Appunti Meccanica dei Materiali Avanzati

NOTAZIONE

Utilizzeremo tre tipologie di notazioni, ognuna in particolari ambiti e con propri pregi e difetti.

notazione diretta

La prevede uno scalare con lettere minuscole, un vettore con lettere minuscole in grassetto

(oppure lette minuscole segnate in basso) e il tensore con lettere maiuscole e grassetto (oppure lettere

maiuscole con doppio segno sotto)

notazione indiciale

La è anche detta di Einstein, dove gli scalari sono numeri semplici, i vettori avranno un

indice posto a destra e i tensori avranno due indici che rappresentano le direzioni (o i parametri con cui

descrivo il mio sistema).

notazione matriciale

La dove scriviamo tutto sotto forma di matrici, lo scalare è una matrice 1x1, il vettore è

3x1 mentre il tensore è 3x3. (la utilizzeremo in MatLab)

VETTORI NELLO SPAZIO

CARTEIANO

Un vettore a nello spazio può

essere descritto tramite la

somma vettoriale delle sue

componenti

PRODOTTO SCALARE (DOT

PRODUCT)

Dati due vettori, il loro

prodotto scalare è uno

scalare

Alla base della notazione indiciale posso scrivere il prodotto scalare, quindi il prodotto tra tutte le

componenti come (in notazione di Einstein) che corrisponderebbe alla sommatoria del prodotto tra le

componenti con stesso indice.

Seguendo la notazione di Einstein devo andare a fare la somma di tutti i prodotti aventi fattori a stesso

indice.

TENSORI

Il tensore è di fatto una trasformazione lineare che mi trasforma un vettore in un altro vettore. In questo

caso A mi trasforma un vettore v in uno w.

→ →

Seguendo la notazione di Einstein se volessi cercare l’indice x di w: (non è altro che il prodotto riga per

colonna)

La somma tra matrici prevede la somma componente per componente

Il prodotto è dove il è l’indice mobile, ad esempio:

(il prodotto tra tensori non è commutativo quindi A B è diverso da B A)

→ !" #$%& '( $ rappresenta l’elemento

In notazione indiciale indico la matrice identità come

della matrice identità dove è uguale ad 1 se gli indici sono uguali, mentre è 0 se gli indici sono diversi.

) ) *

In una matrice simmetrica, la sua trasposta coincide con la matrice di partenza

+ -

∙ ∙

* * *

Il prodotto non è simmetrico + - + -

./ * * ./

Trasporre e invertire è commutativo:

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE e ROTAZIONE

Consideriamo un qualsiasi vettore nel piano cartesiano, cambiando il sistema di riferimento, il vettore sarà

identificato tramite componenti diverse. Matematicamente per far questo si utilizza la matrice di

trasformazione Q. 1∙

0

Quando ruoto il vettore invece il sistema di riferimento è sempre lo stesso, non utilizzerò più la matrice di

trasformazione ma la matrice rotazione R. 2 3∙

Quando trasformo il sistema di coordinate un tensore, in questo caso non va unicamente moltiplicato per la

1 ∙ ∙ 1

0 *

matrice di trasformazione ma anche per la sua trasposta

4 1 1

1 ∙ 1 * * ./

ricordando che:

matrice di trasformazione

La la posso vedere come le componenti dei nuovi versori rispetto il sistema

iniziale: ′

infatti, nel sistema di riferimento iniziale avrà delle componenti in direzione x, y e x che rappresentano

proprio la riga della matrice di trasformazione. ′ 0 0

7 ′ 7 ′ 7 ′

1 6 8

′ ′ ′

matrice rotazione R:

Analogamente per la 9 3∙ ∙ 3 *

3 ∙ 3 4 3 3

* * ./

ricordando che

In questo caso devo immaginare che ogni versore ruota allo stesso modo del vettore e scrivere le

componenti sulle colonne e non più sulle righe: >

;

< =

< >

;

< =

<

3 : ?

>

;

< =

<

La differenza tra matrice di trasformazione e rotazione è che in un caso le componenti ruotate le mettiamo

nelle righe mentre nell’altro caso nelle colonne. Quindi “a parità di rotazione” la matrice di rotazione non è

altro che la trasposta della matrice di trasformazione

3 1 * @ AB

determinante

Posso scrivere il di una matrice in maniera indiciale tramite il simbolo di LEVI – CIVITA

che è pari ad 1 in caso di permutazione positiva (xyz o zxy o yzx) mentre vale -1 quando si ha una

permutazione negativa (zyx xzy yxz), in tutti gli altri casi vale 0.

