Meccanica dei fluidi prof. Boano Fulvio e Butera Ilaria

NOTA NON RICHIESTA ALL’ESAME

Fisicamente ciò non può accadere perché aprendo un rubinetto non parte istantaneamente il fluido con

portata costante in tutte le sezioni. Ovviamente, allo stesso modo, chiudendo il rubinetto non si interrompe

istantaneamente la portata. Allora perché questa equazione è valida (Q1=Q2)? Perché ipotizzando di avere

un flusso d’acqua e chiudo il rubinetto, il comando arresta portata ha bisogno di un tempo per trasferirsi

all’interno della massa fluida. Questa “celerità” con cui avviene il trasferimento del comando arresta

portata dipende dalla celerità delle perturbazioni all’interno del fluido. Nell’equazione di continuità noi

abbiamo ipotizzato fluido incomprimibile. Ciò vuol dire che la celerità di queste perturbazioni è infinita

quindi i comandi vanno istantaneamente su tutta la condotta. In realtà la celerità con cui viaggiano i

comandi dipende dalla elasticità della condotta e dalla comprimibilità del fluido:

Quando si parla di fluido incomprimibile il modulo di comprimibilità va a infinito.

La portata raggiunge velocemente una condizione in cui la portata è uguale da sezione a sezione, ma non è

istantaneo. Questo fatto provoca nelle condotte sovrapressioni e variazioni di pressione sia positive che

negative. Si parla di fenomeni di “colpo d’ariete”

CONCLUSIONE CINEMATICA DINAMICA

Ricordiamo che in idrostatica :

In dinamica gli sforzi agenti su superficie elementare non sono diretti lungo “n” ma hanno una direzione

qualunque:

Riscriviamo equazione indefinita dell’equilibrio ma in condizioni di moto. Noi studiamo il movimento di un

volume infinitesimo su cui agiscono forze di massa e di superficie:

Vediamo il volume infinitesimo:

Vediamo le forze di massa:

Ora vediamo le forze di superficie:

Facciamo la somma delle spinte elementari, le quali non sappiamo come sono dirette:

Troviamo le spinte di superficie. Facciamo la sommatoria delle forze:

Troviamo l’equazione indefinita dell’equilibrio in condizioni dinamiche e deve balere per tutti i punti della

massa fluida. Se la velocità = 0, si ricava l’equazione indefinita della statica?

Gli sforzi agiscono normali alla superficie, quindi si ritrova la l’equazione della statica.

CONTINUAZIONE DINAMICA

Scriviamola nelle sue tre componenti scalari:

Gli sforzi con stessi pedici sono uguali fra di loro:

Riportiamoli nel sistema:

In queste tre equazioni si individuano 10 variabili (cerchiate in verde). Quindi sono:

Per poter risolvere le tre equazioni occorre quindi sapere le 10 variabili. Dobbiamo arrivare ad avere 10

equazioni come sono le incognite.

Possiamo aggiungere l’equazione di stato (o equazione caratteristica, che nel caso di fluido incomprimibile

è “ro=cost”), l’equazione di continuità scritta in forma locale. Altre equazioni non le conosciamo. Però così

facendo abbiamo solo 5 equazioni contro 10 variabili. Le 5 equazioni mancanti sono le “EQUAZIONI

REOLOGICHE” cioè ci dicono come sono legati gli sforzi Tau al gradiente della velocità. Ci danno

informazioni sulle sigma.

Occorre quindi aggiungere ancora 5 equazioni che danno informazioni su come si comportano gli sforzi

dentro al fluido in condizioni di moto. Per far ciò consideriamo i FLUIDI IDEALI nei quali si assume che lo

stato di sforzo in condizione di moto è lo stesso in condizione di quiete:

Così facendo inseriamo 6 equazioni ma avendo la “p” della pressione incognita si equilibra il tutto. Per

questi fluidi otteniamo:

Quindi otteniamo l’EQUAZIONE DI EULERO:

Nel sistema del fluido reale scriviamo un sistema di equazioni differenziali. Per essere risolto occorre

integrare e occorre assegnare sia le condizioni al contorno sia le condizioni iniziali. In una massa fluida isolo

un volume di fluido W con una superficie di contorno A e per ogni particella del fluido vale l’equazione

indefinita:

Integriamo questa uguaglianza sul volume W:

Vediamo gli integrali separatamente:

il termine che dobbiamo studiare lo dividiamo in due (in rosso):

Rimettiamo tutto insieme:

Vediamo singolarmente i vari elementi:

Quindi con questa distinzione, l’equazione globale di equilibrio in condizioni dinamiche:

Vediamo come si calcolano questi flussi di quantità di moto. Un caso frequente è quando si hanno delle

correnti. Se ogni singola corrente ha stessa velocità abbiamo una sezione trasversale piana e risulta più

semplice:

Studiando il flusso di quantità di moto entrante attraverso una superficie ortogonale in ogni punto al

vettore velocità si hanno delle semplificazioni. Il vettore velocità ha direzione normale alla superficie e il

valore della componente della velocità lungo n è uguale a v:

Un’ulteriore semplificazione si può avere usando le velocità medie:

Per calcolare “beta” occorre sapere la distribuzione delle velocità. Nel caso del flusso uscente:

Vediamo una applicazione di questa equazione. Abbiamo una piastra che è investita da un getto di fluido

che mantiene la sua velocità e viene deviato dalla piastra inclinata. Il contorno del getto è disegnato in

rosso:

Calcolare la spinta del getto sulla piastra considerando una estensione lungo z = 1 m. la forza che vogliamo

calcolare è una forza di superficie quindi usiamo l’equazione globale. Dobbiamo isolare un volume di fluido

con delle superfici sulla quale è facile calcolare la spinta. Il volume che studiamo ha per contorno la piastra,

tagliamo ortogonalmente al moto e il resto del volume è quello dato dal flusso stesso:

Il volume di fluido è in equilibrio sotto l’azione di:

“I=0” perché velocità è uniforme, la“pigreco 3 = 0” perché su tutto il contorno agisce la pressione

atmosferica. Anche “pigreco 1 e 2 = 0” perché nella sezione di ingresso come quella di uscita, il fluido ha

traiettorie rettilinee e parallele. Quando si ha un getto con traiettorie rettilinee e parallele, il valore della

pressione in quella sezione ha il valore della pressione dell’ambiente in cui si trova; su tutto il contorno

abbiamo pressione = 0 quindi all’interno la pressione relativa = 0.

Studiamo quello che accade lungo x:

Lungo y:

In modulo “Me” e “Mu”vale:

Ora calcoliamo l’intensità della spinta e vediamo per quale valore dell’angolo alfa è massima:

Il massimo della spinta risulta:

Ora facciamo uno studio dal punto di vista energetico e studiamo come si trasforma l’energia meccanica

all’interno di un fluido. Dimostreremo il TEOREMA DI BERNOULLI. Consideriamo inizialmente un fluido

perfetto, in questo teorema abbiamo 5 ipotesi.

Prima ipotesi:

fluido perfetto, l’equazione che lo descrive:

Seconda ipotesi:

nel campo di gravità, l’equazione interessata:

Terza ipotesi:

fluido incomprimibile, la densità è considerata costante:

Riscriviamo l’equazione di eulero:

Divido per “gamma”:

Noi consideriamo di avere una massa fluida in movimento, prendiamo una traiettoria di una particella. La

relazione appena scritta è un gradiente e generalmente la esprimiamo nelle sue 3 componenti. In questo

caso invece di usare la terna x,y,z usiamo una terna intrinseca cioè terna solidale alla particella e diretta in

ogni istante in questo moto:

La “s” è tangente alla traiettoria e diretta nella direzione della velocità, “n” diretto verso il centro di

curvatura e il terzo asse “b” è ortogonale agli atri due. Il gradiente lo si scrive con riferimento alle direzioni

appena individuate:

Commentiamo queste equazioni partendo dall’ultima. La integriamo e troviamo:

Ora la seconda:

Se abbiamo a che fare con un fluido dove le traiettorie sono rettilinee, r (raggio di curvatura) vale infinito:

Questo appena scritto semplifica notevolmente i conti. Immaginiamo di avere una tubazione di diametro

costante e velocità costante. Individuiamo due sezioni:

Se vado in una sezione trasversale e prendo due punti A e B, siccome le traiettorie sono rettilinee e

parallele avremo che la quota piezometrica in A è uguale alla quota piezometrica in B perché i due punti

appartengono alla stessa sezione trasversale. Se nella sezione due prendo punti C e D si può dire che la

quota piezometrica di C è uguale a quella del punto D. Non è uguale l’uguaglianza fra le quote

piezometriche di due sezioni.

Ora vediamo la prima equazione:

Questi termini li mettiamo nella prima espressione:

Quarta ipotesi:

ipotesi di moto permanente:

Quinta ipotesi:

lungo una traiettoria:

Il TEOREMA DI BERNOULLI dice: un fluido perfetto incomprimibile nel campo della gravità, in condizioni di

moto permanente mantiene il carico totale costante lungo ciascuna traiettoria.

Il CARICO TOTALE H (dimensionalmente è una lunghezza) ed esprime l’energia meccanica per unità di peso

del fluido. È fatto dalla somma di tre termini:

Vediamo il significato di questi tre termini:

Esempio altezza piezometrica: immaginiamo di avere del fluido in quiete e di isolare al suo interno un

volume di dimensioni infinitesime:

Proviamo a portare tale volume infinitesimo di fluido in superficie. Arrivando in superficie la sua energia

potenziale cambia ed aumenta perché è aumentata la quota. Aumentando la quota diminuisce la

pressione. Ciò significa che il lavoro compiuto è nullo e l’energia di tale elemento non cambia.

Facciamo un esempio su questi tre parametri. Consideriamo una traiettoria di un fluido che rispetta tutte le

ipotesi del Teorema di Bernoulli. Prendiamo un sistema di riferimento con z = 0 sotto la curva.

consideriamo diversi punti sulla traiettoria e costruiamo la somma usando la formula appena vista:

Individuiamo la quota Za, ipotizziamo che la pressione in A sia positiva. Per visualizzare il carico totale

riporto sopra A un segmento di altezza pari a “Pa/Gamma” e riporto sopra a quest’ultimo un segmento di

altezza “v quadrato su 2g”. la somma di questi tre segmenti mi da il carico totale “Ha”. Per il teorema di

Bernoulli tutti i punti appartenenti a questa traiettoria hanno lo stesso carico. Quindi la linea che congiunge

il carico di ciascun punto è una linea orizzontale chiamata LINEA DEI CARICHI TOTALI. Stesso discorso per gli

altri punti. Se per caso la pressione in C è < 0 allora il segmento “Pc/gamma” è rivolto verso il basso e la sua

altezza cinetica parte sotto la linea curva. Se nel punto D abbiamo la pressione = 0, la “Pd/gamma” non da

nessun contributo e la sua altezza cinetica va dal punto D fino alla line