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NB: La derivata euleriana:

Definiamo il vettore velocità nel seguente modo:

r r

=

V V ( x , y , z , t ) r r

r r r r r

dx dy dz

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ k

V u i v j w k i j

dt dt dt

Definiamo la derivata euleriana in tal modo:

r r r r

⋅ ∂

r D

V d V V V

= = +

A dove s è il vettore che indica la direzione della traiettoria.

Dt dt s r r r r

 

∂ ∂ ∂

r r r r

d

V dx V dy V dz V

= + + +

 

A V V V

Esplicitando si ottiene:  

∂ ∂ ∂

dt ds x ds y ds z

 

Dove chiamiamo u,v,w le proiezioni della velocità lungo i tre assi:

r dx =

V u

ds

r dy = v

V ds

r dz = w

V ds r r r r

 

∂ ∂ ∂

r d

V V V V

= + + +

 

A u v w

 

∂ ∂ ∂

dt x y z

 

r

d V derivata locale

Il primo termine è la esprime l’accelerazione dovuta a una variazione di

dt

velocità nel tempo ed è non nullo solo se la velocità è varia nel tempo.

r r r

 

∂ ∂ ∂

V V V

+ +

 

u v w l’accelerazione convettiva

Il secondo termine è che tiene conto della

 

∂ ∂ ∂

x y z

 

variazione spaziali di velocità (cioè la velocità è cambiata perché è cambiata la posizione della

particella).

NB: Il piano osculatore:

Consideriamo il piano oscuratore, tg ad ogni punto della traiettoria di una particella di fluido

soggetta ad accelerazione. Su questo piano giace sempre l’accelerazione della particella che è

inoltre possibile scomporre lungo tre direzioni ortogonali tra loro:

x Piano osculatore n b s

y

z

Le componenti sono:

r = comp normale alla traiettoria

n

r = comp tangenziale alla traiettoria

s

r =

b comp ortogonale al piano oscuratore

= raggio del piano oscuratore

r r

r 2

u Du

r r

= ⋅ + +

A b n

Normalmente si scompone l’accelerazione lungo di esse: 0 s

r Dt

Proviamo ora a scomporre la relazione trovata lungo le componenti del piano osculatore:

∂ p p

+ = + =

z =>

- ( ) 0 z h se mi muovo lungo b, per un fluido in movimento l’andamento

γ γ

b

della pressione è lo stesso di un fluido statico. Pertanto il piano dei carichi idrostatici relativi è

costante.

∂ ∂     B

2 2 2

p u p u p p u

+ = − + = + − + =

   

A B

z z

( ) ( )

- => => se mi muovo lungo

z z

   

γ γ γ γ

∂ ∂ A B

   

n gr r gr gr

A

n, per un fluido in movimento il piano dei carichi idrostatici relativi è costante solo se la curvatura

1 è nulla, cioè la condotta è perfettamente rettilinea.

r La piezometrica è La piezometrica non

costante è costante

L’andamento della pressione è

lineare e i piezometri segnano la L’andamento della

stessa quota pressione non è lineare e

i piezometri non

segnano la stessa quota

∂ p 1 Du

+ = −

( z ) => usando la derivata euleriana di velocità si ottiene:

- γ

s g Dt ∂

∂ ∂ ∂

  2

p u 1 du

p 1 u u + + = −

+ = − +

  ( z )

=>

( z ) u γ

γ ∂

∂ ∂ ∂

  s 2 g g dt

s g t s

supponendo di essere in moto permanente, cioè che la velocità non varia rispetto al tempo, si

2

p u

+ + =

z H

ottiene: γ 2 g

NB: H è costante solo per una particella, per due o più particelle questa relazione non vale!!!