@ C C C

AB D AE BF

Il notazione indiciale si ha: C

traccia

La in maniera indiciale può essere scritta come

il determinante e la traccia di A sono degli invarianti

C G ⋯

prodotto scalare (double dot product)

Il è la sommatoria dei prodotti membro a membro, in maniera

A A

indiciale può essere scritto come

TENSIONE E DEFORMAZIONE

TENSIONE

La tensione rappresenta le azioni interne esercitate in un punto all'interno di un corpo. Dato un punto P

all’interno del corpo ci chiediamo lo stato di sollecitazione interno.

La tensione dipende dalla direzione, quindi, non può essere descritta solo da

uno scalare.

Dato un corpo generico tagliato con un piano con normale il vettore della

⃗

tensione dipenderà dal piano di taglio. Per generalizzare utilizziamo il

concetto di tensore, che se moltiplicato per la normale del piano di taglio,

fornisce il vettore tensione in quel punto.

TENSORE DELLE TENSIONI

Prendendo un’area infinitesima attorno al

punto P (quindi facendo dei tagli) il tensore

della tensione sarà quello rappresentato in

figura. In notazione indiciale:

, , ,

Ogni vettore tensione verrà scomposto lungo

la direzione normale al piano e lungo il piano,

ottenendo rispettivamente le (sforzi

normali) e le (sforzi di taglio).

(l’equilibrio va sempre rispettato sia delle forze che dei

momenti)

Per calcolarmi lo scalare della componete normale della

tensione rispetto al piano di taglio basta fare:

⃗∙

Mentre per la componente tangenziale posso sfruttare il

teorema di Pitagora: ⃗

TENSIONI PRINCIPALI

Le direzioni principali (1,2,3) sono le direzioni lungo le quali non ci sono sforzi di taglio; quindi, dove le tensioni

normali raggiungono il loro valore massimo e minimo.

Non sono nient’altro che gli autovalori

del tensore delle tensioni.

Tale sistema si trova semplicemente

ruotando quello iniziale, quindi

applicando una trasformazione di

rotazione.

TENSIONE IDROSTATICA

Si chiama idrostatica poiché una sfera

sott’acqua ha tensione uguale in tutti i punti

ed ha solo tensioni normale.

(il meno è dovuto solo al fatto che la

pressione comprime la sfera)

Quindi qualsiasi stato tensionale lo possiamo dividere in una e in una componente

componente idrostatica

detta tensore deviatorico

La tensione idrostatica è data dalla media delle tensioni normali:

3

3

La tensione idrostatica è strettamente legata alla traccia del tensore delle tensioni, ovvero è legata ad un

invariante. Questo ci dice che la tensione idrostatica è indipendente dal sistema di riferimento scelto.

In notazione indiciale la tensione idrostatica è data da: (ovvero 1/3 della somma delle componenti con

stesso indice) 1

3

Mentre la tensione deviatorica sarà data da tutto il tensore meno la tensione idrostatica: (non possiamo

fare la differenza tra un tensore ed uno scalare, per questo moltiplichiamo lo scalare per il delta di

Kronecker) 1 "

! 3

DEFORMAZIONE

La deformazione misura il cambiamento di dimensione o

forma di un corpo soggetto a tensioni Δ/

# → %&'()* +,')-% / 0

Non sempre legato alla variazione di lunghezza, ma anche a

deformazioni di taglio come lo scorrimento angolare.

Δ6

1 → +23)' +,')-% 4 4 /

5 0

Oltre la deformazione, introduciamo il concetto di vettore spostamento, che mi indicherà come si sposterà

ogni punto. 73,,&'3 +8&+,)(3%,& 9

:⃗ 9 ;9 9 9 <

Voglio partire da calcolarmi la deformazione lungo x,

vediamo che prima di tutto il quadrato iniziale si è

spostato di una quantità u. Sovrapponendo la forma

deformata a quella indeformata vediamo che la

differenza tra lunghezza finale e iniziale è data dalla

variazione di u rispetto x, moltiplicata per la dx.

∂u A B9

∂x

= C CDEFCGH H = H =

A B

Troviamo la gamma, basandoci sulla definizione data

precedentemente. Va tenuto conto che lo scorrimento

angola vi è sia per la variazione di v rispetto a x, ma

anche per la variazione di u rispetto a v.

B9

∂v A

A

Δ6 BJ B9 B9 BL BJ BL

B

∂x 1 1

1 / A A B B BK B BK B

0

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI

La deformazione la possiamo mettere sotto forma di tensore simmetrico. La

deformazione di taglio sarà un mezzo dello scorrimento angolare

M M

M

= = =

NO OP

NP In maniera compatta si può scrivere il

Tensore delle deformazioni in maniera indiciale:

B9

1 B9 1

= → E CK E H A T U H 9 9

R S

2 B B 2 , ,

Il pedice i,j significa la derivata parziale rispetto la componente j. 1

1 B9 B9 B9 BJ B9

V W =

= 2 B B B

B B 2

RELAZIONE TENSIONE – DEFORMAZIONE

Il legame più semplice tra tensione e deformazione è quello in campo lineare elastico.

