Meccanica dei fluidi primo esonero

Meccanica dei fluidi

Primo esonero

Cinematica dei continui

La cinematica descrive dal punto di vista matematico come si muove un fluido. Il

lagrangiano euleriano.

moto può essere osservatosecondo due punti di vista e

Lagrangiano

Per un campo spaziale abbiamo sia dipendenza dal tempo che dallo spazio, indico

con la variazione rispetto al tempo dal punto di vista di un

derivata materiale

osservatore solidale con la particella

( ) ( )

ρ ρ

ρ + Δt −

t t

D = lim Δt

Δt→0

Dt Euleriano

Sistema inerziale nel quale è valida la meccanica newtoniana. Definendo la densità e

ipotizzando una variazione dal punto A al punto B, la variazione di densità non è

solo funzione del tempo ma anche dello spazio dato che il sistema di riferimento è

fisso

( )

( ) ( ) ( )

ρ x t , y t , z t ,t

Dal punto di vista euleriano si inserisce un sistema di riferimento esterno al corpo,

nel quale esso si muove e che consente di percepirne il movimento.

euleriano

La variazione della grandezza vettoriale da un punto di vista

velocità

 

∂  

D

v v

= + ⋅∇

v v

∂t

Dt

dove posso definire tensore

⎡ ⎤

∂u ∂v ∂w

⎢ ⎥

∂x ∂x ∂x

⎢ ⎥

⎢ ⎥

∂u ∂v ∂w

  ⎡ ⎤⎦

⋅∇ = ⋅

v v u v w ⎢ ⎥

⎣ ∂y ∂y ∂y

⎢ ⎥

⎢ ⎥

∂u ∂v ∂w

⎢ ⎥

∂z ∂z ∂z

⎣ ⎦

euleriano lagrangiano

Quello che accomuna il punto di vista e è che la variazione

nel tempo comunque la si osservi sia la stessa

ρ ρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂

D dx dy dz

= + ⋅ + ⋅ + ⋅

∂t ∂x ∂y ∂z

Dt dt dt dt

Posso sostituire le componenti del vettore velocità lungo i 3 assi

ρ ρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂

D = + + +

u v w

∂t ∂x ∂y ∂z

Dt essendo

ρ ρ ρ

⎧ ⎫

∂ ∂ ∂

ρ

∇ = ⎨ ⎬

, ,

∂x ∂y ∂z

⎩ ⎭

il prodotto scalare tra il gradiente della densità e le componenti del vettore velocità,

dunque il legame fra la derivata in uno schema lagrangiano ed euleriano

ρ ρ

∂ 

D ρ

= + ∇ ⋅ v

∂t

Dt

Principio di conservazione della massa

Invece di considerare un punto o elemento materiale, considero un volume di

controllo e verifico la conservazione della massa sia in termini che

lagrangiani

V

Ipotizzando un generico volume posso considerare la massa come la

euleriani. sommatoria delle masse parziali

∫ ρ

=

M dV

V

lagrangiano

Dal punto di vista la variazione di massa di questo volume di controllo

è

DM D ( )

∫ ρ

= =

t dV 0

Dt Dt V (t )

che rappresenta l’equazione in termini lagrangiani. La variazione della

di continuità

massa nel tempo è sempre nulla, per quanto possa essere deformato il volume ad

un certo istante sarà formato sempre da tutti gli elementi del volume iniziale.

euleriani

Per esplicitare la conservazione della massa in termini si usa il teorema del

trasporto di Reynolds.

Teorema del trasporto di Reynolds

Il teorema del trasporto di Reynolds permette di portare l’operazione di

derivazione sotto il segno di integrale, usato in meccanica dei fluidi per studiare le

variazioni di una grandezza fisica associata ad un dominio, è usato ad esempio per

dimostrare l’equazione di continuità in forma indefinita. Considero un volume di

controllo fisso V che al tempo t è coincidente con il volume materiale V(t)

0 ( )

∫ ∫

ρ ρ

+ Δt −

t dV (t)dV

DM = V (t+Δt ) V (t )

lim Δt

Δt→0

Dt che può essere scritto come

( ) ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ ρ

+ Δt − + + Δt − + Δt

t dV t dV t dV t dV

DM ( ) ( ) ( ) ( )