Il termine di Bernoulli da anche una rappresentazione dell’energia della particella dove:

- z esprime l’energia potenziale

γ

- p / esprime l’energia legata alla pressione

2

u / 2 g esprime l’energia cinetica

- Linea dei carichi totali

2

u A

2 g 2

Piezometrica u B 2

u

2 g C

g

2

p A

γ p B

Traiettoria γ p

z C

A γ

z B z C

z = 0 La relazione finora ricavata vale per una singola

particella di fluido. Cerchiamo ora di estenderla a un

Ω dQ volume finito (cioè ad una corrente di fluido):

dQ è la portata infinitesima associata a una singola

Ω .

particella che attraversa la superficie

Si definisce la potenza della portata di una singola

particella rispetto alla superficie attraversata:

2 2

p u p u

γ γ

= + + = + +

dW ( z ) dQ W ( z ) dQ

=>

γ γ

2 g 2 g

Q

Supponiamo che le traiettorie siano ortogonali alla sezione, rettilinee e parallele tra loro, di modo

∂ ∂

2

p u p

+ = − + =

( z )

che: => ( z ) 0

γ γ

∂ ∂

n gr n 3

u

∫ Ω

d

 

    3

2 3 2 g

p u p u p Q u

γ γ γ γ γ γ

∫ ∫ ∫

= + + = + + Ω = + + =

      m

W z dQ dQ z Q d z Q

     

γ γ γ ⋅ Ω 3

     

2 g 2 g 2 g

u u

Ω m

Q Q m

2 g

3 3

u u

∫ Ω γ

∫ Ω

d d

 

   

2 2 2

2 g

p u p u p u 2 g

α

γ γ γ γ α γ α

  =

+ + = + + = + +

   

m m m dove

z Q Q Q z Q Q z

 

   

γ γ γ 3

3  

  2 g 2 g 2 g u

u   γ Ω

Ω m

m 2 g

2 g

α

Tanto più si avvicina a 1 tanto più il fluido dispone di una distribuzione di velocità costante:

α α

= = Moto turbolento

2 1

u u

m m

α

NB: = Potenza cinetica effettiva della corrente diviso la potenza cinetica di una corrente di ugual

portata ma con velocità costante nella sezione.

α=1

Nel moto uniforme turbolento α=2

Nel moto uniforme laminare per condotti a sezione circolare α=3

Nel moto uniforme laminare per condotti a sezione rettangolare infinitamente larga

Adesso si vuole estendere l’equazione di Navier-Stockes a un volume finito di fluido:

r

r r

ρ ⋅ − = ∇

( R A

) p r

r r

ρ ρ

⋅ − ∇ − ⋅ =

R p A 0 r

r r

ρ ρ

∫ ∫ ∫

⋅ − ⋅ ⋅ Ω − ⋅ =

R dV p n d A dV 0

V V

I primi due termini sono noti (vedi spinte su superfici), il terzo termine si può scrivere sfruttando la

derivata euleriana:

r r r r

∂ ∂ ∂ ∂

 

r r u u u u

ρ ρ

∫ ∫

− − ⋅ − + + ⋅

 

P F dV u v w dV

 

∂ ∂ ∂ ∂

C  

t x y z

V V

Dei due termini non ancora noti il primo rappresenta l’inerzia I (perché , poiché rappresenta la

variazione di velocità nel tempo è il termine legato all’accelerazione del fluido)

r r r

∂ ∂ ∂

 

r r u u u

ρ

− − − + + ⋅ =

 

P F I u v w dV 0

 

∂ ∂ ∂

C  

x y z

V

L’ultimo termine deve essere dimostrato:

( )

r r ∂

∂ ∂ ⋅ ∂ ∧

    r r u

r

u u u u ρ ρ

ρ ρ ∫ ∫

∫ ∫ − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

− ⋅ − − ⋅

    u u cos nx d u dV

u dV = u dV = ∂

∂ ∂ ∂

    x

x x x Ω V

V V ( )

r r ∂

∂ ∂ ⋅ ∂

    ∧

r r v

r

u u v v ρ ρ

ρ ρ ∫ ∫

∫ ∫ − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

− ⋅ = − − ⋅ =

    u v cos ny d u dV

v dV u dV

    ∂

∂ ∂ ∂

    y

y y y Ω

V V V

( )

