Meccanica dei fluidi - fondamenti

S S

v z =

In generale la non passa per il baricentro a meno che le componenti e non giacciono

S S S S

v z x y

sullo stesso piano orizzontale.

Si può quindi dire che la spinta su una superficie curva è ricondotta al calcolo di due spinte su una

superficie piana e al calcolo del peso del fluido.

Partiamo dall’equazione di Navier-Stockes:

r r

ρ ⋅ = ∇

R p

r r

ρ

∫ ∫

⋅ ⋅ = ∇ ⋅

R dV p dV

V V

Peso risultante delle forze contorno r r

∫ ∫

∇ ⋅ = − ⋅ ⋅ Ω

(insieme delle forze che agiscono su un volume di fluido) p dV p n d

Ω

V

r r

r r + =

= − P F 0

P F => c

c

F F

1 2 F F

1 2

P

r r

P F F

r r è la forza è la forza

1 2

F F che il liquido che la parete

è la forza è la forza

1 2 esercita sulla piana esercita sul

che la parete che la parete parete curva. liquido.

curva esercita sul piana esercita sul + + =

liquido. liquido. P F F 0

1 2

= − −

F P F

+ + = Il peso si sottrae perché non

P F F 0 1 2

1 2 c’è liquido.

= − − − = +

F P F F P F

=>

1 2 1 2

ε vert S vert D H

h

G oriz A

G

triangolo S oriz

ε oriz L

ε vert ε oriz

G

triangolo H

=

h

G oriz 2

H

γ γ

= ⋅ ⋅ Ω = ⋅ ⋅ ⋅

S h H L

oriz G oriz 2

2

ε = che coincide con l’ordinata del baricentro del triangolo.

H

oriz 3

γ γ

= ⋅ = ⋅ ⋅

S V A L

vert 1

ε = D coincide con l’ascissa del baricentro del triangolo ma verso il basso (perché il centro di

vert 3

spinta è in profondità rispetto al baricentro h

G oriz

EQUAZIONI FONDAMENTALI DELL’IDRODINAMICA PER FLUIDO IDEALE

r

Prendiamo un cubetto di liquido soggetto ad accelerazione nel sistema di riferimento x,y,z:

A

r

k z ∂ r

 

p

− + ⋅ ⋅ ⋅

 

p dx dy dz i

dz

r ∂

 

x

⋅ ⋅ ⋅

p dy dz i r

x i

dx

dy

r y

j r

r r

r r

= + + = − ∇

Definiamo il vettore intensità del campo R X i Y

j Z k (gz ) .

Supponiamo di scrivere gli equilibri delle forze che agiscono su di un elemento di

ρ

= ⋅ ⋅ ⋅

massa m dx dy dz lungo le direzioni x,y,z, si ottiene:

∂

 

p

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

dx dy dz X p dy dz p dx dy dz A dx dy dz

∂ x

 

x

∂

 

p

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

dx dy dz Y p dx dz p dy dx dz A dx dy dz

 

∂ y

 

y

∂

 

p

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

 

dx dy dz Z p dx dy p dz dx dy A dx dy dz

∂ z

 

z

∂

p

ρ ρ

⋅ − = ⋅

X A

∂ x

x

∂ r

r r

p

ρ ρ ρ

⋅ − = ⋅ ⋅ − = ∇

Y A R A p

=> si ottiene ( )

∂ y

y

∂

p

ρ ρ

= ⋅

⋅ −

Z A

∂ z

z

Si ottiene quindi: r

r

r r r

r r r r p A

ρ ρ ρ γ ρ ∇ + = −

⋅ − ∇ − = ∇ ∇ + = − ∇ + = − ( z )

gz A p gz p A z p A

( ( ) ) => ( ) => ( ) => γ g

NB: La derivata euleriana:

Definiamo il vettore velocità nel seguente modo:

r r

=

V V ( x , y , z , t ) r r

r r r r r

dx dy dz

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ k

V u i v j w k i j

dt dt dt

Definiamo la derivata euleriana in tal modo:

r r r r

⋅ ∂

r D

V d V V V

= = +

A dove s è il vettore che indica la direzione della traiettoria.

∂

Dt dt s r r r r

 

∂ ∂ ∂

r r r r

d

V dx V dy V dz V

= + + +

 

A V V V

Esplicitando si ottiene:  

∂ ∂ ∂

dt ds x ds y ds z

 

Dove chiamiamo u,v,w le proiezioni della velocità lungo i tre assi:

r dx =

V u

ds

r dy = v

V ds

r dz = w

V ds r r r r

 

∂ ∂ ∂

r d

V V V V

= + + +

 

A u v w

 

∂ ∂ ∂

dt x y z

 

r

d V derivata locale

Il primo termine è la esprime l’accelerazione dovuta a una variazione di

dt

velocità nel tempo ed è non nullo solo se la velocità è varia nel tempo.

r r r

 

∂ ∂ ∂

V V V

+ +

 

u v w l’accelerazione convettiva

Il secondo termine è che tiene conto della

 

∂ ∂ ∂

x y z

 

variazione spaziali di velocità (cioè la velocità è cambiata perché è cambiata la posizione della

particella).