X ∙ Z

Y Y

Essendo il tensore delle tensione 3x3, così come il tensore delle deformazioni, la matrice D dovrà essere

3x3x3x3. Quindi la matrice D è di 81 elementi, ed è un tensore di rango 4. In questo modo la matrice D

sarebbe molto difficile da rappresentare, allora per questo si passa alla dove

VOIGT’S NOTATION,

trasformo i tensori simmetrici di tensione e deformazione in vettori.

⎡ ⎤

∙ ∙ ⎢ ⎥

∙ ⎢ ⎥

\→

[ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(analogamente per il tensore delle deformazioni)

Il vantaggio è che in questo modo al posto di avere un tensore di rango 4, si avrà un tensore di dimensione

6x6. Dove si passa da dover determinare 81 elementi a soli 36. =

⎡ ⎤

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥

⎢ ⎥ =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

;X 6 × 6< 1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 =

(mettiamo piuttosto che sia per una questione fisica, sia perché in questo modo ha la possibilità di

avere il prodotto scalare come il prodotto scalare tra vettori senza dover utilizzare il 2 – il vantaggio è che in

questo modo il prodotto scalare è proprio l’energia elastica)

Questa è una semplificazione, nella realtà la tensione e la deformazione viene rappresentata da un tensore.

Inoltre, la rotazione della tensione o della deformazione non può essere rappresentata in VOIGT’S

NOTATION ma deve essere espressa come operazioni tra matrici.

LEGGE DI HOOKE

Esprime la relazione tensione deformazione in campo elastico lineare. La legge di Hooke nasce

dall’osservazione che tirando un elemento questo non solo si allungherà in direzione di tiro, ma si

restringerà in direzione perpendicolare al carico. In notazione indiciale si ha:

1

= ; 1 e e" <

T

ESEMPIO: 1

# ; e <

T

f 1 e

1

g 1 e 2

2∙= 2 0∙k

i lm T

T n

fh

Mentre la deformazione normale (quella che riguarda accorciamento o allungamento) dipende dagli stati

tensionali in x, y e z la deformazione di taglio (variazione di forma) è influenzata solo dalla corrispettiva

componente di taglio.

Prima andrò a trovare la relazione tra traccia delle deformazione e traccia della tensione

1 2e

1 T

; <

1 e 3e → p =

# T T 1 2e

oo oo

Formula inversa: T eT

= " = 2q= r" =

1 e 1 e 1 2e

T →

• Modulo di Young (Young’s modulus)

e →

• coefficiente di Poisson

n →

• Modulo di taglio (shear modulus)

(non è nient’altro che una riscrittura dei vari parametri in funzione dal modulo di Young e

Costanti di Lame’

di Poisson – questo ci dice che in campo elastico il rapporto tra tensione e deformazione è legato al modulo

di Young e Poisson) T eT 2en

2q 2n → q n s

1 e 1 e 1 2e 1 e

In forma matriciale: (TUTTO QUESTO CHE STIAMO FACENDO VALE PER MATERIALI ISOTROPI)

X X ∙ =)

La matrice è detta o (

MATRICE DI RIGIDEZZA STIFFNESS MATRIX

t t∙

La matrice è detta o (= )

MATRICE DI CEDEVOLEZZA COMPLIANCE MATRIX

= X∙ → = X∙t∙= → t X

uv

Sapendo che X t uv

La relazione tra matrice di rigidezza e cedevolezza è

ESEMPIO:

Dato lo stato di deformazione generico determinare lo stato di

tensione corrispondente considerando come materiale un

acciaio con E = 208 GPa nu= v=0.30

Iniziamo andando a scrivere in Voigt’s notation il tensore della deformazione (attenzione a mettere le

gamma e non le epsilon)

e_vn = [2.5 1.8 0 3 -4 0]’*1e-4

E = 208000; [MPa]

nu=0.30;

Scriviamo la matrice di cedevolezza piuttosto che quella di rigidezza (è indifferente)

C = 1/E * [1 -nu -nu 0 0 0; -nu 1 -nu 0 0 0; -nu -nu 1 0 0 0; ]

BULK MODULUS (K)

È una proprietà dei materiali molto importante e rappresenta il

comportamento del materiale ad una pressione idrostatica, quindi ad

un cambiamento di volume.