r r ∂

∂ ∂ ⋅ ∂ ∧

    r r w

r

u u w w ρ ρ

ρ ρ ∫ ∫

∫ ∫ − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

− ⋅ = − − ⋅ =

    u w cos nz d u dV

w dV u dV ∂

∂ ∂ ∂

    z

z z z Ω

V V V

Sommiamo i tre termini:

r r r ∂

∂ ∂ ∂

  ∧

∧ w

r r

v

r r

u

r r

u u u ρ ρ

∫ ∫

− ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

ρ ρ

ρ ρ ∫ ∫

ρ − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

∫ ∫

− ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅

− + + ⋅ =

  u w cos nz d u dV

u v cos ny d u dV

u u cos nx d u dV

u v w dV

  ∂

∂ ∂ ∂ z

  y

x

x y z Ω

Ω V

V

V

V r r r ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

  ∧ ∧ ∧ u v w

r r r r r r

u u u ρ ρ ρ ρ ρ ρ

ρ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ − ⋅ − ⋅

− + + ⋅ =

  cos cos cos

u u nx d u v ny d u w nz d u dV u dV u dV

u v w dV

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

x y z x y z

Ω Ω Ω

V V V V

Poiché ∧ ∧ ∧

= ⋅ + ⋅ + ⋅

u u cos nx v cos ny w cos nz

- (cioè la proiezione della velocità lungo la direzione normale)

n ∂ ∂ ∂

r u v w

= + + =

- div (

u ) 0 per liquidi incomprimibili

∂ ∂ ∂

x y z

r r r

∂ ∂ ∂

  ( )

r r r

u u u r

ρ ρ

ρ ρ

∫ ∫

− ⋅ ⋅ Ω − ⋅ ⋅

− + + ⋅ = − ⋅

  u u d u div u

u v w dV = u dQ

 

∂ ∂ ∂ n

 

x y z Ω

V Q

r r r

∂ ∂ ∂

  r

u u u r ρ

ρ ρ ∫

∫ ∫ −

+ + ⋅ = ⋅

  M M

u dQ

= =

u v w dV u dQ

 

∂ ∂ ∂ 1 2

 

x y z Ω

V Q

Questo termine rappresenta la differenza tra le quantità di moto della portata entrante e della portata

uscente.

r r

+ + + − =

P F I M M 0

C 1 2

Per utilizzare la relazione ricavata supponiamo di prendere un serbatoio a portata costante

(aggiungiamo liquido eventualmente per evitare che il livello cambi), al quale applichiamo un foro.

In tale situazione la relazione che possiamo scrivere è (poiché il liquido è in quiete):

r r

+ =

P F 0

C

Da cui ricaviamo la forza che il liquido esercita sul fondo:

r r r

= − =

F F P

C C

iniz Sezione contratta

oltre la quale si

esaurisce la

curvatura del fluido.

Si trova a 0,62 della

sezione del foro.

Ora supponiamo di togliere il tappo e lasciare defluire il liquido sempre alimentando il serbatoio in

modo da mantenere il livello costante otteniamo:

r r

+ − =

P F M 0

C 2

Dove sono nulle l’inerzia (perché supponiamo che il liquido scenda a velocità costante) e la quantità

di moto in ingresso (perché la velocità è zero e la portata è costante) da cui ricaviamo l’azione del

liquido sul foro:

r r r

= − = −

F F P M

C C 2

fin

La differenza di queste due azioni (prima e dopo l’apertura del foro) mi rappresenta la reazione del

flusso:

r r r

= − = − − = −

R F F P M P M

c c 2 2

fin iniz

FONDAMENTI DI MECCANICA DEI FLUIDI REALI

Lo studio dei fluidi reali presuppone il movimento degli stessi, poiché in condizioni statiche un

fluido ideale coincide con uno reale.