NB: Il piano osculatore:

Consideriamo il piano oscuratore, tg ad ogni punto della traiettoria di una particella di fluido

soggetta ad accelerazione. Su questo piano giace sempre l’accelerazione della particella che è

inoltre possibile scomporre lungo tre direzioni ortogonali tra loro:

x Piano osculatore n b s

y

z

Le componenti sono:

r = comp normale alla traiettoria

n

r = comp tangenziale alla traiettoria

s

r =

b comp ortogonale al piano oscuratore

= raggio del piano oscuratore

r r

r 2

u Du

r r

= ⋅ + +

A b n

Normalmente si scompone l’accelerazione lungo di esse: 0 s

r Dt

Proviamo ora a scomporre la relazione trovata lungo le componenti del piano osculatore:

∂ p p

+ = + =

z =>

- ( ) 0 z h se mi muovo lungo b, per un fluido in movimento l’andamento

γ γ

∂

b

della pressione è lo stesso di un fluido statico. Pertanto il piano dei carichi idrostatici relativi è

costante.

∂ ∂     B

2 2 2

p u p u p p u

∫

+ = − + = + − + =

   

A B

z z

( ) ( )

- => => se mi muovo lungo

z z

   

γ γ γ γ

∂ ∂ A B

   

n gr r gr gr

A

n, per un fluido in movimento il piano dei carichi idrostatici relativi è costante solo se la curvatura

1 è nulla, cioè la condotta è perfettamente rettilinea.

r La piezometrica è La piezometrica non

costante è costante

L’andamento della pressione è

lineare e i piezometri segnano la L’andamento della

stessa quota pressione non è lineare e

i piezometri non

segnano la stessa quota

∂ p 1 Du

+ = −

( z ) => usando la derivata euleriana di velocità si ottiene:

- γ

∂

s g Dt ∂

∂ ∂ ∂

  2

p u 1 du

p 1 u u + + = −

+ = − +

  ( z )

=>

( z ) u γ

γ ∂

∂ ∂ ∂

  s 2 g g dt

s g t s

supponendo di essere in moto permanente, cioè che la velocità non varia rispetto al tempo, si

2

p u

+ + =

z H

ottiene: γ 2 g

NB: H è costante solo per una particella, per due o più particelle questa relazione non vale!!!

Il termine di Bernoulli da anche una rappresentazione dell’energia della particella dove:

- z esprime l’energia potenziale

γ

- p / esprime l’energia legata alla pressione

2

u / 2 g esprime l’energia cinetica

- Linea dei carichi totali

2

u A

2 g 2

Piezometrica u B 2

u

2 g C

g

2

p A

γ p B

Traiettoria γ p

z C

A γ

z B z C

z = 0 La relazione finora ricavata vale per una singola

particella di fluido. Cerchiamo ora di estenderla a un

Ω dQ volume finito (cioè ad una corrente di fluido):

dQ è la portata infinitesima associata a una singola

Ω .

particella che attraversa la superficie

Si definisce la potenza della portata di una singola

particella rispetto alla superficie attraversata:

2 2

p u p u

γ γ

∫

= + + = + +

dW ( z ) dQ W ( z ) dQ

=>

γ γ

2 g 2 g

Q

Supponiamo che le traiettorie siano ortogonali alla sezione, rettilinee e parallele tra loro, di modo

∂ ∂

2

p u p

+ = − + =

( z )

che: => ( z ) 0

γ γ

∂ ∂

n gr n 3

u

∫ Ω

d

 

    3

2 3 2 g

p u p u p Q u

γ γ γ γ γ γ

∫ ∫ ∫

= + + = + + Ω = + + =

Ω

      m

W z dQ dQ z Q d z Q

     

γ γ γ ⋅ Ω 3

     

2 g 2 g 2 g

u u

Ω m

Q Q m

2 g

3 3

u u

∫ Ω γ

∫ Ω

d d

 

   

2 2 2

2 g

p u p u p u 2 g

α

γ γ γ γ α γ α

  =

+ + = + + = + +

Ω

   

m m m dove

z Q Q Q z Q Q z

 

   

γ γ γ 3

3  

  2 g 2 g 2 g u

u   γ Ω

Ω m

m 2 g

2 g

α

Tanto più si avvicina a 1 tanto più il fluido dispone di una distribuzione di velocità costante:

α α

= = Moto turbolento

2 1

u u

m m

α

NB: = Potenza cinetica effettiva della corrente diviso la potenza cinetica di una corrente di ugual

portata ma con velocità costante nella sezione.

α=1

Nel moto uniforme turbolento α=2

Nel moto uniforme laminare per condotti a sezione circolare α=3

Nel moto uniforme laminare per condotti a sezione rettangolare infinitamente larga

Adesso si vuole estendere l’equazione di Navier-Stockes a un volume finito di fluido:

r

r r

ρ ⋅ − = &na