Meccanica dei fluidi - fondamenti

FONDAMENTI DI MECCANICA DEI FLUIDI IDEALI

Prendiamo un tetraedro di liquido in quiete nel sistema di riferimento x,y,z: Φ

Φ

Φ

z Sul tetraedro agiscono le tensioni, , dall’equilibrio

zz

xx

yy

lungo gli assi x,y,z si ottiene:

Φ ∧ ∧ ∧

Φ = Φ + Φ + Φ

yy cos nx cos ny cos nz

Φ nx xx yx zx

xx ∧ ∧ ∧

Φ = Φ + Φ + Φ

cos nx cos ny cos nz

ny xy yy zy

x ∧ ∧ ∧

Φ = Φ + Φ + Φ

Φ cos nx cos ny cos nz

Φ nz xz yz zz

zz

y n

Da cui si ottiene il tensore delle tensioni dalla somma di due matrici, l’una rappresenta il caso

statico (dove fluido ideale e reale coincidono perché non ci sono cmq azioni tangenziali poiché il

fluido è fermo), l’altro invece rappresenta il caso dinamico (dove se il fluido fosse ideale le azioni

tangenziali sarebbero nulle e gli sforzi principali non sarebbero uguali fra loro).

Φ Φ Φ Φ − Φ Φ

   

 

p 0 0 p

xx xy xz xx xy xz

   

 

Φ Φ Φ Φ Φ − Φ

0 p 0

= + p

   

 

yx yy yz yx yy yz

   

Φ Φ Φ Φ Φ Φ −

 

0 0 p p

 

   

zx zy zz zx zy zz

Φ + Φ + Φ

= 1 2 3

p

So definisce la pressione come: 3

che dipende da dove mi metto ma non dal sistema di riferimento che scelgo. Infatti i tre sforzi

cambiano continuamente valore a seconda del sistema di riferimento ma la loro somma (e quindi la

loro media) rimane costante indipendentemente dalla terna di asso cartesiani presi come

riferimento.

Densità e peso specifico

1 kg

ρ = = 3

v m

N

γ ρ

= =

g 3

m V

= −

La densità di un liquido si può considerare indipendente dalla pressione in quanto: dV dp

ε

ε ≈ 9 5

dove 10 , pertanto ad una variazione di pressione di 10 Pa si ottiene una variazione di volume

3

pari ad appena 0,1 cm . Non è dunque errato considerare un liquido come incomprimibile.

TENSIONI SUPERFICIALI E VISCOSITA’ y Cilindro fermo

Cilindro in movimento

I liquidi si possono immaginare come composti a strati tra i quali sussistono tensioni superficiali.

Il cilindro interno è in rotazione e trasmette moto al fluido tra i due cilindri attraverso le azioni

tangenziali. Il fluido vicino al cilindro in rotazione avrà velocità maggiore mentre quello vicino al

cilindro fermo avrà velocità minore.

Dall’esperienza si comprende che le azioni tangenziali aumentano se la differenza di velocità nel

du

τ µ

=

fluido aumenta e diminuiscono se aumenta la distanza tra i cilindri. Pertanto si avrà: dy

Ns

µ =

dove è la viscosità del fluido ed è indipendente dal movimento

2

m

del fluido. µ 2

m

υ = =

inoltre è la viscosità cinematica.

ρ s

Queste tensioni tendono a deviare il fluido dalla sua direzione principale.

τ .

Un liquido è ideale se non ha azioni tangenziali di tipo

Vi sono altre sostanze (liquidi non newtoniani) in cui la viscosità non è indipendente dal moto e per

 

du

τ =  

f

i quali si ha la relazione:  

 

dy Bingham

tali fluidi sono:

- fluidi plastici alla Bingham

n

 

dy

τ τ

= +  

( )

k

o  

dh

- fluidi pseudoplastici

- fluidi dilatanti

EQUAZIONE FONDAMENTALE DELL’IDROSTATICA PER UN FLUIDO IDEALE

Prendiamo un cubetto di liquido in quiete nel sistema di riferimento x,y,z:

r

k z ∂ r

 

p

− + ⋅ ⋅ ⋅

 

p dx dy dz i

dz

r ∂

 

x

⋅ ⋅ ⋅

p dy dz i r

x i

dx

dy

r y

j r

r r

r r

= + + = − ∇

Consideriamo il vettore intensità del campo così definito: R X i Y

j Z k (gz ) che è definito

come una forza per unità di massa.