Nel caso di fluido reale il tensore delle tensioni assume la sua forma completa poiché compaiono i

termini legati agli sforzi tangenziali:

Φ Φ Φ

 

xx xy xz

 

Φ Φ Φ G

 

yx yy yz

 

Φ Φ Φ

 

zx zy zz

li sforzi tangenziali si possono ricavare nel seguente modo:

Considero due segmenti infinitesimi di particelle dx e dy ortogonali tra loro e le loro deformazioni

dovute alle velocità u e v:

y

dy x

dx

y y

 

u ⋅

 

dy dt

∂ β

⋅  

y

u dt ∂

 

v

A ⋅

 

dx dt

 

x

α

dy ⋅

⋅ v dt

v dt

B B A

u dt dx

x x

  ∂

 

u v

   

dy dt

  dx dt

∂ ∂ ∂

   

y u v

x

α α β β

≅ = = ≅ = =

tg dt tg dt

∂ dx x

dy y π

Per ottenere la deformazione angolare facciamo la differenza tra l’angolo iniziale ( ) e quello

2

π π π ∂ ∂

 

u v

α β α β α β

− − − − − = − + = − +

 

finale ( dt

) da cui ottengo: ( )  

∂ ∂

 

y x

2 2 2

Pertanto, moltiplicando tale deformazione per la viscosità si ottiene lo sforzo tangenziale che si

oppone al moto lungo x; ed eseguendo la medesima operazione per gli altri sforzi si possono

ottenere tutti i termini della matrice:

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

     

u v v w w u

µ µ µ

Φ = Φ = − + Φ = Φ = − + Φ = Φ = − +

     

; ;

    ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

xy yx yz zy zx xz  

   

y x z y x z

Dove i termini tra parentesi rappresentano non gli angoli ma le velocità di deformazione angolare.

EQUAZIONI FONDAMENTALI DELL’IDRODINAMICA PER FLUIDO REALE

È necessario aggiungere alla relazione dei fluidi ideali un termine legato alla viscosità:

r

r r r r

ρ µ

⋅ − = ∇ − ∇ 2

( R A

) p u

eq. di Navier-Stockes:

Tale termine scritto può essere semplificato facendo le seguenti ipotesi:

( ) ( ) ( )

r r r

r r r

∂ + + ∂ + + ∂ + +

r 2 2 2

r u i v

j w k u i v

j w k u i v

j w k

∇ = + +

2 u

- moto rettilineo e uniforme => =

∂ ∂ ∂

2 2 2

x y z

∂ ∂ r

2 2

u u

+ ∇ 2 u

=

∂ ∂

2 2

y z r r r

ρ µ

⋅ = ∇ − ∇ 2

R p u

( ) (dove è nulla anche l’accelerazione).

Dunque la nostra relazione diventa: ∂  

p

= +

 

i z

Definiamo la pendenza motrice cioè un termine che mi dice quanto carico perdo (in

 

γ

∂  

s

termini di piezometrica) rispetto alla distanza orizzontale percorsa della condotta (unita di misura

m/m) µ r

p

∇ + = − ∇ 2

z u

( )

γ γ

Se il moto è rettilineo proiettiamo il tutto lungo la direzione s della traiettoria (componente tangente

del piano oscuratore):

µ µ γ

∂ r r r

p i

+ = − ∇ = = − ∇ ∇ = −

2 2 2

z u i i u u

( ) => =>

γ γ γ µ

s

Moto uniforme di un liquido reale in un condotto rettangolare sottile e infinitamente largo

y y u m

x

h z

l γ

∂ ∂

2 2

u u i

+ = −

Devo risolvere :

∂ ∂

2 2

y z u γ

∂ ∂

2 2

u u i

+ = −

poiché il moto è uniforme lungo x abbiamo: perché il condotto è molto largo e si

∂ ∂

2 2

y z u

può considerare costante lungo z.

Integro: γ

u i

= − +

y A

y u γ

1 i

= − + +

2

u ( y ) y Ay B

2 u

Per avere andamento parabolico di quel tipo ricavo A = 0.

γ

1 i

= 2

Per y = h/2 (sulle pareti) si ha u = 0 da cui ricavo B h :

4 u

γ  

2

1 i h

= −

 

2

u ( y ) y

Dunque l’andamento è del tipo:  

µ  

2 4

γ

1 i

= 2

u h per y = 0.

µ

max 8 γ

1 i

= 2

u h cioè 2/3 della velocità massima.

