corpo tridimensionale in cui la superficie deve essere il più possibile regolare (per avere rigidità) (non complessa). Nelle volute non ho mai angoli nulli con un angolo θ. Per questi domini salta il teorema della divergenza.

Dobbiamo distinguere tra estensione iniziale e finale: configurazione di riferimento C_r e configurazione deformata (o attuale) C_d, C₂. Dobbiamo tenere separate queste configurazioni, non possiamo confonderle come in scienza.

Non si può fare fondamento suggeriti spostamenti (si basa sulle configurazioni di riferimento C_r). Ci riferiamo al piazzamento o posizione (dove sta il punto q, immagine di p):

f: ℝ³ → ℝ³

Ω = C_r

f(p) = C₂

q = f(p).

Dobbiamo ammettere che hanno due sistemi di riferimento diversi.

Σ(p) = q - p = Λ(p) - p ∈ V (vettore). Non possiamo più lasciare i miei disegni. Io, due configurazioni, devono avere le stesse proprietà. Devono essere iniettiva (o invertibile), continua, derivabile (come in scienza).

Nessun'azione non iniettiva ≡ situazione in cui si fondono insieme → non ho estensione, ovvero significa che ∇f deve essere invertibile (invertibile). Per essere invertibile deve essere det ∇f ≠ 0. Mi serve anche che sia det ∇f > 0.

Teoria dei grandi spostamenti

Si perde la linearità e la matematica diventa più difficile; dobbiamo essere più precisi.

Cinematica in grandi spostamenti

Spazi euclidei (fatti di punti). Consideriamo uno spazio vettoriale che presi alcuni punti mi associa un settore con corpo tridimensionali in cui la superficie deve essere il più possibile regolare (può avere spigoli ma nelle volte non ho mai angoli nulli con un angolo θ). Per questi domini salto il teorema della divergenza.

Dobbiamo distinguere tra estensione iniziale e finale: conformazione di riferimento C.R., conformazione deformata (o attuale) C.D., C.A.. Dobbiamo tenerle separate, non possiamo confonderle come in cinerza.

Non si può fare fondamenta negli spostamenti (si basa nella C.R.). Ci riferiamo al piazzamento o posizione (dove sta il punto q immagine di p):

f: ℝ³ → ℝ³

Ω = C.R.

ω = C.A.

f(p_k) = c e q_k = f(p_k).

Dobbiamo ammettere che hanno due sistemi di riferimento diversi.

Σ(p) = q - p = f(p) - p ∈ V vettore. Le due configurazioni devono avere la stessa proprietà: dev'essere invertibile (o irriducibile), continua, derivabile (come in cinerza).

Una situazione non invertibile = θ in cui si fondere insieme → non le regaliamo → gradiente. Ovvero significa che ∇f deve essere invertibile. Per essere invertibile deve essere det ∇f ≠ 0. Noi vogliamo pure che sia det ∇f > 0.

Preso un punto P₁ vicino a P, in un intorno di P₁, non ho più però la perturbazione. qq' = f(P₁), preso dei vettori V, preso dei vettori V¹, q' = f(P₁).

q' = f(P₁) (ridisegnato in stile di Zampoli).

q' - q = f(P₁) + ∇f(P)(P₁ - P) + ⋯ = q + F(P)(P₁ - P) + ⋯

Gradiente di deformazione

F = ∇f ⇒ preso un vettore se mi restituisce un vettore.

q' - q = F(P₁ - P) + ⋯ (x fosse un corpo rigido sarebbe l'identità). Ho linearizzato perché ho guardato nell'intorno del punto. F trasforma vettori vettorializzato spazio. È un'applicazione lineare ma non un tensore.

F = dφ_P : V( P) → V₁( P₁). Preciso che ho spazi vettoriali diversi, come i vettori di riferimento. Proprietà dei vettori a ⋅ A b = b ⋅ A^T a2 ⋅ F b = b ⋅ F^T ab ∈ V¹, che potrà fare riga x colonna F b ∈ V¹, a ∈ V¹ perché può fare un prodotto scalare.