Meccanica dei fluidi prof. Boano Fulvio e Butera Ilaria

Meccanica dei fluidi

Professori: Boano e Butera

Esame

• Scritto: 10 domande a risposta multipla + esercizio aperto. Lo scritto permette di arrivare a 20/30. È passato con almeno 10 punti.
• Orale: teoria, 1 domanda, viene dato elenco domande che verranno chieste all’orale.

Testi

• “Idraulica”, autori Citrini e Noseda (comprende anche gli esercizi, svolti e non) (è il testo consigliato e che segue il prof.). Casa editrice Ambrosiana.
• “Meccanica dei fluidi”, autori Cengel, Cinbala (in italiano Cozzo e Santoro), casa ed. McGraw-Hill.

Eserciziario

• “Esercizi di idraulica e di meccanica dei fluidi”, autori Longo e Tanda.
• “Esercizi di idraulica”, autori Beccio, Bianco, Sordo, casa ed. Levrotto e Bella.

Fluido

Un fluido può subire variazioni di forma con forze modeste. Queste forze sono tanto più basse quanto più lenta è la velocità di deformazione. Un fluido deformato, mantiene la sua deformazione. I fluidi racchiudono due categorie: liquidi e gas. Il liquido dal gas lo si distingue per il comportamento che ha di fronte a variazioni di volume. I liquidi oppongono grande resistenza a variazioni di volume (poco comprimibili), i gas non oppongono resistenza alla variazione di volume.

Lo studio dei fluidi lo si fa senza considerare come sono composti. Lo si studia come se fosse un mezzo continuo. Ponendo la densità (ro) in funzione del volume di indagine: La densità cambia in base a quale elemento chimico trovo. Ampliando il volume di indagine si arriva ad una zona in cui la densità non varia più. In tale punto individuiamo il REV (volume rappresentativo elementare). Le unità di misura usate sono quelle del sistema internazionale (Kg, m, sec…).

Caratterizzazione dello stato di sforzo

Nel sistema continuo, sul fluido agiscono due famiglie di forze:

• Forze di massa: sono quelle che danno luogo alla forza peso, non applicate al contorno.
• Forze di superficie: applicate sul contorno del corpo studiato (sulla superficie).

Vediamo come si distribuiscono: consideriamo un volume di fluido W in equilibrio. Lo dividiamo in due parti tagliandolo con una superficie non necessariamente piana. Si ottiene la superficie A. Separando le due parti, affinché le parti singole rimangano in equilibrio devo applicare su A un sistema di forze Pigreco equivalente al sistema di forze che la parte 1 genera su A. Questo sistema di forze pigreco si può immaginare distribuito con continuità su A e dello stesso ordine di grandezza. Vuol dire che considerando una superficie infinitesima dA, su questa agisce un sistema di forze dpigreco. Facendo rapporto fra dpigreco/dA si ottiene un valore finito (fi) che è uno sforzo. Questo sforzo che agisce su dA (superficie elementare), non si sa com’è orientato nello spazio. Dipenderà dall’equilibrio. Si scrive “fi con n”. n è la normale alla superficie su cui lui agisce.

Quindi: “fi con n” è lo sforzo che agisce sulla superficie dA che ha come perpendicolare il versore n. “fi con n” può essere orientato in una direzione qualunque. Da questa relazione si ricava che: La “depigreco” si chiama spinta elementare. Il sistema di forze pigreco che da origine all’equilibrio è dato da somma di tutte dpigrego, quindi integrale: Le componenti normali quando sono rivolte verso la superficie cioè compressione sono positive e quelle di trazione negative.

Studio del tetraedro di Cauchy

“Fi con n” varia al variare della posizione della superficie dA, ma varia anche in funzione di come è orientata dA nello spazio. Si studia il tetraedro di Cauchy: La superficie inclinata ha area dA, il punto considerato al centro terna è M. Come varia sforzo nel punto M al variare della superficie dA? n è la normale a dA. Per semplicità si riporta disegno tetraedro nel piano x-y: Il tetraedro è in equilibrio sotto azione delle forze di massa e superficie. Le forze di massa sono F (forze di massa per unità di massa). La formula intera con ro e spostamenti infinitesimi è la forza di massa sul tetraedro. Dobbiamo individuare le forze di superficie, cioè forze su 4 superfici tetraedro:

Individuiamo facce dAx (faccia che ha perpendicolare l’asse x), dAy e dAz che è superficie di base del tetraedro. Sulla faccia inclinata che ha come perpendicolare versore n, agisce “sforzo fi con n” che da luogo a spinta elementare indicata con 1) sul disegno. Sulle altre facce agiscono gli sforzi indicati in verde (sotto la 1).