µ

m 12

Moto uniforme di un liquido reale in un condotto circolare

y = R u m

D z x

γ

∂ ∂

2 2

u u i

+ = −

Devo risolvere :

∂ ∂

2 2

y z u γ

 

1 d du i

= −

 

Passiamo alle coordinate polari: dove R è il raggio della sezione.

R

 

R dr dR u

γ

 

d du i

= − ⋅

 

Ottengo quindi: R R

 

dr dR u

Integro: γ γ

du i 1 i

= − ⋅ = − ⋅ +

2

R R dR R A

dR u 2 u

γ γ

1 i A 1 i

= ⋅ + = − ⋅ + +

2

R A ln R B

u ( R ) R

2 u R 4 u

Per avere andamento parabolico di quel tipo ricavo A = 0. γ

D 1 i

= 2

Per R = (sulle pareti) si ha u = 0 da cui ricavo B D :

2 16 u

γ  

2

1 i D

= −

 

2

u R

Dunque l’andamento è del tipo:  

µ  

4 4

γ

i

1

= 2

u D per R = 0

µ

max 16

γ

i

1

= 2

u D cioè metà della velocità massima.

µ

m 32 sezione _ condotta

=

NB: Raggio idraulico R

i perimetro _ bagnato

⋅ ⋅

l h l h h

= = =

Per sezione rettangolare inf. larga: R +

i 2

l 2 h 2

l 2

π 2

D D

4

= =

R

Per sezione circolare: π

i D 4 =

La relazione che lega i due raggi idraulici è quindi: D 2 h

λ

Indice di resistenza (calcolato su una lunghezza convenzionale pari a D per la condotta circolare

e 2h per quella sottile):

Per condotte circolari Per condotte rettangolari inf. larghe

µ µ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 R i 4 R i

32 u 2 h i 12 u

λ λ

= = = = =

i

i m

m

dove i : dove i

γ γ

⋅ ⋅ 2

2 2 2

2 D ( 2 h )

u u u

m m

m

2 g 2 g 2 g

µ

⋅ ⋅

 

D i u 2 g 64 64

λ = = ⋅ ⋅ ⋅ = =

 

m

D 32

  µ

⋅ ⋅

⋅ ⋅

ρ  

⋅ ⋅

γ ⋅ 12 u

2 2 96 96

h i g

2 2

2 D u

  λ

D Re

u u = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

 

m 4 2 h

m  

m m ρ ⋅ ⋅

γ ⋅

µ 2 2

2 2 h u

 

( 2 ) Re

h u

u

2 g m

m m µ

2 g

λ λ

=96/Re

λ

=64/Re Re

2500

Questo rappresenta la parte laminare del diagramma di Moody in cui ho messo in relazione l’indice

di resistenza con la numero di Reynolds. La condotta circolare e quella sottile rappresentano gli

estremi, tutte le altre condotte si trovano tra queste due.

MOTO TURBOLENTO

Oltre un determinato valore del numero di Reynolds si esce dal campo laminare e si entra in regime

di turbolenza. Le equazioni di Navier-Stockes sono ancora valide. La turbolenza è mediamente

maggiore sull’asse centrale della condotta dove la velocità è maggiore. Un metodo per ricavare le

velocità di turbolenza u’,v’,w’ è utilizzare la scansione a raggi X che perturbano poco lo spazio in

esame. Acqua

Acqua

Liquido Liquido

colorato colorato

Moto laminare Moto turbolento

Velocità basse Velocità elevate

Re < 2500 Re >> 2500

r

r r r

ρ µ

⋅ − = ∇ − ∇ 2

Adattiamo l’eq di Navier-Stockes ( R A

) p u ad un volume finito di fluido in moto

turbolento: r

∂ ∂

r r r

u u

ρ ρ ρ µ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⋅ + ⋅ ⋅ Ω − ⋅ + ⋅ ⋅ Ω − Ω =

