Meccanica dei Fluidi - I esonero

Meccanica dei Fluidi

Esercizio 1. Calcolo della spinta

Caso 1

Scelgo un volume di controllo, in questo caso V₁₂₃₄, per poi procedere al calcolo della spinta, mediante l’equazione di equilibrio

\[\bar{G} + \bar{\pi} = 0\] asse x: G_x + \(\pi_{x}\) = 0 G_x nulla poiché l’unica forza di volume agente è la forza peso e non ha componenti lungo x \(\pi_{x}\) = \(\pi_{21x}\) + \(\pi_{23x}\) + \(\pi_{34x}\) + \(\pi_{41x}\) \(\pi\) = \(\int \rho + \gamma z dz\) = \(\int \gamma z dz\) poiché la pressione è nulla \(\pi_{41x}\) nulla perché \(\rho = 0\)

\(\pi_{21x}\) + \(\pi_{23x}\) + \(\pi_{34x}\) = 0 ⇒ \(\int_{0}^{e} \gamma z dz\) + S_x - \(\int_{3}^{4} \gamma z dz\) = 0 ⇒ \(\frac{\gamma h_{e}^{2}}{2}\) + S_x - \(\frac{\gamma h_{e}^{2}}{2}\) = 0 ⇒ S_x = \(\frac{\gamma h_{e}^{2}}{2}\) - \(\frac{\gamma h_{e}^{2}}{2}\)

asse z: G_z + \(\pi_{z}\) = 0 G_z = -\(\gamma \overline{V}\) \(\pi_{z}\) = \(\pi_{12z}\) + \(\pi_{23z}\) + \(\pi_{34z}\) + \(\pi_{41z}\) → \(\pi_{z}\) = S_z -\(\gamma \overline{V}\) + S_z = 0 ⇒ S_z = \(\gamma \overline{V}\)

tg d = \(\frac{S_{x}}{S_{z}}\)

CASO 2

Scalfo _(?) un volume V₂^e₃

₊ = 0

orno x:

_x + _x = 0

_x = 0

_x = _e3x + ₃₂ + _e2 = S_x - ∫_el³ δz dz

S_x - ∫_el² δz dz = 0 ⇒ S_x = ∫_el³ δz dz = S_x = [ z² / 2 ]_el³ ⇒

S_x = / 2 (h_3x² - h_2l²) ⇒ S_x = (h_3x² - h_el²) / 2

orno z:

_y + _z = 0

- V + S_z = 0 ⇒ S_z = V

tg z = ^S_x/_Sz

Esercizio 1.

Qual è il valore di P_A per cui il sistema è in equilibrio

∑ π_c = 0

S₁ b₁ = S₂ b₂

Dato il sistema portante composto da due recipienti A e B, per proseguire al calcolo di P_A, consideriamo un recipiente per volta.

(A)

Scelgo un volume di controllo V_{c c' 34}

G̅ + π̅ = 0

G̅ = ∫_v ψ g dV

π̅ = ∫_c φ^m̂ dS

asse x: G_x + π̅_x = 0

G_x = 0

π̅_x = π_c'4x + π_34x + π_3ex + π_cc'x

π = ∫ P_A + δ z dz

π̅_x = π_c'4x - S_4x = \(\frac{P_c' + P_t}{2}\) c'4 - S_4x

\(\frac{P_c' + P_t}{2}\) c'4 - S_4x = 0 ⟹ S_4x = \(\frac{P_c' + P_t}{2}\) c'4 = (p_A + δ₁ h_c + p_A + δ₁ h_c') \(\frac{(h_t - h_c)}{2}\)

S_4x = [P_A + \(\frac{δ₁ (h_c + h_c')}{2}\)] (h_t - h_c) = p_A (h_t - h_c) + δ₁ \(\frac{(h_t² - h_c²)}{2}\)