Occorre esprimere quanto valgono quest’ultime attraverso la faccia dA. Individuando angolo alfa (in blu) e altri angoli fra asse x e y si ricavano quelli in rosso (angolo ottuso ny). Ne risulta che: Quindi si possono riscrivere le formule viste prima: L’equazione di equilibrio vuole che somma forze sia = 0. Le forze di massa sono proporzionali a prodotto dx*dy*dz. Le forze di superficie sono proporzionali a dA. Nella sommatoria si trascurano le forze di massa. Quindi la somma di superficie = 0:

La relazione riquadrata in rosso (molto importante) ci dice che sforzo agente su una faccia è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti sullo stesso punto su 3 facce tra di loro ortogonali. Il “fi con n” può essere diretto in modo qualsiasi. Se considero la relazione “fi con n” appena scritta, posso considerare le singole componenti lungo le singole direzioni:

I valori con pedici uguali sono sforzi normali, i pedici diversi sono sforzi tangenti alla superficie. Vengono anche chiamati sigma x, sigma y e sigma z (quelli uguali) e tau x, tau y e tau z (diversi). Se al variare dell’orientamento lo sforzo è sempre e solo normale, si dice che sistema è isotropo relativamente agli sforzi. L’intensità dello sforzo rimane costante e si chiama pressione: La seguente formula è detta fluidi in quiete.

Proprietà dei fluidi

• Densità: indicata con “ro”. Nel caso dell’acqua (valore da “sapere” per esame…): La densità dell’aria (anche questa da “sapere” per esame…): Nei liquidi “ro” è circa costante. La densità è influenzata sia dalla pressione che dalla temp. Questo legame esprime l’equazione caratteristica del fluido: In generale la densità diminuisce all’aumentare della temp. Fa eccezione l’acqua che max di densità a 4 gradi cent.
• Peso specifico: Siccome il Peso= massa*g (9,81 m/sec²), il peso specifico risulta: g=9.81 m/sec². Nel caso dell’acqua (valore “da sapere” …) Nel caso dell’aria (“sapere”)
• Comprimibilità: Immaginiamo di avere un liquido di volume W sul quale applico un incremento di pressione Ci aspettiamo una variazione di volume. La variazione di volume che si ottiene: è il modulo di elasticità di volume, oppure modulo elasticità a compressione cubica. Mettiamo il meno perché quando la pressione aumenta, il volume diminuisce. Da “sapere”...

Comprimibilità gas

Esempio: W=1l sul quale applichiamo Pa. Di quanto si riduce il volume? Dp=10⁵ = -0.5

Si è compressa poco, quindi si considera acqua un fluido incomprimibile. Riguardo ai gas, vediamo come varia la densità in funzione della pressione e temperatura. Usiamo l’equazione dei gas perfetti: PV=nRT Con R= 8312 J/mole*k (joule/mole * gradi kelvin). Dividiamo entrambi i membri per il peso: M*g = Peso e g=ρ*g

Per la comprimibilità gas vediamo come si calcola il modulo di comprimibilità per gas che seguono trasformazioni politropiche: Divido per il peso^n: Quando vario il volume per la compressione/decompressione, tengo la massa costante. La variazione di volume: M=ρ*W se la variazione di massa = 0 allora dM=0. Per dM=0 abbiamo: dρW+ρdW=0 che si può anche scrivere: Avendo la massa costante, la legge appena scritta unita al fatto che variazione di massa è nulla, permette di ottenere:

Ricordiamo: Otteniamo: Confrontiamo la parte in verde con 1) e troviamo: con n = indice trasformazione che segue (nella trasformazione adiabatica n=1); p = pressione (nei gas si richiede la Pressione Assoluta).

Ricordiamo che la pressione si misura in N/m². 1N/m² = 1 Pa, ma si può calcolare la pressione in altri modi:

• 1 atm = 101330 Pa
• 1 atm Tecnica = 1 Kg peso/cm²
• 1 bar = 10⁵ N/m²=100000 N/m²

Tensione superficiale

Quando fluido è a contatto con altro fluido sulla superficie di separazione si genera uno stato di tensione dovuto alla forza di coesione delle molecole. Se abbiamo una tazza piena d’acqua e facciamo un taglio che rompe questa membrana superficiale, per chiudere il taglio devo applicare una forza, data da: Sigma = tensione superficiale e L = lunghezza taglio Sigma = 0.072 N/m

Ciò rende conto sul fatto che la goccia ha una forma sferica. La sfera è quel solido che ha minor superficie a contatto con l’esterno. Precisamente la sfera presenta una P int (pressione interna) e una P est. Quindi si ha un il quale si Dp calcola con la legge di Laplace.