Supponiamo di scrivere gli equilibri delle forze che agiscono su di un elemento di

ρ

= ⋅ ⋅ ⋅ lungo le direzioni x,y,z, si ottiene:

massa dm dx dy dz

Componente del Pressione sulla

vettore intensità del Pressione sulla faccia ortogonale

campo lungo l’asse faccia ortogonale all’asse con

moltiplicata per la all’asse

massa l’incremento

∂

r r

 

p

ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ =

 

dx dy dz X p dy dz i p dx dy dz i 0

∂

 

x

∂

 

r r

p

ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ =

 

dx dy dz Y p dx dz j p dy dx dz j 0

 

∂

 

y

∂

r r

 

p

ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ =

 

dx dy dz Z p dx dy k p dz dx dy i 0

∂

 

z

Svolgendo i calcoli si ottiene:

∂

p

ρ ⋅ − =

X 0

∂

x

∂ ∂ ∂ ∂ r

r r r

r r

p p p p

ρ ρ ρ

⋅ − = ⋅ = + + ⋅ = ∇

Y 0 => si ottiene R i j k => R p eq. di Navier-Stockes

∂ ∂ ∂ ∂

y x y z

∂

p

ρ ⋅ − =

Z 0

∂

z

Si ottiene quindi: r

r r r p p

ρ ρ ∇ + = + =

∇ + =

− ⋅ ∇ = ∇ ( z ) 0 z h

( ) => ( gz p ) 0 => =>

gz p γ γ

PIANO DEI CARICHI IDROSTATICI RELATIVI E ASSOLUTI

p ( z )

+ =

ass

z h nella equazione appena ricava compare la p .

γ ass

=

Se metto la p ( z ) p :

ass a a

p p

+ = = +

a a

z H => H z è la quota del piano dei carichi idrostatici assoluti in cui ho la

γ γ

a a

pressione assoluta.

Posso ottenere una pressione relativa sottraendo alla pressione assoluta la pressione atmosferica (in

pratica opero una traslazione in basso pari al valore della pressione atmosferica).

− =

p ( z ) p p ( z )

ass a rel p ( z )

+ =

rel

Adesso nell’equazione metto la pressione relativa z h .

γ 0

= − = − = + =

In questa nuova situazione avrò che: p ( z ) p ( z ) p p p 0 => z h

γ

rel a ass a a a a a rel

Dove h è quota del piano dei carichi idrostatici relativi è coincide con la quota in cui ho la

rel

pressione atmosferica. Generalmente coincide con il pelo libero dell’acqua.

p

− = a

La differenza di quota tra i due piana è pari a: H h .

γ

rel

P.c.i. ass. p a

γ

H P.c.i. rel. p a

h

rel z a z = 0

p 100000 ≅

a

La quota per l’acqua vale: 10 metri.

γ 9810 kg

Poiché in condizioni ambiente l’acqua ha una densità di 1 :

l

kg m N

γ ρ

= = ⋅ =

g 1000 9

,

81 9810

quindi 3 2 3

m s m

p ( z )

+ =

rel

z h => è valida per tutti i punti del fluidi in stasi pertanto:

γ

p

+ =

A

z h

γ

A p

+ =

B

z h

γ

B

In particolare posso scegliere proprio il piano dei carichi idrostatici relativi dove la pressione

0

+ =

relativa è nulla: z h

γ

a ( )

p p p (z ) γ

= + = + = + = −

A B rel

Avrò pertanto: z z z e in generale z z => p ( z ) z z che

γ γ γ

a A B a rel a

mi indica che la pressione segue un andamento lineare con condizioni al contorno:

γ

=

per z = 0 => p z

max a

=

p 0

per z = z => min

a

Se mi interessa invece l’andamento intermini di pressione assoluta posso scrivere:

( )

γ

= + = − +

p ( z ) p ( z ) p z z p

ass rel a a a

Le due funzioni sono dunque identiche ma traslate di una quantità pari a p .

a P.c.i. ass.

P.c.i. rel.

p B

γ B

p a p A

γ

p (z )

ass A z B

p (z )

rel z A z = 0

Piezometro: strumento che mostra il livello del p.c.i. rel. del serbatoio.

P.c.i. rel. γ

Manometro semplice: strumento che contiene un fluido con diverso (generalmente superiore)

m

γ

da quello del liquido contenuto nel serbatoio. I due liquidi, non avendo lo stesso peso specifico,

non si mescolano. Essendo alla stessa quota i punti m e n hanno la

P.c.i. rel.1 =

stessa pressione: p p :

m’ m n

p p p γ

+ = + = ∆ = ∆

n n ' n

=> =>

z z p

γ γ γ

n n ' n m

h m m m

P.c.i. rel.2

n’ p p p γ

+ = + = =

'

m m m

∆ => =>

z z h p h

γ γ γ

'

m m m

m n γ

γ γ = ∆

= ∆ m

h

=>

h

z = 0 γ

m

∆

Leggendo il livello del manometro si risale al livello del piano dei carichi idrostatici relativi del

liquido nel serbatoio. strumento che fornisce il valore della pressione nel punto in cui è installato.

Manometro metallico: Il manometro metallico, se posto

sotto il serbatoio, misura la

pressione come se vi fosse altro

liquido oltre il serbatoio.

