Meccanica dei fluidi primo esonero

Appunti del corso tenuto dal professore Francesco Cioffi, prima parte relativa al primo esonero, ultimo argomento trattato: equazioni di Navier-Stokes.
Esame di Meccanica dei Fluidi, corso di laure in ingegneria civile e industriale all'università di Roma La Sapienza.

Esame Meccanica dei fluidi

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Cioffi Francesco

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Publisher alessandrotrap

A.A. 2012-2013

150 pagine

2 download

Appunto

Vota 4,0 / 5 (2)

Scarica

Estratto del documento

D

∫ ∫ ∫

ρ ρ

= + −

∇ ⋅T

dV f dV dV

V V V 

 



 D

⎛ ⎞

D

∫ − + ∇ ⋅T =

ρ − + ∇ ⋅T = f 0

⎜ ⎟

f dV 0

⎝ ⎠

Dt Dt

V Riepilogo

∂

⎧ 

( )

+ ∇ ⋅ = Equazione di continuità

v 0

⎪⎪ ∂t

⎨  

  !

D

⎪ Equazione di bilancio della quantità di moto

ρ ρ

= − ∇ ⋅

f T

⎪

⎩ Dt

in tutto ho 4 equazioni, una data dall’equazione di continuità e 3 dall’equazione di

bilancio della quantità di moto, in tutto 13 incognite, sistema indeterminato.

Con T definito come

T T T

xx yx zx

= T T T

T xy yy zy

T T T

xz yz zz

Secondo principio cardinale del moto

Grazie a questo principio posso dimostrare la simmetria del tensore degli sforzi.

Il momento della quantità è il prodotto vettoriale tra la quantità di moto e il vettore

posizione che individua il punto in esame.

 

      

D ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫

ρ ρ τ

− × = − × + − ×

x x vdV x x f dV x x dA

0 0 0

Dt V V A

posso applicare il teorema del trasporto di Reynolds al primo termine il quale mi

permette di portare l’operatore derivata nell’integrale



    

D D

( ) ( )

∫ ∫

ρ ρ

− × → − ×

x x vdV x x dV

0 0

Dt Dt

V V

Dimostrazione 

    

D D

( ) ( )

∫ ∫

ρ ρ

− × → − ×

x x vdV x x dV

0 0

Dt Dt

V V

perchè

⎡ ⎤

  

D ( )

∫ ρ − ×

x x v dV

⎢ ⎥

⎣ ⎦

V   

D ( )

− =

x x v

Dt 

⎡ ⎤

    D

( )

∫ ρ × + − ×

v v x x dV

⎢ ⎥

⎣ ⎦

V quindi 

  D

( )

∫ ρ

− ×

x x dV

0 Dt

V

prendendo ora in esame il terzo termine

 

τ = nT 

 

( )

∫ τ

− ×

x x dA

A

i ĵ k̂

− − −

(x x ) (y y ) (z z )

0 0 0

  

( ) ( ) ( )

τ τ τ

x y z

la componente lungo x

 

( ) ( )

⎡⎣ ⎤⎦ ˆ

τ τ

− − −

y y z z i

0 z 0 y

con



τ = + +

n T n T n T

y x xy y yy z zy



τ = + +

n T n T n T

z x xz y yz z zz

sostituendo

( ) ( )

∫ ⎡ ⎤

− + + − − + +

y y n T n T n T z z n T n T n T dA

⎣ ⎦

0 x xz y yz z zz 0 x xy y yy z zy

A

applicando il teorema di Gauss per trasformare l’integrale di superficie in un

integrale di volume ottengo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎛ ⎞

∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ − ∂ −

z z y y y y z z z z z z

∫ + + − + +

0 0 0 0 0 0

T T T T T T dV

⎜ ⎟

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

⎝ ⎠

xz yz zz xy yy zy

V ma essendo le derivate parziali

⎧ ⎫

∂y ∂y ∂z ∂z

= = = =

⎨ ⎬

∂x ∂z ∂x ∂y

⎩ ⎭

∂T ∂T ∂T ∂T

∂T ∂T ⎡ ⎤

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫ − + − + + − − − + − + − +

yz xy yy zy

xz zz

y y y y T y y z z z z z z T dV

⎢ ⎥

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

0 0 yz 0 0 0 0 zy

⎣ ⎦

V stessa cosa per le componenti y e z, alla fine si avrà

 

 ( )

   

( ) ( )

∫ ∫ ∫

⎡ ⎤

− × = − × ∇ ⋅ − −

x x dA x x T T T dV

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 zy yz

A V V

dove il primo integrale a secondo membro rappresenta la componente x della

divergenza di T

riscrivendo tutta l’equazione per componenti, iniziando dalla componente x

 

  ( )

⎡ ⎤

     

D

( ) ( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

⎡ ⎤

ρ ρ

− + = − × − − × ∇ ⋅ − −

x x dV x x f dV x x T dV T T dV

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥

0 0 0 zy yz

⎣ ⎦

V V V V

x x

ovvero

 

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ( )

  D

( )

