Meccanica del continuo

TEORIA DEI GRANDI SPOSTAMENTI (in tre dimensioni)

CINEMATICA IN GRANDI SPOSTAMENTI

quasi euclidea (fatta di punti)

per questo dobbiamo usare il teorema della divergenza

Dobbiamo distinguere tra configurazione iniziale e finale

• configurazione di riferimento C_r
• configurazione deformata (o attuale) C_d

Dobbiamo tenerle separate, non possiamo confonderle come in scienza

Non si può fare fondamentale negli spostamenti (si basa sulla C_r)

Ci riferiamo al PIAZZAMENTO o POSIZIONE (dove sta il punto q, immagine di p)

f: ℝ³ → ℝ³

dobbiamo ammettere che hanno due sistemi di riferimento diversi

S(p) = q - p = f(p) - p ∈ V

Le due configurazioni devono avere le stesse proprietà:

• devono essere iniettiva (o invertibile), continua, derivabile (come in ricerca)
• una situazione non iniettiva ⇔ 8 in cui si possono sovrapporre

ovvero significa che ∇f deve essere invertibile

• per essere invertibile deve essere det ∇f ≠ 0
• noi vogliamo pure che sia det ∇f > 0

perciò un punto P¹ vicino a P₀ in un intorno di P₀ non lo puoi espandere esplicitamente q¹ = f (p¹) quanto

come distorsione di q = f (p)

q¹ = f (p¹) = f (p) + ∇f (p) (p¹ − p) + .....

F = ∇f GRADIENTE DI DEFORMAZIONE

(visto dei vettori v)

(vettore di Taylor)

perciò un vettore si mi notazione un vettore

ho linearizzato quando ho guardato nell'intorno del punto

q¹ − q = E (p¹ − p) + ....

se fosse un corpo rigido sarebbe l'identità

vincolare vettori vettore sposto

F = ∇f = V(q₁) − V(p₁)

se un'applicazione lineare ma non un tensore perché non sposti vettoriali diversi; come i vettori di riferimento

λ · A^T b = b · A^T λ

proprietà dei vettori

λ₁ · F b = b · F^T λ₂

b ∈ V per poter fare righe x colonna

F b ∈ V^'

δ ∈ V^' perché puoi fare un prodotto scalare diverso sulla delle stesse sposto

F porta i vettori in V; per portarli in V^'

F porta i vettori in V^'; per portarli in V

F^T: V^' → V

la trasposta di F perché vettori in V^' e li porta in V come lineare F⁻¹ ma non surrogante

C = F^T F tensore destro di Cauchy-Green

E = E F tensore sinistro di Cauchy-Green

C : V → V

∈ un tensore sulla configurazione di partenza

B: V^' → V^'

∈ un tensore sulla configurazione deformata

Variazione di area

ΔA_n = ^{A_f - A_i} / _Ai

per definizione e normale all'area

n per definizione e normale all'area

e₁ x e₂

n = Fe₁ x Fe₂ / |Fe₁ x Fe₂|

n = Fe₁ x Fe₂ = A_f n

A_i = |e₁ x e₂|

A_f = |Fe₁ x Fe₂|

F^-1(det F)F^-T

A_f = |F^-1(e₁ x e₂)|

Formula di Nanson

A_f n = A_i F^* m_R

n = A_f F^-1 m_R

(F^* = (det F)F^-T)

ΔA_n = ^{|F e₁₁|} - 1

|e₁ x e₂|

STATICA

in grandi sportanti, parliamo di forze

separabili nelle configurazioni deformate, per il resto è come in scienza

esterne solo forze di volume (le forze peso, centrifuge...)

Non esistono forze concentrate

SISTEMA DI FORZE

• F_b(b)forze densità esterne (dati)
• F_t(m)forze di superficie(fori e contatti)
• ∑(q, m)interne (incognite)

in connessione con ton (forniti)

quando una parte del dominio Π e la sua funzione f(Π) (con forza integrale)

γ(p, l) = ∫∫∫[b(p)]dV + ∫∫_∂f(π)