Meccanica dei fluidi - secondo esonero

Q UΩ

e ρ

∂ UΩ

Allora ρ

= +

Q UΩ ds

∂s

u

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

∂ Ωds ∂ ∂ Ω ∂ ∂ Ω ∂

⎛ ⎞

UΩ UΩ Q

ρ ρ

= + + = → =

⎜ ⎟

UΩ UΩ ds semplifico

⎝ ⎠

∂t ∂s ∂t ∂s ∂t ∂s

di bilancio della quantità di

L’equazione moto ρ ρ

∂ ∂

U U

∫

= = Ωds

I dV

∂t ∂t

s V ρ

= Ω

2

M U

es

    ρ ρ

∂ Ω ∂ Ω ∂Ω

 2 2

U U

ρ ρ ρ

= Ω + = Ω + +

2 2

π

+ − = + M U U U

I M M G ∂s ∂s ∂t

us

u e ∂z

γ θ γ

= −Ω = −Ω

G ds sin ds

∂s

s ∂ ∂Ω

⎛ ⎞

pΩ

π τ

= − + + −

⎜ ⎟

pΩ pΩ ds p ds Bds

⎝ ⎠

∂s ∂s

s

Sostituendo i ρ ρ

∂ ∂ ∂Ω ∂z ∂ ∂Ω

⎛ ⎞

2

U U pΩ

ρ ρ ρ γ τ

Ωds + Ω + Ωds + − Ω = −Ω + − + + −

2 2 ⎜ ⎟

U U ds U ds pΩ pΩ ds p ds Bds

⎝ ⎠

termini ∂t ∂s ∂t ∂s ∂s ∂s

ds i termini di segno opposto

semplificando tutti i e

ρ ρ

∂ ∂ ∂Ω ∂z ∂ ∂Ω

2

U U pΩ

ρ γ τ

Ω + Ω + = −Ω − + −

U p B

∂t ∂s ∂t ∂s ∂s ∂s

derivate

svolgendo le

ρ ρ

∂U ∂ ∂ ∂U ∂Ω ∂z ∂

U p

ρ ρ ρ γ τ

Ω + Ω + Ω + Ω + = −Ω −Ω −

U U U U B

∂t ∂t ∂s ∂s ∂t ∂s ∂s

U t

metto in evidenza la nelle derivate rispetto a

ρ ρ

∂ ∂Ω ∂Ω

⎛ ⎞

ρ

Ω + =

⎜ ⎟

U U

⎝ ⎠

∂t ∂t ∂t

l’equazione diventa così

ρ ρ

∂Ω ∂U ∂ ∂U

U

ρ ρ

+ + Ω + =

U U UΩ ...

∂t ∂t ∂s ∂s

ma evidenziando

ρ ρ

∂Ω ∂

⎛ ⎞

UΩ

+ =

⎜ ⎟

U 0

⎝ ⎠

∂t ∂s di continuità

perché è l’equazione

di bilancio della quantità di moto

Perciò l’equazione

∂U ∂U ∂z ∂ p

ρ ρ γ τ

Ω + = −Ω −Ω −

UΩ B

∂t ∂s ∂s ∂s

γ

Ω

dividendo tutto per τ

∂U ∂U ∂z ∂

1 U 1 p B

+ = − −

γ γ

∂t ∂s ∂s ∂s Ω

g g τ B

ricordando che =

= R

J γ Ω

R

∂U ∂U ∂z ∂

1 U 1 p

+ = − − − J

γ

∂t ∂s ∂s ∂s

g g

Moto vario di Insieme

le equazioni che regolano il moto vario di insieme

ρ ρ

∂ Ω ∂

⎧ Q

+ = 0

⎪ ∂t ∂s

⎪

⎨ ⎛ ⎞

∂ ∂U

2

dp U 1

⎪ ∫

+ + = −

z J

⎜ ⎟

γ

∂s ∂t

⎝ ⎠

⎪ 2g g

⎩

per l’ipotesi di incomprimibilità e di indeformabilità

∂H ∂U

∂Q 1

= −

= J

0 ∂s ∂t

∂s g

Moto vario di Elastico e colpo d’ariete

Il colpo d’ariete è un fenomeno idraulico che si manifesta in una condotta quando il

flusso di liquido al suo interno viene fermato bruscamente dalla chiusura di un

otturatore.

Le sono onde di pressione che si propagano con elevata celerità

oscillazioni elastiche

per efetto della comprimibilità del fluido.

ρ ρ

∂ Ω ∂

⎧ Q

+ = 0

⎪ ∂t ∂s

⎪

⎨ ⎛ ⎞

∂ ∂U

2

dp U 1

⎪ ∫

+ + = −

z J

⎜ ⎟

γ

∂s ∂t

⎝ ⎠

⎪ 2g g

⎩ barotropicità

ho 4 incognite e 2 equazioni, devo aggiungere le condizioni di e

deformazione

step 1

sviluppo delle derivate nell’equazione di continuità

ρ ρ

∂Ω ∂ ∂Ω ∂U ∂

ρ ρ ρ

+ Ω + + Ω + =

U UΩ 0

∂t ∂t ∂s ∂s ∂s

densità pressione

il legame tra e

ρ ρ

d = ε

dp

con epsilon coefficiente di comprimibilità adiabatica

Se il tubo viene deformato, l’allungamento si trov facendo il rapporto tra lo sforzo

che nasce all’interno del tubo e il modulo di elasticità

σ

dD d

=

D E

facendo l’equilibrio in mezzo al tubo

σ =

2d s dpD dpD

σ =

formula di Mariotte

da cui la d 2s

Variazione di pendenza

Variazione da corrente veloce a lenta dovuta alla variazione di pendenza dell’alveo

forte debole.

da a La corrente a monte e a valle del risalto è in condizione di moto

In conseguenza delle caratteristiche che può avere l’alveo, il risalto può

uniforme.

essere localizzato a monte oppure a valle della variazione di pendenza. Per capire in

quale dei due casi si verifica è necessario confrontare la spinta totale di monte con

quella di valle:

Se la spinta di monte è superiore a quella di valle il risalto avviene a valle, se la spinta

di valle è superiore il risalto avviene a monte.

