Meccanica dei fluidi - secondo esonero

Meccanica dei fluidi

Secondo esonero

Dalle equazioni di continuità

ρ

∂  

D ∫ ∫ ∫

ρ ρ

= + ⋅ =

dV dV v n dA 0

∂t

Dt V V A

se però divido l’area in 2 parti e proietto la velocità lungo la normale alla superficie

( )

ρ ρ

∂ ∂ ∂M

     

∫ ∫ ∫ ∫ ∫  

ρ ρ ρ

+ ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − +

dV v n dA dV v n dA v n dA Q Q

∂t ∂t ∂t e u

V A V A A

e u

∂M  

= −

Q Q

∂t e u

Dall’ equazione di bilancio della quantità di moto

applicando il teorema del trasporto

    

π

+ − = +

I M M G

u e

I momento delle inerzie locali, M portata

Dove rappresenta il mentre rappresenta la

della quantità di moto.

Correnti monodimensionali

Le correnti monodimensionali si sviluppano prevalentemente lungo una direzione,

ad esempio in tubi e canali. Il moto è sempre turbolento e si usano le equazioni

globali per studiare il moto.

Correnti in pressione

Preso un tubo a geometria cilindrica

1 ∫

=

U u dΩ

Ω Ω

( )

ρ

= =

M U Q M

e u

∂M = =

= U U U

0

∂t e u

∂ Ω = Ω

= 0 e u

∂t

considero la velocità media e la sezione costante

Definisco la pendenza della linea dei carichi

∂H

= −

J ∂S

con il carico H pari a

2

p U

α

= + +

H z γ 2g

portata costante volume di controllo.

Ipotizzo la nel

Perciò:

∂M ∫ ρ = =

= dV 0 Q Q

0

∂t e u

V

velocità della

La entrante e uscente è la stessa, perciò proiettando l’equazione

quantità di moto in direzione del moto (s)

π

+ − = +

I M M G

s u e s s

s s ρ

∂ u

∫

moto permanente = =

Ma essendo il s

I dV 0

∂t

s V

( )

portata di quantità di moto

La ρ → =

U Q M M

e u

s s

la sommatoria delle forze di superficie è uguale a zero,

Allora forza peso e forza di

superficie si elidono. ( )

ρ θ ρ

= ⋅sin = − −

G gΩL gΩ z z

s 2 1

π

= +

0 G s s π τ

= Ω − Ω −

p p BL

s 1 2

G è la proiezione della forza di massa lungo la direzione (s).

s

Le forze di superficie sono rappresentate dalla somma di sforzi viscosi e sforzi

pendenza della

tangenziali. BL rappresenta la superficie laterale. Posso riscrivere la

linea piezometrica:

( )

ρ τ

− − + Ω − Ω − =

gΩ z z p p BL 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

p p

2 1 1 2 + − +

1 2

z z

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

τ γ γ

p p BL τ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 1 2 B

− + − − =

1 2

z z 0 = = i

γ γ γ

Ω

2 1 γ

Ω

L

Moto uniforme per condotte in pressione

ε

⎛ ⎞

λ ⎜ ⎟

Re,

⎝ ⎠ 2

U

R

=

J 4R 2g Q

=

condotte circolari

Per U Ω

λ λ ε

⎛ ⎞

2 2 2

Q 16 Q Q

γ

= = = ⎜ ⎟

J Re,

⎝ ⎠

π

⎛ ⎞

π 5 2 5

2

4R D 2g R D

D

2g ⎜ ⎟

⎝ ⎠

4

Calcolo delle condotte

Il problema progettuale è il diametro da assegnare alla condotta, l’informazione a

l’energia potenziale.

disposizione è il dislivello quindi Oltre alle perdite di carico

dovute alle resistenze ci sono anche delle perdite di carico dovute all’allargamento o

restringimenti geometrici delle tuazioni.

Brusco allargamento di sezione

L’acqua entra nella sezione meggiore e forma 2 strutture vorticose che dissipano

l’equazione di continuità

energia, diventa.

∂M    

= − = ⇒ Ω = Ω

Q Q Q Q U U

∂t e u e u 1 1 2 2

bilancio della quantità di moto:

L’equazione di

    

π

+ − = +

I M M G

u e

proiettandola lungo la direzione di scorrimento S e ricordando che il fluido è

permanente π

− = +

M M G

u e s s

s s

ρ ρ γ θ

− = Ω − Ω − Ω

U Q U Q P P Lsen

2 1 1 2 2 2 2

( )

ρ ρ γ

− = Ω − Ω − Ω −

U Q U Q P P z z

2 1 1 2 2 2 2 2 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2

U U U P P P P

− = − − + = + − +

2 1 2 1 2 1 2

z z z z

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ρ ρ ρ ρ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1 1 2

g g g g g g

perdita di carico

Si sta cercando la dissipazione di energia quindi la

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2

P U P U

ΔH = + + − + +

1 1 2 2

z z

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ρ ρ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

g 2g g 2g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2

P P U U

ΔH = + − + + −

1 2 1 2

z z

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

ρ ρ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

g g 2g 2g

2 2 2

U U U U U 1 ( ) 2

ΔH = − + − ΔH = −

2 1 2 1 2 U U

1 2

2g

g g 2g 2g

Condizioni di moto permanente

Se ci si scosta dal moto uniforme. Dei nascono dalle equazioni del moto.

profili

∂Ω ∂Q

+ = 0

∂t ∂S

⎛ ⎞

∂ ∂U

2

U 1

+ = − −

y i J

⎜ ⎟

∂S ∂t

⎝ ⎠ f

2g g tempo si

Essendo il moto i termini che dovrebbero variare nel

permanente annullano.

Q=costante equilibrio tra le forze

Si ottiene che e c’è un

⎛ ⎞

∂ ∂U

2

U 1

+ = − −

y i J

⎜ ⎟

∂S ∂t

⎝ ⎠ f

2g g

∂E = −

i J

∂S f

L’energia è solo funzione dell’altezza y

E=E(y)

allora

∂E ∂y = −

i J

∂y ∂S f

di bilancio della quantità di moto

Posso quindi ricavare l’equazione −

∂y i J

= f

∂E

∂s ∂y

Valida per ogni alveo cilindrico purché le variazioni siano moderate.

se a forte o a debole pendenza.

I profili si distinguono in base al tipo di alveo,

Qquazioni delle corrnti monodimensionali del moto vario

Applico le equazioni globali ad un volume di controllo

ρ

= Ωds

M

∂M

L’ equazione = −

Q Q

∂t

di continuità e u ρ

=

Q UΩ

e ρ

∂ UΩ

Allora ρ

= +

Q UΩ ds

∂s

u

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

∂ Ωds