= V t+Δt V t V t V t

lim Δt

Δt→0

Dt ( )

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ ρ

+ Δt)dV + + Δt − +

(t t dV (t)dV (t)dV

DM = V V V V

lim 2 1

Δt

Δt→0

Dt

Il primo ed il terzo integrale sono calcolati sullo stesso dominio ma in tempi diversi

allora posso scrivere

( )

∫ ∫

ρ ρ

+ Δt)dV − ρ

(t t dV ∂

∫

=

V V

lim dV

Δt ∂t

Δt→0 V

ds

Il secondo e terzo integrale posso dire che detto un elemento di superficie del

n u

volume iniziale, la normale e la velocità di traslazione risulterà per il volume V 2

 

= ⋅

dV u nΔtds

mentre per il volume V 1

 

= − ⋅

dV u nΔtds

allora sostituendo dV negli integrali posso scrivere

( )

∫ ∫

ρ ρ

+ Δt)dV −

(t t dV      

( )

∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ

= + Δt) ⋅ + ⋅ = ⋅

V V

lim lim (t u n ds t u nds u n ds

2 1

Δt

Δt→0 Δt→0 s s s

2 1 0

perchè per

→

t 0

+ =

S S S

1 2 0

ρ

∂  

DM ∫ ∫ ρ

= + ⋅

dV u n ds

∂t

Dt V s 0

ρ

∂  

DM ∫ ∫ ρ

= + ⋅ =

dV v n dA 0

∂t

Dt V (t ) A(t )

Al secondo integrale compare il l’integrale del flusso coincide con la

flusso, portata in

cioè la quantità di massa che attraversa una superficie nell’unità di tempo. Il

massa, euleriano,

fa riferimento al metodo esprime il fatto

Teorema del trasporto di Reynolds

che la variazione nel volume di controllo è la differenza tra la portata entrante e

teorema della divergenza

quella uscente. Grazie al è possibile migliorare la

formula con il quale posso trasformare l’integrale di superficie in un integrale di

volume ∂b

∫ ∫

=

bn dA dV

∂x

x

A V ⎛ ⎞

∂u ∂v ∂w

( )

∫ ∫

ρ ρ

+ + = + +

un vn wn dA dV

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂x ∂y ∂z

x y z

( )

A t V

Il termine tra parentesi è la divergenza della velocità, come se fossero tante piccole

sorgenti di materia



⎛ ⎞

∂u ∂v ∂w 

+ + = ∇ ⋅ v

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂x ∂y ∂z

infine l’equazione di bilancio della quantità di massa può essere riscritta nella forma



ρ

∂ ( )



∫ ρ

+ ∇ ⋅ =

v dV 0

∂t

V (t ) di contiuità

dunque l’equazione in forma indefinita

ρ

∂ 

( )

ρ

+ ∇ ⋅ =

v 0

∂t

L’equazione esprime il fatto che dato un determinato volume fisso nello spazio, le

variazioni di massa sono date dalla variazione di portata entrante e uscente. In

generale per un volume finito:

ρ

∂    

∫ ∫ ∫

ρ ρ

+ ⋅ + ⋅

dV v n dA v n dA

∂t

V (t ) A A

e u

∂M − + =

Q Q 0

∂t e u

In conclusione il si può scrivere in forma

principio di conservazione della massa

integrale

∂M = −

Q Q

∂t e u

Principio di conservazione della quantità di moto

Una qualunque massa soggetta a forze la cui risultante non sia nulla modifica la sua

quantità di moto



 ( )

  d m

v

d v ∑

= = = =

F m

a m F

i

dt dt i

considerando dal punto di vista una singola particella) un

lagrangiano(focalizzo

Forze di superficie

volume soggetto ad una serie di forze. che agiscono sulla

Forze di massa

frontiera lungo una superficie di contatto. agiscono per unità di

variazione della quantità

volume e riguardano il volume. Posso quindi esprimere la

di moto

 



D ∫ ∫ ∫

ρ ρ τ

= +

v dV f dV dA

Dt V V A

L’equazione di variazione della quantità di moto è vettoriale e corrisponde a 3

equazioni scalari. Di queste volendo dare una forma indefinita



D ∫ ρ v dV

Dt V

Proiettando la relazione lungo l’asse x cioè la componente u della velocità,

sfruttando il teorema del trasporto e applicando il teorema della divergenza

ρ ρ

∂( ∂(

  

u) u)

∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ

+ ⋅ = + ∇ ⋅(

dV ( u)

v n dA dV u v)dV

∂t ∂t

V A V V

dove la divergenza del vettore velocità per la sua componente u

ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂

u u u

+ +

u v w

∂x ∂y ∂z

Allora posso riscrivere la variazione della quantità di moto

ρ ρ ρ ρ

∂( ∂ ∂ ∂

u) u u u

∫ + + +

u v wdV

∂t ∂x ∂y ∂z

V

Ma per l’equazione di continuità

ρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂

u v w

+ + + = 0

∂t ∂x ∂y ∂z

Quindi non c’è variazione di massa

ρ

∂ 

( )

ρ

+ ∇ ⋅ =

v 0

∂t

Sviluppando le derivate parziali

ρ ρ ρ ρ

∂( ∂ ∂ ∂

u) u u u

∫ + + +

u v wdV

∂t ∂x ∂y ∂z

V ⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ρ ρ ρ ρ

∂u ∂ ∂ ∂u ∂u ∂ ∂u ∂

u v w

ρ ρ ρ ρ

+ + + + + + +

u u u v u w u

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂t ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

=0 =0 =0

=0

riscrivendo l’equazione di conservazione della quantità di moto

⎛ ⎞

∂u ∂u ∂u ∂u

D ∫ ∫

ρ ρ

= + + +

v dV u v w dV

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∂t ∂x ∂y ∂z

Dt V V

dove compare il prodotto scalare tra la velocità e il gradiente della velocità lungo

l’asse x

perciò ipotizzando lo stesso risultato per le altre componenti posso scrivere in

forma vettoriale



∂

⎛ ⎞

 

D v

∫ ∫

ρ ρ

= + ⋅∇

⎜ ⎟

v dV v v dV

⎝ ⎠

∂t

Dt V V

ricordando che l’equazione di partenza era

 

D ∫ ∫ ∫

ρ ρ τ

= +

v dV f dV dA

Dt V V A

Analizzando l’integrale di superficie del tensore degli sforzi e considerando tau

tetraedro di Cauchy

come il tensore degli sforzi che agiscono su un

facendo tendere il volume a zero i primi integrali essendo infinitesimi di ordine

superiore possono essere trascurati posso scrivere l’equilibrio in base alle forze di

superficie



∫ τ =

lim dA 0

ΔV→0 A

Bisogna trasformare l’integrale di area in un integrale di superficie

    

∫ τ τ τ τ τ

= + + + =

dA A A A A 0

n n x x y y z z

A se divido tutto per A n A

A α

= =

α α

= → = n n cos z

z n

A A cos cos z z

z n A

A

n n

allora

   

τ τ τ τ

+ + =

n n n

x x y y z z n

i vettori



τ i

costituiscono le componenti vettoriali di un tensore del secondo ordine

⎧

τ = + +

T n T n T n

nx xx x xy y xz z

⎪

τ = + +

⎨ T n T n T n

ny yx x yy y yz z

⎪

τ = + +

T n T n T n

⎩ nz zx x zy y zz z

T T T

xx xy xz



τ = n n n T T T

x y z yx yy yz

T T T

zx zy zz

applicando il Teorema di Gauss posso trasformare l’integrale di area in indegrale di

volume introducendo la divergenza

 

τ = nT 

 

∫ ∫ ∫

τ = = −

∇ ⋅T

dA nT dA dV

A A V

allora lequazione di bilancio della quantità di moto diventa

 



D

v

∫ ∫ ∫

ρ ρ

= + −

∇ ⋅T

dV f dV dV

Dt

V V V 

 





 D

v

⎛ ⎞

D

v

∫ − + ∇ ⋅T =

ρ − + ∇ ⋅T = f 0

⎜ ⎟

f dV 0

⎝ ⎠

Dt Dt

V Riepilogo

ρ

∂

⎧ 

( )

ρ

+ ∇ ⋅ = Equazione di continuità

v 0

⎪⎪ ∂t

⎨  

  !

