Meccanica dei materiali avanzati

Tensore delle tensioni

τ = σ · n

σ = τ · n   Tensione normale

τ² = |V|² = σ²   Tensione taglio

σ_x σ_xy σ_xz m_x σ_xy σ_y σ_yz m_y σ_xz σ_yz σ_z m_z

Simmetria tensore delle tensioni

σ_zy τ = σ · n

m₁ = 1 0

m₂ = 0 1

m₃ = 0 1

Ĉ^* =   α_xy α_yd dy - σ_xy dy dz = 0 → σ_xy = σ_yx

Tensioni Principali

ⁱ_j = [ ^σ_x   ^τ_xy   ^τ_xz ^τ_xy   ^σ_y   ^τ_yz ^τ_xz   ^τ_yz   ^σ_z ]

^'_i = ^Q_ji ^{• i}_j «^QT‹

Matrice di Trasformazione

Q = [ ^l_x   ^l_y   ^l_z ^m_x   ^m_y   ^m_z ⁿ_x   ⁿ_y   ⁿ_z ]

{^σ} = [ ^σ₁   0   0 0   ^σ₂   0 0   0   ^σ₃ ]

Valori max e min

Tensione Idrostatica

^σ_m = ¹/₃ ^σ_kk Tensione Idrostatica

^σ_ij - ¹/₃ ^δ_ij Tensore Devatorico

^σ_m = ^σ_x + ^σ_y + ^σ_z ^/3 dove ^σ_kk è la traccia di δ

Invariante Tensore Delle Tensioni

[^σ_x   ^τ_xy   ^τ_xz ^τ_xy   ^σ_y   ^τ_yz ^τ_xz   ^τ_yz   ^σ_z ] = [ ^σ_m   0   0 0   ^σ_m   0 0   0   ^σ_m ] [ ^σ_x - ^σ_m   ^τ_xy   ^τ_xz ^τ_xy   ^σ_y - ^σ_m   ^τ_yz ^τ_xz   ^τ_yz   ^σ_z - ^σ_m ]

Tens. Idrostatica

Tensore Devatorico

Plane Stress

\[ \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} \]

G = \(\frac{E}{2(1+\nu)}\) \quad shear modulus

\(\gamma_x = \gamma_y = \gamma_z = 0\)

\(\epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(d_x+d_y)\)

Plane Strain

\(\epsilon_z = \gamma_{yt} = \gamma_{xz} = 0\)

\[ \begin{bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1-\nu^2}{E} & \frac{\nu(1+\nu)}{E} & 0 \\ \frac{\nu(1+\nu)}{E} & \frac{1-\nu^2}{E} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_x \\ d_y \\ \tau_{xy}\end{bmatrix} \]

\(\gamma_z = \gamma_xz = \gamma_yz = 0\)

\(\sigma_z = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\epsilon_x + \epsilon_y)\)

Misure di Deformazione

_{Green Strain}   E_G = ¹/₂ (F^TF - I) = ¹/₂ (C - I) = ¹/₂ (U² - I)

_{Hencky, True Strain}   E_H = ln U = ¹/₂ ln C

_{Small, Engineering Strain}   E_ing = ¹/₂ (F_iF_i^t - I)

Green Strain Tensor

E = ¹/₂ (F^TF - I)   Def. Ingegneristica   Termine Quadratico

E_ij = ¹/₂ (u_ij + u_ji + u_i^ku_k^r)

E_ij = ¹/₂ (F_{k^x Fk^t - δij) • [ ¹/2 (δki + uki)(δkj + ukj) - δij] = ¹/2 [ (δki + uki) (δkj + ukj) + ukj + ukj + uki ukj - δij ]}

Cauchy (True Stress)

In grandi deformazioni la definizione della tensione non cambia, semplicemente la stress è definita nella configurazione deformata

Sperimentalmente solo la deformazione può essere misurata.

Modelli Con Incrudimento Esponenziale (Voce Law)

σ = σ₀ + A_∞ [1 - e^-c(ε-ε₀)] + A_∞ ε_p

• 4 parametri: σ₀, A, b, A_∞

Se ε=0 → σ=σ₀

Se ε → ∞ → σ=σ_∞ + A_∞ + A_∞ε_p

Costante

Collasso Plastico

σ(ε)↑ incrudimento → A(ε)

F = G₀A = σ(ε): A(ε)

dF=0 → d(σ: A) = σdA + dA: σ

= dσ: A₀/ε + σ₀( βσ/ε²) - σ₀ A_∞/ε₂ = 0 A_∞ ε^-ε → 2

de

^dL/_de = 0

Condizione Di Collasso Plastico

J2 Plasticity in Plane Stress

_√J = √₃/²(/_√σ₁σ₂ - 1/√₃σ_kk)

√₃/²(σ_xx² + σ_yy² + 2σ_xy^{2) - 1/2(σ_xx + σ_yy)}

= √2/(σ_xx² + σ_yy² + σ_kk^{2) + 3σ_xy2}

R-value (Plasticità Anisotropa)

R = ∂ε^p_trasversale/∂ε^p_spessore = ∂ε / (∂ε^p + ∂ε_xx)

_indice di flusso plastico

dε_equ = dε_yy

dε_tot = δε_xx = 1/²_dy

dε_s = dε_xx = 1/^{2 σε}

dε_tot = dε_tot ≠ 0

Indice Anisotropia Normale

R_m = 1/² (R_o + 2R₄₅ + R₉₀) = 0

∆R = (R_o + 2R₄₅ + R₉₀) - R

Indice Anisotropia Piana

Modelli Anisotropi

• Hill 48 (3 parametri)
• Yld2000-02 (8 parametri)