R dV p n d dV u u d d 0

∂ ∂

n

t n

Ω Ω Ω

V V Q più una quantità

In un moto turbolento ogni grandezza generica Q varia di una quantità media

= +

dovuta alle turbolenze Q ' tale che: Q Q Q ' . Si dimostra però che in un intervallo di tempo

finito la quantità Q ' tende a zero (il contributo della turbolenza è nulla). Applicando tale concetto

alla relazione di sopra si ottiene:

r

ρ

∫ ⋅

- R dV il peso non cambia e rimane invariato

V r r

∫ ∫

⋅ ⋅ Ω ⋅ ⋅ Ω

= + =

p n d p n d

- dove p p p ' p =>

Ω Ω

r r

∂ ∂

u r r r r u

ρ ρ

∫ ∫

⋅ ⋅

= + =

dV dV

- dove u u u ' u =>

∂ ∂

t t

V V

+ + +

( ) ( )

t dt t dt t dt

( )

r r r r r r r

r

ρ ∫ ∫ ∫ ∫

⋅ ⋅ Ω ⋅ = + ⋅ + = + + + =

u u d u u u u ' u u ' dt u u u u ' u ' u u ' u ' dt

- dove

n n n n n n n n

Ω t t t

+ +

( ) ( )

t dt t dt

r r r r r r r r

∫ ∫

= + + + = + = +

u u u u ' u ' u u ' u ' dt u u u ' u ' dt u u u ' u '

n n n n n n n n

t t

( ) ( )

r r r r

ρ ρ ρ

∫ ∫ ∫

⋅ ⋅ Ω + Ω Ω

− +

' ' ' '

u u d u u u u d u u d

M M

quindi = =

n n n n

1 2

Ω Ω Ω

r r

∂ ∂

r r r r

u u

µ µ

∫ ∫

Ω = + = Ω

d u u u u d

- dove ' =>

∂ ∂

n n

In definitiva la nuova relazione diventa:

r r

∂ ∂

r r r

u u

r r

ρ ρ µ

∫ ∫ ∫ ∫

+ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ + − + ⋅ Ω − Ω =

' ' 0

P p n d dV M M u u d d

∂ ∂

n

1 2

t n

Ω Ω Ω

V

MOTO TURBOLENTO IN UN CONDOTTO CILINDRICO:

l

r

n Ω b

R

z

1 z 2 α x

r ρ γ α

= − ⋅ ⋅ = ⋅ Ω ⋅ ⋅

P dV g l sen

b

( )

r

∫ ⋅ ⋅ Ω = − ⋅ Ω

p n d p p b

1 2

Ω r

u

ρ ∫

− ⋅ =

dV 0 perché il moto è uniforme (la velocità non varia nel tempo).

t

V

r r

− =

M M 0 perché il moto è stazionario (portata entrante uguale a quella uscente).

1 2

r r

ρ ρ

∫ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Ω

u ' u ' d u ' u ' l c dove c è la circonferenza della sezione .

b

n x n

Ω r r

∂ ∂

u u

µ µ

∫ Ω = − ⋅ ⋅

x

d l c

∂ ∂

n n

Ω r

u

r

γ α ρ µ

Ω + Ω − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

x

l p p u u l c l c

Si ha quindi: sin ( ) ' ' 0

1 2

b b x n n

   

p p

+ − +

   

α 1 2

z z

⋅ = −     r

γ γ γ Ω ∂

l sin z z

poiché => 1 2

    u

r

ρ µ

= − ⋅ ⋅ +

b x

1 2 u ' u ' ∂

x n

l c n r

    ∂

p p

Ω + − + u

    r

1 2

z z γ ρ µ τ

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =

= γ γ x

1 2

b i R u ' u '

poiché e =>

R     = ∂

i x R

i

i R

c l

r

ρ ⋅ ⋅

u ' u ' γ

x R i R

Andamento di i

Turbolento Viscoso

Tratto laminare

Per piccole velocità, lo sforzo viscoso è prevalente, per grandi velocità è invece trascurabile a meno di uno strato detto laminare adiacente alle pareti

u ' della velocità sono sempre e cmq nulle.

che è esclusivamente viscoso perché le componenti normali di agitazione n

r

τ ρ

= ⋅ ⋅

u ' u '