Esercizio 8

φ = φ₀ fluido incomprimibile

d/dt = 0 moto stazionario

µ = 0 fluido ideale

&Gammadot; + ϖ = 𝕀 + Δ𝕄

𝕀 = 0 perché è un moto stazionario

• asse x: G_x + ϖ_x = ΔM_x
• ϖ_x = p₂Ω₂ + p₂π_x + π_x = ρ₁Ω₁ + p₂Ω₂ - F_Δx

ma p₂ = 0

ΔM_x = -βφU₂²Ω₂ - βφU₁²Ω₁

p₁&Omega₁ - F_Δx = -βφU₂²&Omega₂ + βφU₁²&Omega₁

➡ F_Δx = p₁Ω₁ + βφU₂²&Omega₂ + βφU₁²&Omega₁

Q: U₁Ω₁ = U₂Ω₂

F_Δx = p₁Ω₁ + βφA(U₂ + U₁)

• asse z: G_z + ϖ_z = ΔM_z

G_z = -φV_g

ϖ_z = ϖ_i2 + ϖ_x2 + ϖ_i1z = F_Δz

ris; x_i,x e x_i non hanno componenti lungo z

ΔM_z = 0

-φV_γ + F_Δz = 0 ➡ F_Δz = φV_γ

p₁ = p_A + γh

noto Δ bisogna trovare U₁

⇒ U₁² = ^{δV + GL}/_βϕΩ1⇒ U₁ = √^{δV + GL}/_βϕΩ1

Applichiamo il teorema di Bernoulli, e poiché è un fluido ideale si ha che:z + ^P/_δ + d ^U2/_2g = cost

Pertanto prendendo due punti generici che indico con (a) e (b) risulta:H_a = H_b = z_A + ^P_A/_δ + d ^U_A2/_2g = z_B + ^P_B/_δ + d ^U_B2/_2g

Sappiamo inoltre che:U_A = 0 poiché nel pelo libero la velocità è nulla, P_B = 0 e U_B = U₁

z_A + ^P_A/_δ = z_B + d ^U₁2/_2g

^P_A/_δ = z_B + d ^U₁2/_2g - z_A ; Δh = z_A - z_B

^P_A/_δ = -Δh + d ^U₁2/_2g

P_f = (-Δh + d ^U₁2/_2g)/_δ = Δh + d ^{δV + GL}/_βϕΩ1g = -Δh + d ^{δV + GL}/_βϕg1²

P_A = (-Δh + d ^U₁2/_2g) δ = (-Δh + d ^{δV + GL}/_βϕΩ1²g) δ

Del principio di conservazione dell’energia si ha:

H₁ = H₃ = z₂ + ^pZ/_g + ^U₂2/_2g = z₃ + ^p₂/_g + ^U₃2/_2g ⇒ z_i + ^p_i/_g = z₃ + a + ^U₃2/_g

Scritte ora l’equazione di equilibrio alle rotazioni intorno a due assi ortogonali passanti per C:

F_x ⋅ Y_s - F_x ⋅ Y_F = 0

F_y ⋅ X_s - E_Y ⋅ X_F = 0

(βΦU_i^*Ω_i - βΦU_i^*Ω₂cosϴ) ⋅ Y_s - F_e cos ε ⋅ Y_F = 0

(βΦU_i^*Ω_isenϴ - βΦU_i^*Ω₃)X_s - F_esenε ⋅ X_F = 0

Per trovare la portata Q=U_iΩ_i, bisogna risolvere il sistema di 4 equazioni nelle 4 incognite U_i, U₂, U₃, F_e

(U_iΩ_i = U₂Ω₂ + U₃Ω₃

(βΦU_i^*Ω_i - βΦU_i^*Ω₂cosϴ) ⋅ Y_s - F_e cos ε ⋅ Y_F = 0

(βΦU_i^*Ω_isenϴ - βΦU_i^*Ω₃)X_s - F_esenε ⋅ X_F = 0

z_i + d ^U₂2/_Lg = z₃ + d ^U₃2/_Lg