D

v

⎪ Equazione di bilancio della quantità di moto

ρ ρ

= − ∇ ⋅

f T

⎪

⎩ Dt

in tutto ho 4 equazioni, una data dall’equazione di continuità e 3 dall’equazione di

bilancio della quantità di moto, in tutto 13 incognite, sistema indeterminato.

Con T definito come

T T T

xx yx zx

= T T T

T xy yy zy

T T T

xz yz zz

Secondo principio cardinale del moto

Grazie a questo principio posso dimostrare la simmetria del tensore degli sforzi.

Il momento della quantità è il prodotto vettoriale tra la quantità di moto e il vettore

posizione che individua il punto in esame.

 

      

D ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

ρ ρ τ

− × = − × + − ×

x x vdV x x f dV x x dA

0 0 0

Dt V V A

posso applicare il teorema del trasporto di Reynolds al primo termine il quale mi

permette di portare l’operatore derivata nell’integrale



    

D D

v

( ) ( )

∫ ∫

ρ ρ

− × → − ×

x x vdV x x dV

0 0

Dt Dt

V V

Dimostrazione 

    

D D

v

( ) ( )

∫ ∫

ρ ρ

− × → − ×

x x vdV x x dV

0 0

Dt Dt

V V

perchè

⎡ ⎤

  

D ( )

∫ ρ − ×

x x v dV

⎢ ⎥

0

⎣ ⎦

Dt

V   

D ( )

− =

x x v

0

Dt 

⎡ ⎤

    D

v

( )

( )

∫ ρ × + − ×

v v x x dV

⎢ ⎥

0

⎣ ⎦

Dt

V quindi 

  D

v

( )

∫ ρ

− ×

x x dV

0 Dt

V

prendendo ora in esame il terzo termine

 

τ = nT 

 

( )

∫ τ

− ×

x x dA

0

A

ˆ

i ĵ k̂

− − −

(x x ) (y y ) (z z )

0 0 0

  

( ) ( ) ( )

τ τ τ

x y z

la componente lungo x

 

( ) ( )

⎡⎣ ⎤⎦ ˆ

τ τ

− − −

y y z z i

0 z 0 y

con



τ = + +

n T n T n T

y x xy y yy z zy



τ = + +

n T n T n T

z x xz y yz z zz

sostituendo

( ) ( )

( ) ( )

∫ ⎡ ⎤

− + + − − + +

y y n T n T n T z z n T n T n T dA

⎣ ⎦

0 x xz y yz z zz 0 x xy y yy z zy

A

applicando il teorema di Gauss per trasformare l’integrale di superficie in un

integrale di volume ottengo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎛ ⎞

∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ −

z z y y y y z z z z z z

∫ + + − + +

0 0 0 0 0 0

T T T T T T dV

⎜ ⎟

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

⎝ ⎠

xz yz zz xy yy zy

V ma essendo le derivate parziali

⎧ ⎫

∂y ∂y ∂z ∂z

= = = =

⎨ ⎬

0

∂x ∂z ∂x ∂y

⎩ ⎭

∂T ∂T ∂T ∂T

∂T ∂T ⎡ ⎤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ − + − + + − − − + − + − +

yz xy yy zy

xz zz

y y y y T y y z z z z z z T dV

⎢ ⎥

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

0 0 yz 0 0 0 0 zy

⎣ ⎦

V stessa cosa per le componenti y e z, alla fine si avrà

 

 ( )

   

( ) ( )

∫ ∫ ∫

⎡ ⎤

τ

⎡ ⎤

− × = − × ∇ ⋅ − −

x x dA x x T T T dV

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 zy yz

A V V

x

dove il primo integrale a secondo membro rappresenta la componente x della

divergenza di T

riscrivendo tutta l’equazione per componenti, iniziando dalla componente x

 

  ( )

⎡ ⎤

     

D

v

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

⎡ ⎤

⎡ ⎤

ρ ρ

− + = − × − − × ∇ ⋅ − −

x x dV x x f dV x x T dV T T dV

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

0 0 0 zy yz

⎣ ⎦

Dt

V V V V

x x

ovvero

 

 

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ( )

  D

v

( )

∫ ∫

ρ ρ

− × − + ∇ ⋅ − − =

⎜ ⎟

x x f T dV T T dV 0

⎢ ⎥

⎝ ⎠

0 zy yz

⎣ ⎦

Dt

V V