Non è altro che il rapporto tra la pressione applicata e la variazione di

volume sul volume iniziale. Il segno – è dovuto al fatto che la

compressione è negativa. x T

w Δy/y 3 1 2e

Dimostrazione D D Δ D = D

Consideriamo il lato indeformato pari ad mentre il lato deformato come

=

D 1 = D 1 = D D D

k1 lD

Δy ≅= = = → =

y D D D

{ |

(abbiamo trascurato gli infinitesimi di ordine superiore)

Partendo dalla relazione tra tensione e deformazione generica

1

= ; 1 e e" <

T

andando a sostituire gli indici kk, si ottiene che il delta di Kronecker è 1 quando ha stessi indici; quindi, dal

momento in cui siamo in notazione indiciale va fatta la somma, e si ottiene:

1 1 2e

; <

= 3e

1 e

T T

Conoscendo la tensione idrostatica come: 1 x

3

Sapendo che: Δy =

y

Andando a sostituire si ottiene che: Δy 3 1 2e x

y T

Si ottiene quindi che il è pari a:

Bulk Modulus x •

~ „…

Δy/y € • ‚ƒ

Guardando la natura che ci circonda sappiamo che questo rapporto deve essere > 0, ovvero che in

condizioni adiabatiche (no esplosioni ecc.) se comprimo il volume deve diminuire.

e 0.5 → w → ∞ ‰Š‹•Œ•ŠŽ• •••‘‰’Œ•‰•“•Ž•

Se ciò significa che aumentando la pressione

o il volume non varierà

e „ 0.5 → w ” 0 •‰’‘•••“•Ž•

Se e ” 0 → w „ 0

o Se I ovvero con Poisson negativo hanno la caratteristica che se

materiali auxetici

o andiamo a tirare il materiale invece di restringersi nelle direzioni perpendicolari si espanderà,

ovviamente nel complessivo dovrà sempre valere K>0

(più basso è il modulo di Young minore è la rigidezza)

•, ƒ 3 ~

VALORI DI PER VARI MATERIALI

La gomma ha un modulo di Young molto basso, dell’ordine dei Mpa, mentre il Bulk Modulus dell’ordine dei

w ≫ T U ℎC ˜ℎH e → 0.5.

1.5-2 Mpa. Dal momento in cui La gomma è un materiale incomprimibile.

Il sughero ha Poisson pari a 0.

La fibra di carbonio ha un modulo di Young simile a quello dei metalli. Non conosciamo per il momento il

Poisson essendo la fibra di carbonio un materiale anisotropo.

L’alluminio ha un Bulk Modulus simile al suo modulo di Young circa 70 GPa, mentre l’acciaio ha un Bulk

Modulus più basso del suo modulo di Young circa 160 GPa (ma di poco).

ES: vediamo effetto di compressione del volume più grande che possiamo ottenere sulla terra. Pensiamo

alle fosse delle Marianne a – 11 000 metri, considerano che ogni 10 m la pressione aumenta di

un’atmosfera (0.1 MPa), quindi nel fondo avremo una pressione di 110 Mpa.

Considerando una gomma (K = 1500 MPa) -> DeltaV/V = 10 %

o Considerando un acciaio (K = 160 000 MPa) -> DeltaV/V = 0.07 %

o

La gomma che è un materiale incomprimibile poiché ha un Poisson di circa 0.5 si comprimerà molto di più

rispetto ad un acciaio che è considerato comprimibile.

perché la gomma si deformerà molto di più rispetto le

La gomma è incomprimibile rispetto le altre direzioni,

altre direzioni piuttosto che rispetto il volume; e che quando l’andiamo a mettere in compressione

volumetrica la gomma si comprimerà molto di più rispetto ad un acciaio.

PLANE STRESS (Stato Piano di Tensione)

Una condizione molto frequente si ha quando le tensioni su un piano (es: z) possono essere considerati

trascurabili.

Sono situazioni molto frequenti poiché ad esempio in componenti con

spessori molto sottili rispetto le altre dimensioni (10 – 100 volte più

piccolo), lo stato tensionale si può approssimare molto bene con uno

stato piano di tensione; un altro esempio sono gli alberi, i quali sono

sottoposti a forze assiali, momenti flettenti e torcenti generando uno

stato tensionale piano.

In Voigt’s notation:

La condizione di plane stress implica siano nulle le tensioni in piano, ciò non significa

che vale lo stesso per le deformazioni, infatti che supponendo di avere uno stato

piano di tensione in x e y, vi sarà comunque una componente z della deformazione

lineare, ma non ci saranno le componenti di scorrimento angolare in z.

A questo punto possiamo rappresentare la condizione di plane

stress in condizione di Voigt’s notation