Appunti Meccanica dei Materiali Avanzati, prof. Rossi

MECCANICA DEI MATERIALI AVANZATI

È molto importante determinare il comportamento meccanico dei materiali, dovuto alla relazione tensione-deformazione ed al danneggiamento, ossia sapere quando il materiale si rompe. Inoltre, è importante conoscere come fare sperimentalmente a determinare il comportamento del materiale, tramite dei test sperimentali.

Riassumiamo i comportamenti principali dei materiali nella tabella seguente:

• CARATTERISTICHE
  • NON LINEARE
  • SISTEMA DISSIPATIVO
  • DIPENDENTE DA STORIA --- RIF. VAR. DI DEF.
  • DEFORMAZIONE RESIDUA
• DEFINIZIONI
  • ELASTICO
  • PLASTICO
  • IPERELASTICO
  • VISCELASTICO
  • VISCOPLASTICO

- Un'altra distinzione che dobbiamo fare è quella tra materiali ISOTROPI ed ANISOTROPI (i primi sono materiali che non dipendono dalla direzione di applicazione del carico, mentre i secondi sono materiali dove il carico è applicato nella direzione delle sue fibre).

Poi vi è la distinzione tra materiali OMOGENEI ed ETEROGENEI: un materiale è omogeneo se le sue caratteristiche sono uguali su tutto il materiale, disomogeneo è eterogeneo. Logicamente tutte queste caratteristiche possono essere combinate tra loro.

Per danno si intende qualsiasi cambiamento in dimensione, forma o proprietà meccaniche di una struttura, macchinario o componente che rende questa incapace di compiere in modo soddisfacente la funzione designata (l'esempio più classico è quello di una deformazione plastica).

Possiamo distinguere il danno in base a diversi argomenti:

• MANIFESTAZIONE DEL DANNO
  • deformazione elastica
  • deformazione plastica
  • rotture
  • cambiamento del materiale (che può essere chimico/metallurgico/...)
• AGENTI CHE INDUCONO IL DANNO
  • forza (tensione, carichi ciclici, carichi transitori dove la forza varia nel tempo)
  • tempo (breve, istantaneo, lungo)
  • temperatura (bassa, ambiente, alta)
  • ambiente relativo (determinato caratteristiche chimiche)
• POSIZIONE DEL DANNO
  • interno
  • superficiale

Abbiamo infatti diverse modalità di danno, come ad esempio la deformazione elastica, lo snervamento, la rottura duttile, la rottura fragile, la fatica oppure LCF, per la corrosione, l'usura, il creep, il rilassamento e il collasso plastico.

Noi andiamo ad analizzare un materiale con una MULTISCALA, ed in particolare ci concentriamo sulla MACROSCALA, dove teniamo conto delle leggi della meccanica del continuo (siamo nell'ordine dei mm/m/s).

Il nostro strumento base sarà la DEFORMAZIONE, sfruttando l'introduzione della DIC: "Digital Image Correlation", e quello meccanico: facendo le misurazioni attraverso cella di carico.

Andremo ad affrontare il discorso della PLASTICITÀ, del Low-Cycle-Fatigue, successivamente tratteremo la MECCANICA DELLA FRATTURA, la quale definisce anche la proposta di fessura che utilizzeremo. Dopo di che passeremo i CONFINI DI CAMPO HELF e poi tutta una parte sulla DINAMICA, attraverso l'uso di pochi profili dell'intero movimento. Questa parte non può essere trascurata. In generale, l'approccio metodologico consiste sempre nel partire con una comprensione fisica del fenomeno.

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

• Supponiamo di prendere un vettore V, scritto in un sistema di coordinate x,y,z. Ruotando il sistema, avranno un nuovo sistema di coordinate e nuovi versori.

V' = Q ⋅ V, dove Q = MATRICE DI TRASFORMAZIONE ed è un tensore con il quale modifichiamo un vettore da un sistema di coordinate ad un altro

A' = Q ⋅ A ⋅ Q^T, dove Q ⋅ Q^T = I e Q^T ⋅ Q = I

Prendendo il versore i_x, è definito come [i_x' i_y' i_z'] per cui la matrice Q possono definirsi come

Q = [i_x' j_x' k_x'] [i_y' j_y' k_y'] [i_z' j_z' k_z']

ROTAZIONE

• La differenza è che nella trasformazione di coordinate si ha lo stesso tensore, mentre qui ruota.

V̅ = R̅ ⋅ V, dove R̅ = MATRICE DI ROTAZIONE

A' = R̅ ⋅ A ⋅ R̅^T dove R^T(θ) = R(-θ)

R = R^-1

R = [I_x J_x K_x]

[I_y J_y K_y]

[I_z J_z K_z]

La deformazione misura il cambiamento di dimensione e di forma di un corpo soggetto a tensioni.

ε = ^ΔL/_L0 = ^L_F-L₀/_L0 (deformazione ingegneristica) [m/m = (adimensionale)] (normal strain)

γ = ^ΔT/_L0 = deformazione di taglio e rappresenta il cambiamento di forma ("shear strain")

Vettore spostamento

Partendo da un parallelepipedo con dx e dy esso si deforma nella figura rossa.

ε_x = ^ΔL/_dx = ^∂u_x/_∂x

ε_y = ^∂v/_∂y

ε_z = ^∂w/_∂z

γ_xy = ^ΔT/_L0 = ^∂u_x/_∂y + ^∂v/_∂x i

γ_xz = ^∂u/_∂z + ^∂w/_∂x

γ_yz = ^∂v/_∂z + ^∂w/_∂y

Possiamo raggruppare il tutto nel tensore delle deformazioni:

...che è simmetrico, e dove ε_xy = ^∂₃X/₂, ε_yz = ^∂₃Y/₂, ε_xz = ^∂₃Z/₂. Nella notazione indiciale scriviamo:

E_ij = 1/2 (^∂u_i/_∂xj + ^∂u_j/_∂xi) = 1/2 (u_x + u_y), vuol dire Δx

...scriviamo al termine principale del nostro studio, ossia il legame tra σ e la deformazione, chiamato anche legge sostitutiva. Se consideriamo il legame lineare euntico avremo:

σ_ij = D_ijkl E_kl

...però si preferisce ottenere la "voight notation" (notazione)

Utilizzando il deformation gradient, possiamo passare dal corpo fi_n al corpo fi₀ seguendo due posizioni distinte:

• deformazione + rotazione
• rotazione + deformazione

Per poter separare queste componenti, è sempre possibile utilizzare la polar decomposition: F = R (U) = V ‧ R, dove R sta per matrice di rotazione, U sta per tensore destro della deformazione e V sta per tensore sinistro della deformazione.

F ‧ F^T = (R ‧ U) ‧ (U ‧ R)^T = U ‧ U^T = U = U²

U e V sono tensori simmetrici e quindi:

• U = U^T e V = V^T

=> U = √C = √(B)     V = √(B)

E_x = traslazione rigida

[grafico]

Funzioni di trasformazione:

• x = X + 0.5
• y = Y + 0.6
• z = Z

Prendiamo un punto X (ogni quadratino vale 1):

• X = [ 4   2   0 ]
• x = [ 4.5   2.6   0 ] (traslato)

[F_ij matrice]

I => traslazione rigidaF = R ‧ U       R = I   U = IF = V ‧ R   R = I   V = I

E_x = rotazione

[grafico]

[F_ij matrice]

[Trigonometria matrice]

C = F ‧ F^T = I     F ‧ F = I   => U = √C = IF = R ‧ U => R = F