Nel moto turbolento avremo dunque: x R τ

r =

= ⋅ u '

u ' u ' u ' da cui si ricava:

Chiamo velocità efficace ρ

e

e x R u '

Supponiamo che esista una particella che si muove trasversalmente alle altre con velocità ,

e

questa disperderà tale velocità in un tratto pari a l che cresce mano a mano che mi allontano dallo

= + + ≅ ⋅

2 3

l ky ay by ... k y

strato laminare, tale per cui si può scrivere :

du du

= = ⋅ ⋅

u l k y

'

e dy dy τ

=

* 0

u

Definiamo ora la velocità do attrito: che è la velocità legata alla sforzo tangenziale in

ρ

prossimità dello strato laminare.

= *

u ' u

Poniamo (perché è vero i prossimità dello strato vicino alla parete) e otteniamo:

e y

* u ( y ) 1 y

( ) 1 1

u y

du du u =

=

=

= ⋅ ⋅

* ln

dy

u k y => => =>

⋅ *

* u k y

u k y

dy dy k y 0

y 0 r ⋅

u ' u '

Che mi informa che l’andamento del termine lungo y non è parabolico ma logaritmico,

x R

dove: = =

y y u 0

per =>

0 = −∞

u

per y = 0 => il che fa comprendere che la relazione è valida solo oltre lo strato

laminare.

Tale relazione, per le ipotesi prese in considerazione, varrebbe soltanto per un tratto molto vicino

= *

u ' u

allo strato laminare (perché ), ma in realtà si vede che è un’approssimazione abbastanza

e ≅ ⋅

l k y

buona di tutto il tratto. Del resto anche è un’approssimazione del primo ordine per cui si

può dire che i fattori si compensano.

Nikuradse fu il primo ad analizzare l’effetto della scabrezza della superficie di una tubazione. Egli

prese tubazioni di diverso diametro facendo aderire sulle superfici tramite collante, una sabbia con

granelli di diametro rigorosamente costante. Riportò una serie di curve relative a valori diversi di

scabrezza a formare la cosiddetta arpa di Nikuradse.

CASO DI TUBO SCABRO:

Per velocità basse il moto è laminare.

Aumentando la velocità emergono

prima le punte maggiori e via via

quelle sempre più piccole:

CASO DI TUBO CON GRANELLI

DI SABBIA:

Per velocità basse il moto è laminare.

Aumentando la velocità il moto

interessa assieme tutte le sferette di

sabbia. A d un certo punto

comandano tutte assieme.

DIAGRAMMA DI MOODY

λ ε

Tubo

96/Re liscio λ ε

=f(Re, ) D

λ ε

=f( )

64/Re λ = f (Re)

Turbolento Re

Laminare 5 7

2000 10 10

- per Re < 2000 il moto è laminare (valgono le relazioni del moto laminare) e l’indice di

λ (Re)

resistenza è funzione solo del numero di Reynolds .

- per Re > 2500, il moto è turbolento, dove gli andamenti non sono più rettilinei perché

dipendono anche dalla scabrezza, ogni curva rappresenta un valore diverso di scabrezza.

λ

- La linea tratteggiata separa il tratto delle curve in cui dipende anche da Reynolds, dai

λ dipende solo più dalla scabrezza.

tratti (rettilinei orizzontali) in cui

Esiste una formula interpolatoria di tutte queste curva detta formula di Colebrook e White:

ε

 

1 2

,

51

= − +

 

2 log ⋅

λ λ

 

3

, 715 D

Re

Tale formula può essere riadattata a seconda dei casi:

λ =

Per la tubazione liscia ( f (Re) ): 0

,

316

λ =

< < 5

Per 4000 Re 10 => Formula di Blasius => 0 , 25

Re 0

, 221

λ

< < = +

5 7

Per 10 Re 10 => Formula di Nikuradse => 0

, 0032 0 , 237

Re

8 g

χ =

λ

Altri metodi per ricavare in moti turbolenti e tubi scabri: λ

87

χ = 1 / 2

γ

Formula di Bazin: dove R è il raggio idraulico e un coefficiente [ ].

m

γ

+

1 R

Dim: che la formula non può essere :

87

χ = γ

1 R

g

2

λ = ⋅ ⋅ g

8 8 g χ χ

χ > >

= ⋅ =

R i

4 R R

u R i

Sapendo che => dove -Se prendo => =>

i λ λ

2 1 2 1 2

m i

u m

λ λ

< <

R R

Se guardo sul grafico però leggerei esattamente il contrario cioè , pertanto non è possibile.