Legge Laplace: In cui R₁ e R₂ sono i raggi della sfera (i raggi sono uguali fra di loro). Queste forze di coesione sono responsabili del fatto di “bagnare o non bagnare” le pareti. Se mettiamo dell’acqua dentro un tubo:

Si genera una superficie di separazione fra H₂O e aria come si vede nel disegno. In questo caso “bagna” le pareti. La superficie di separazione si chiama menisco. Dal disegno ne risulta che P h₂O < P aria

Nel caso del mercurio: la curvatura è girata al contrario. In questo caso “non bagna” le pareti. Dal disegno ne risulta che P Hg > P aria. Per notare la differenza di pressione il tubo deve essere piccolo.

Viscosità

Per capire concetto viscosità consideriamo due cilindri coassiali in grado di girare uno rispetto all’altro. Lo spazio fra i due cilindri lo riempiamo con un fluido. Il triangolino significa che cambia fra un fluido all’altro (sotto acqua sopra aria). Inizialmente tutto è fermo. Iniziamo a mettere in rotazione il cilindro esterno con velocità Si osserva che si mantiene una aderenza fra fluido e parete. w. Quindi fluido rimane attaccato a parete e va anche lui in rotazione.

Dall’alto: Il trascinamento fra i vari strati dei fluidi portano a rotazione anche il cilindro interno. Tutto ciò nasce perché all’interno del fluido si trasmettono degli sforzi tangenziali. Se si vuole tenere fermo cilindro interno occorre applicare una coppia attraverso una forza T che, con suo braccio, si oppone a rotazione. T è direttamente proporzionale alla superficie laterale del cilindro interno, Risulta direttamente proporzionale alla differenza velocità del cilindro esterno – velocità cilindro interno (che può essere 0), È inversamente proporzionale alla distanza fra i due cilindri (il tutto dà la formula scritta).

Se lo studio si fa su due cilindri con raggi poco diversi: T AA = area dv= differenza velocità dn = differenza fra i raggi la proporzionalità si elimina se inseriamo la viscosità quindi: m, T * Se considerassimo lo sforzo agente sul cilindro (che è uniforme data la forma cilindro): Il “mu” si chiama viscosità dinamica e si misura in: Kg/m*sec m= nel caso dell’acqua e aria (da sapere):

Esiste anche la viscosità cinematica ed è data: nn= m/ρ si misura in m²/sec Nel caso acqua e aria (da sapere): H₂O = 10^-6 m²/sec n aria = 1.5 *10^-5 m²/sec n Gli sforzi tangenziali nascono a causa del fatto che i vari strati di fluido strisciano l’uno contro l’altro e quindi genera dv/dn.

Caratteristiche viscosità: la viscosità dipende da Temp, ma se siamo a temp costante i fluidi si differenziano grazie al comportamento della viscosità. Se la viscosità è costante abbiamo il comportamento dei “fluidi newtoniani”, ciò è visibile dal seguente grafico: Un esempio sono l’acqua, aria, glicerina, olio (sono newtoniani). Se invece abbiamo fluido che per piccoli gradienti di velocità oppone una piccola resistenza abbiamo una curva che non parte per origine, ma parte più in alto:

Fluidi bingham: Questi fluidi sono chiamati “bingham” ed un esempio è il dentifricio. Per applicare una deformazione occorre vincere una piccola resistenza interna al fluido. Esistono altri fluidi in cui la viscosità cambia in funzione della velocità di deformazione angolare (o del gradiente di velocità). Abbiamo due famiglie di curve: “fluidi pseudo plastici” I pseudo plastici hanno la caratteristica di essere molto viscosi e all’aumentare velocità deformazione viscosità diminuisce (grafico decresce). È un comportamento tipico di sostanze che possiedono polimeri.

Esistono anche i “fluidi dilatanti”. In questo caso la viscosità aumenta all’aumentare della velocità di deformazione. Questi fluidi hanno lo stesso comportamento indipendentemente dalla durata di dv/dn.