∫ ∫

ρ ρ

− × − + ∇ ⋅ − − =

⎜ ⎟

x x f T dV T T dV 0

⎢ ⎥

⎝ ⎠

0 zy yz

⎣ ⎦

V V

ma l’equazione di continuità che compare al primo integrale

 

D

ρ ρ

− + ∇ ⋅ =

f T 0

allora dovrà essere nulla anche la parte

( )

∫ − =

T T dV 0

zy yz

V

che dimostra la della matrice T

simmetricità

T =T

ij ji

dunque essendo T un le sue incognite non sono 9 ma 6, quindi le

tensore simmetrico

incognite del sistema diventano 10



∂

⎧ 

+ ∇ ⋅ =

v 0

⎪ ∂t

⎪  

 

⎪ D

ρ ρ

= − ∇ ⋅

⎨ f T

⎪ =

⎪

T T

ij ji

⎪

⎩

Principio di conservazione dell’energia

In natura non esistono processi reversibili, qualunque processo dissipa energia che si

sprigiona sotto forma di calore con conseguente aumento di entropia. Il principio di

conservazione dell’energia è utile perchè ci fa capire come si comporta un mezzo

continuo deformabile.



⎛ ⎞ 

  

D 1

∫ ∫ ∫

ρ ρ τ

+ = ⋅ + ⋅

 2

⎜ ⎟

u v dV f v dV v dA

⎝ ⎠

Dt 2

v V A

primo termine

Il applicando il teorema del trasporto

  

⎡ ⎤

 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  

D

u 1 D

v D

u D

∫ ∫

ρ ρ ρ

+ + = +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

v v dV v dV

⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

Dt 2 Dt Dt Dt Dt

V V

terzo termine

Il diventa

( ) ( )

 

∫ ∫

⋅ = + + + + + + + +

v nT dA u(n T n T n T ) v n T n T n T w n T n T n T dA

x xx y yx z zx x xy y yy z zy x xz y yz z zz

A A

ed applicando il teorema di Gauss ad ogni termine

∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w

∫ + + + + + + + +

T T T T T T T T T dV

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

xx yx zx xy yy zy xz yz zz

V dopodichè sviluppo tutte le doppie derivate

∂T ∂T ∂T ∂T ∂T

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂T ∂T ∂T

∂T ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w

∫

− + + + + + + + + + + + + + + + + +

xy xy yy zy yz

xz xz zz

⎢ ⎥

u v w T T T T T T T T T dV

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

xx xy xz xy yy zy xz yz zz

⎣ ⎦

V la parte moltiplicata per la velocità è

 

( )

 

⋅ = ⋅ ∇ ⋅

v divT v T

i termini non raccolti rappresentano il prodotto delle 2 matrici 3x3

∂u ∂v ∂w

T T T ∂x ∂x ∂x

xx xy xz ∂u ∂v ∂w



∇ =

= v

T T T

T ∂y ∂y ∂y

yx yy yz ∂u ∂v ∂w

T T T ∂z ∂z ∂z

zx zy zz

unendo i 2 membri dell’equazione

 

( )

    

D

u D

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ρ ρ ρ

+ = − ⋅ ∇ ⋅ −

dV v v f dV v T dV T :∇

v dV

Dt Dt

V V V V V

porto tutto a sinistra e sotto lo stesso integrale

 

( )



⎛ ⎞

   

D

u D

∫ ρ ρ ρ

+ − + ⋅ ∇ ⋅ + =

⎜ ⎟

v v f v T T :∇

v dV 0

⎝ ⎠

Dt Dt

V

raccogliendo a fattor comune gli elementi che moltiplicano la velocità trovo

l’equazione di bilancio della quantità di moto che però è uguale a zero

 

⎛ ⎞

D

ρ ρ

− + ∇ ⋅ =

⎜ ⎟

f T 0

⎝ ⎠

prima legge della termodinamica

Concludendo ricavo la  

D

ρ = −T :∇

che però non serve a chiudere il sistema perchè aggiungo una equazione ma anche

un’incognita

Cinematica dei fluidi

traslazione, rotazione

descrive i movimenti tipici di un fluido, moti di moti di e

deformazione

Se considero due punti uno fisso e uno in moto relativo rispetto all’altro, la velocità

di un punto rispetto all’altro

  

∂ ∂ ∂

  v v v

( )

( ) = + + +

v x v x dx dy dz

∂x ∂y ∂z

⎧ ∂u ∂u ∂u

 

( )

( ) = + + +

u x u x dx dy dz

⎪ ∂x ∂y ∂z

⎪ ∂v ∂v ∂v

⎪  

( )

( ) = + + +

⎨ v x v x dx dy dz

∂x ∂y ∂z

⎪

⎪ ∂w ∂w ∂w

 

( )

( ) = + + +

⎪ w x w x dx dy dz

∂x ∂y ∂z

⎩

il vettore velocità può essere espresso anche come

⎡ ⎤

∂u ∂v ∂w

⎢ ⎥



 ∂x ∂x ∂x

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

u( x )

u( x) ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂u ∂v ∂w



 ⎡ ⎤

= +

⎢ ⎥

v( x )

⎢ ⎥

v( x) dx dy dz ⎢ ⎥

Anteprima

Vedrai una selezione di 31 pagine su 150