1 2 1 2

87

χ =

Formula di Cutter: dove R è il raggio idraulico e m un coefficiente in relazione al

m

+

1 R

materiale. 1

χ −

= ⋅ ⋅

1 / 3 1

Formula di Strickler: dove C è un coefficiente [ ]

c R m s

6

i

Ricavo la pendenza motrice: λ 2

2 g u

λ = ⋅ ⋅ = m

4 R i i

=> =>

i 2 4 R 2 g

u i

m

λ 2 2 2 2

u u u Q

= = = = =

m m m

i π

χ

⋅ ⋅ 1 4 2

2 D

g R R

8 1

⋅ ⋅

2 ⋅ ⋅ ⋅

c R R 2

i i c R R

3 3

i i i i 16

1

⋅ ⋅ ⋅

2 2 2

3

Q Q 16 4 4 Q

β

= = =

π

4 2 1 5 , 33

D

1 D

⋅ ⋅ ⋅ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 4

c R R 3

c D D D

3

i i 16

La formula di darcy in generale vale:

2

Q

χ β β π

= = = 2 2

Formula di Darcy: dove c

n

D

BRUSCO ALLARGAMENTO DI SEZIONE

1 l

Ω A

p Ω

1 2

p 2 r

∂ ∂

v r r

u u

ρ ρ µ

∫ ∫ ∫ ∫

+ ⋅ ⋅ Ω − ⋅ + − + ⋅ ⋅ Ω − Ω =

P p n d dV M M u ' u ' d d 0

1 2

∂ ∂

n

t n

Ω Ω Ω

V

Dai risultati sperimentali si ha:

v r

+ ⋅ ⋅ Ω + − =

P p n d M M 0

1 2

γ ρ

Ω − + − Ω + − = Ω = Ω + Ω

( z z ) ( p p ) Q (

u u ) 0 dove

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 A

 

 

p p

γ ρ

Ω + − + = ⋅ ⋅ Ω −

 

1 2

 

z z u (

u u )

 

γ γ

2 1 2 2 2 2 1

 

 

ρ

  ⋅ ⋅ −

 

p p u (

u u )

+ − + =

 

1 2 2 2 1

 

z z

 

γ γ γ

1 2

 

 

u <

− = − <

2 u u

la piezometrica sale perché !

h h (

u u ) 0 2 1

1 2 2 1

g ( )

  2 2 2

2 2 u u 1 u u

p u p u u La linea dei

+ − = − + − = >

 

+ + − + + = − 2 2 2

1 2 1 2

1 1 2 2 2 ( 2

u 2

u u u u ) 0

z z ( u u )

 

γ γ 2 1 2 1 2

1 2 2 1 2 g 2 g 2 g 2 g

2 g 2 g g

 

carichi totali scende!

2 2

   

2 2 2

u

u u u ξ

∆ =

∆ = − ∆ = −

 

 

2 1 2 2 H

H 1 => H 1 =>

   

Ω 2 g

2 g u 2 g

   

2 1


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DESCRIZIONE APPUNTO

Fondamenti teorici del corso di meccanica dei fluidi tenuto dal prof. Butera per gli iscritti del 2008.

L'insegnamento ha lo scopo di fornire le conoscenze di base delle proprietà dei fluidi comprimibili e incomprimibili e del loro comportamento. In particolare sono forniti gli strumenti di base necessari per affrontare problemi dell'idraulica quali il calcolo delle spinte dei fluidi in condizioni statiche o dinamiche e lo studio del moto dei fluidi reali nei sistemi di condotte in pressione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher steo_berto di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Meccanica dei fluidi e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino - Polito o del prof Camporeale Carlo Vincenzo.

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