Fluidi in quiete/idrostatica

Quiete: non c’è velocità relativa fra una particella e l’altra che compone il fluido. Riprendiamo la legge di Newton: Se siamo in condizione di quiete abbiamo v = 0 e quindi dv/dn = 0. Ciò significa che per i fluidi in quiete gli sforzi tangenziali sono nulli: 0 (quindi abbiamo solo sforzi normali) t= Riprendendo le equazioni con le “fi” viste in precedenza:

Essendo il fluido in quiete tutte le tau sono nulle e quindi si eliminano. Riscrivendole: Le varie “fi x”, “fi y” e “fi z” sono le componenti dello sforzo “fi n” che agisce su faccia tetraedro cauchy che ha come perpendicolare il versore n. Poiché siamo in condizione di quiete “fi n” è diretto secondo la componente normale e ha come formula la !). Sapendo come è orientato “fi n”, posso scrivere le varie “fi” dirette lungo i tre assi x,y,z. Avendo queste ultime tre posso scrivere:

Vediamo queste relazioni separatamente. Dalla prima ottengo , dalla seconda , dalla terza . Mettendole insieme otteniamo che lo sforzo agente sui 4 elementi piani considerati sono tutti uguali. Quindi nel caso del fluido in quiete, il sistema è isotropo nei riguardi degli sforzi. Considerato un punto il valore dello sforzo è lo stesso qualunque sia la giacitura dell’elemento piano su cui vado a considerarlo. L’intensità dello sforzo si chiama pressione.

La pressione si misura: = 1 Pa si può misurare anche: 1 atm = 101330 Pa Vediamo ora distribuzione pressioni all’interno di un fluido in quiete. Ricaviamo l’equazione indefinita della statica. È equazione che considera l’equilibrio di un elemento fluido di dimensioni infinitesime e deve valere per tutti i punti del fluido (deve valere in tutti punti fluido e non in uno solo). In una massa fluida in quiete, consideriamo elemento di dimensioni infinitesime (un parallelepipedo di lati dx, dy, dz):

Questo elemento è in equilibrio per cui somma forze di massa + forze superficie = 0. Abbiamo la densità, il volume e la massa. Creiamo separatamente l’espressione per le forze di massa e poi quella per le forze di superficie.

Forze di massa

Le forze di massa che agiscono sul parallelepipedo sono:

Forze di superficie

Agisce solo lo sforzo normale, si prende in considerazione superficie di sx del parallelepipedo e su questa (di dimensioni dx*dz) agisce uno sforzo che ha intensità P. Considerando i versori i, j e k posso dire che lungo j agisce: P*dx*dz Sulla faccia opposta (quella di destra) agisce:

La spinta elementare lungo j: Sulla faccia di base e superiore: Spinta elementare lungo k: Infine lungo i: Queste trovate sono le forze di superficie. Le dobbiamo sommare. I primi termini di ogni equazione si semplificano. I risultati della semplificazione si sommano:

La somma delle forze di massa + somma forze superficie risulta: Si ricava così l’equazione indefinita della statica. Ipotizziamo che le forze di massa ammettano un potenziale: Se ciò è valido allora: Ciò significa che le superfici ad ugual pressione (isobariche, con gradiente = 0) devono essere una superficie equipotenziale. Se abbiamo una superficie equipotenziale abbiamo anche una superficie isobarica.

Poiché densità varia in funzione pressione e temperatura, a temp costante la densità è solo in funzione della pressione. Quindi se abbiamo superficie a pressione costante abbiamo anche una superficie a densità costante dette superfici isocore. La superficie libera a contatto con atmosfera è una superficie isobarica.

Ora riprendiamo equazione indefinita della statica e la andiamo a particolarizzare per una famiglia di fluidi utile per diverse applicazioni: Consideriamo fluido in quiete e considero che forze di massa sono dovute al campo gravitazionale, si dice fluido pesante: Sostituiamo nella formula precedente:

Ipotizziamo che il fluido abbia densità uniforme in tutta la sua massa e costante (detto omogeneo e incomprimibile). Si ricava: Quest’ultima relazione la si integra e si ottiene: Per un fluido incomprimibile in condizione di quiete, soggetto alle forze di massa dovute al campo gravitazionale, la somma di Z (posizione nello spazio o quota) con P/gamma si mantiene costante. Se diminuisco Z aumenta la pressione (Z è asse verticale nel nostro caso).

Immaginiamo di avere un recipiente chiuso, considero due punti A e B (misuro quota rispetto piano z=0): Conoscendo la pressione in B, posso ricavare la pressione in A con la relazione vista prima: Realizziamo il diagramma delle pressioni, in ascissa pressioni, ordinata le quote z: Maggiore è l’angolo sul grafico (gamma) maggiore è l’apertura del grafico.