δ

Manometro differenziale: strumento che fornisce il dislivello tra i piani dei carichi idrostatici di

due serbatoi. P.c.i. rel.1 m’ δ P.c.i. rel.2 n’’

h

1 h

2

n’

∆ z = 0

m n =

Essendo alla stessa quota i punti m e n hanno la stessa pressione: p p :

m n

p p p

+ = + =

m m ' m

z z => h

γ γ γ

m m ' 1

p p p p

+ = + = ∆ +

n n ' n n '

=>

z z

γ γ γ γ

n n '

m m m m

p p p

+ = + ∆ + =

n ' n ' ' n '

=>

z z h

γ γ γ

n ' n ' ' 2

γ

= − ∆

( )

p h

n ' 2 γ γ

γ γ

γ γ −

⋅ − ∆    

( )

h ( h ) δ = ∆

− = ∆ −

= ∆ +    

m

1 2 h h 1

=> =>  

  γ

γ γ

γ γ 1 2  

 

m m

m m

Serbatoio aperto Serbatoio aperto con un Serbatoio chiuso

e libero carico A

p A p

γ − A

A γ

A

h h h

Il pelo libero coincide con il piano dei Il pelo libero è sotto il piano dei carichi Il pelo libero è sopra il piano dei carichi

carichi idrostatici. idrostatici. idrostatici.

La pressione del punto A è nulla. La pressione del punto A è positiva La pressione del punto A è negativa

(cioè il punto A è in pressione). (cioè il punto A è in depressione).

SPINTE y Ω

∫

= Ω = ⋅

Ω

S xd x

y G

Ω

∫

= Ω = ⋅

Ω

S yd y

x G

Ω

∫

= Ω = + ⋅

Ω

2 Y

2

I x d I x G

y 0 G

y

Ω

∫

= Ω = + ⋅

Ω

2

2

I y d I y

x 0 G

x x

Ω

r r

∫

= ⋅ ⋅ Ω

F p n d

i X

Ω G

Superfici piane:

Linea di sponda P.c.i. rel.

y x

G α =

x sen h

G G x

Ω

d

G

La linea di sponda è l’intersezione tra il piano dei carichi idrostatici relativi e la superficie su cui

sto lavorando.

r

La spinta sarà data dalla pressione per la superficie, ma poiché la pressione non è costante al

F

variare della profondità, devo ricorrere al peso specifico:

r γ α

= ⋅ Ω = ⋅ ⋅ ⋅ Ω

d

F p ( x ) d x sen d

Spinta infinitesima: i

r γ α γ α γ

∫

= ⋅ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ Ω

F sen x d x sen h

Spinta risultante: G G

Ω r

ε

Il centro di spinta ( ) è il punto di applicazione della spinta .

F r

Per ricavare il centro di spinta è sufficiente uguagliare il momento della spinta appena ricavata

F

ε

(il cui braccio è proprio l’ascissa del centro di spinta) con il momento della spinta infinitesima

integrata sulla superficie:

r r

ε γ ε γ α γ α

∫ ∫ ∫

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ Ω

2

F d

F x h x sen x d sen x d

=> G

Ω Ω Ω

γ α ε γ α ε

⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅ =

=> =>

x sen sen I x I

G y G y

Ω

2

I I

I x

ε ε

ε = = + = +

⋅ = 0 0

y y y

G x

=> => =>

S I G

y y S S S S

y y y y

Dunque si vede che il centro di spinta è più in profondità rispetto al baricentro.

Superfici curve

La spinta su una superficie curva viene determinata dalla somma di due spinte, una orizzontale e

una verticale.

Se proiettiamo la spinta nelle direzioni x,y,z otteniamo:

γ

∫

= ⋅ Ω = ⋅ ⋅ Ω

S p d h

x x x x

Ω x γ

∫

= ⋅ Ω = ⋅ ⋅ Ω

S p d h

y y y y

Ω y γ

∫

= ⋅ Ω = ⋅

S p d V

z z

Ω z

Le due componenti S e corrispondono alle spinte sulle componenti lungo x e lungo y della

S

x y

S rappresenta il peso del fluido. Da queste tre componenti se ne

superficie. La componente z

possono ricavare due, una orizzontale e una verticale:

= +

2 2

S S S

o x y

=

S S

v z =

In generale la non passa per il baricentro a meno che le componenti e non giacciono

S S S S

v z x y

sullo stesso piano orizzontale.

Si può quindi dire che la spinta su una superficie curva è ricondotta al calcolo di due spinte su una

superficie piana e al calcolo del peso del fluido.

Partiamo dall’equazione di Navier-Stockes:

r r

ρ ⋅ = ∇

R p

r r

ρ

∫ ∫

⋅ ⋅ = ∇ ⋅

R dV p dV

V V

Peso risultante delle forze contorno r r

∫ ∫

∇ ⋅ = − ⋅ ⋅ Ω

(insieme delle forze che agiscono su un volume di fluido) p dV p n d

Ω

V

r r

r r + =

= − P F 0

P F => c

c

F F

1 2 F F

1 2

P

r r

P F F

r r è la forza è la forza

1 2

F F che il liquido che la parete

è la forza è la forza

1 2 esercita sulla piana esercita sul

che la parete che la parete parete curva. liquido.

curva esercita sul piana esercita sul + + =

liquido. liquido. P F F 0

1 2

= − −

F P F

+ + = Il peso si sottrae perché non

P F F 0 1 2

1 2 c’è liquido.

= − − − = +

F P F F P F

=>

1 2 1 2

ε vert S vert D H

h

G oriz A

G

triangolo S oriz

ε oriz L

&