Moto a superficie libera

Sono correnti monodimensionali che hanno una parte del contorno a contatto con

l’atmosfera, tale parte ha una pressione pari a quella atmosferica.

Ipotesi:

• Canali poco inclinati

• Regime turbolento

• Fluido incomprimibile

• presenza di onde

• La celerità è indipendente dalla comprimibilità del fluido

Utilizzo quindi le equazioni delle correnti in moto gradualmente vario

∂Ω ∂Q

⎧ + = 0

⎪ ∂t ∂s Con le 3 incognite

⎪

⎨ ⎛ ⎞

∂ ∂U

2 ρ

Ω,

p U 1 ,U

⎪ + + = − −

z J

⎜ ⎟

γ

∂s ∂t

⎝ ⎠

⎪ 2g g

⎩

Se la corrente varia con gradualità (traiettorie rettilinee), la distribuzione della

idrostatico.

pressione nella direzione normale al moto è di tipo

∂ p ρ ϑ

= − ρ ϑ

= − +

*

g cos p gz cos const.

integro

∂z *

per trovare quanto vale la impongo le condizioni al contorno:

costante = =

=

* p p 0

z y atm ρ ϑ

=

const. gy cos

ρ ϑ

= = = − +

*

p p 0 gz cos const.

atm ( )

ρ ϑ ρ ϑ ρ ϑ

= − + = −

* *

p

da cui la pressione p gz cos gy cos g y z cos

La può essere scritta quindi come

quota piezometrica

( )

ρ ϑ

− *

g y z cos ( )

p ϑ

= + = + = + − *

h z z z y z cos

γ ρ g

z=z z =0

*

il si trova a quota e a causa dell’inclinazione a quota relativa

fondo f perciò: p

ϑ ϑ

= + + = +

h z y cos z y cos z γ

f f i

Poiché di solito le dei canali sono piccole, se indico con la pendenza del

pendenze f

fondo pari a ∂z

= − f

i ∂s

f ϑ 

ϑ ϑ

=  cos 1

i sin

f allora p

+ = +

z y z γ

f 2 2

U U

H = + = + +

con il carico totale H h z y

f

2g 2g

moto vario in una corrente a pelo libero

Posso scrivere il sistema rappresentativo del

∂Ω ∂Q

⎧ + = 0

⎪ ∂t ∂s

⎪ ( )

Ω = Ω

con y

⎨ ⎛ ⎞

∂ ∂U

2

U 1

⎪ + + = − −

z y J

⎜ ⎟

∂s ∂t

⎝ ⎠

⎪ f 2g g

⎩

Ho un sistema con in perciò è chiuso e descrive le correnti

2 equazioni 2 incognite

monodimensionali in moto vario.

La è

pendenza

λ 2

U

=

J 4R 2g

nel caso di un per il calcolo di B (contorno bagnato) devo tener conto della

canale parete solida

• permanente

Moto

Corrente a superficie libera • permanente uniforme

Moto e

non varia nel tempo

Moto permanente cioè

∂Ω ∂Q ∂Q

⎧ + = → + =

∂ 0 0 0

⎪ ∂t ∂s ∂s

⎪

= 0 ⎨ ∂z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ∂U ∂ ∂ ∂E

∂t 2 2 2

U 1 U U

⎪ + + = − − → + + = −J → + = − − → = −

f

z y J z y y J i J

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂s ∂t ∂s ∂s ∂s ∂s

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎪ f f f

2g g 2g 2g

⎩

specifica

cioè l’energia rispetto alla profondità all’aumentare della

aumenta

profondità, invece per effetto delle resistenze.

diminuisce

permanente e uniforme

Se il moto è significa che non varia rispetto al tempo e

allo spazio. Una caratteristica è data dalla costanza della velocità rispetto allo spazio,

cioè le caratteristiche idrauliche che si trovano in una sezione sono le stesse che si

trovano anche nelle altre. La forma della sezione deve essere costante come la

pendenza, perciò il canale deve essere di forma cilindrica o prismatica.

∂Q ∂ΩU ∂U ∂Ω ∂Ω

⎧ = → = → Ω + = → =

0 0 U 0 U 0

⎪ ∂s ∂s ∂s ∂s ∂s

∂U ⎪

= ⎨

0 ⎛ ⎞

∂E ∂ ∂y ∂U

∂s 2

U U

⎪ = − → + = − → + = −

i J y i J i J

⎜ ⎟

∂s ∂s ∂s ∂s

⎝ ⎠

⎪ f f f

2g 2g

⎩ ∂y

( )

Ω = Ω →

ma poichè l’area è funzione della profondità y ∂s

di bilancio della quantità di moto i =J

allora l’equazione diventa f

cioè nel caso di moto permanente e unif