Meccanica dei fluidi - Elementi di idrostatica

2 ANALISI DIMENSIONALE E MODELLAZIONE

5

Nel Sistema Internazionale di Unità di Misura (SI) sono definite 7 grandezze fondamentali: Ogni grandezza

fisica e la relativa unità di misura è combinazione di due o più grandezze fisiche e la relativa unità di misura di

base o il reciproco di una di esse. Tutte le unità sono definibili misurando fenomeni naturali, con l'eccezione

del chilogrammo. Inoltre il chilogrammo è l'unica unità di misura di base contenente un prefisso: il grammo è

un'unità di misura troppo "piccola" per la maggior parte delle applicazioni.

Simbolo della

Grandezza fisica Nome dell'unità SI Simbolo dell'unità SI

grandezza fisica

Intensità di corrente elettrica ampere

,

Intensità luminosa candela

Lunghezza metro

Massa chilogrammo

Quantità di sostanza mole

Temperatura termodinamica kelvin

Intervallo di tempo secondo

Secondo un approccio coerente con il SI, come si può notare i simboli sono lettere minuscole o maiuscole, e

andrebbero mantenute tali, in quanto ad esempio una lunghezza indicata con la lettera maiuscola L

interferirebbe con la grandezza derivata induttanza; in ogni caso, dal momento che le grandezze derivate

verranno utilizzate in minima parte, per comodità di lettura si possono assumere simboli alfabetici maiuscoli

per le grandezze fondamentali succitate, ad eccezione al più della quantità di materia, e indicando il tempo

.

con la lettera greca Detto questo, per quanto ci riguarda, prendendo in considerazione le quattro grandezze

, , ,

fondamentali più usate, vale a dire la lunghezza il tempo la massa e la temperatura si possono

distinguere, in base a quante grandezze entrano in gioco, quattro diversi

Tipi di problemi

lunghezza L geometrico cinematico

tempo T dinamico termodinamico

massa M

temperatura θ

Per effettuare una misura in un problema puramente geometrico (), ad esempio esplicitare le dimensioni di

un tavolo, le procedure di misurazione consistono in poche parole nel confrontare una misura standard, ad

esempio il metro, con l’oggetto da misurare, cosicché le dimensioni del tavolo varranno un multiplo reale

positivo della misura standard.

5 https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura

9 ).

Esempio 2.1 Poniamoci ora in un problema cinematico reale, descritto da due grandezze fondamentali (,

ℎ

Una pallina viene lanciata verso l’alto con velocità iniziale , e si vuole determinare quale sia l’altezza che

0 .

raggiunge, rispetto al punto di partenza, prima di iniziare a scendere sotto l’effetto della forza di gravità

( , , ℎ) = 0

Il problema può essere descritto come una funzione definita su tre variabili, il che risulta

0 ∗ ()

= 0,

operativamente scomodo; l’obiettivo è dunque riscrivere questa funzione come combinando cioè

,

le tre variabili in modo tale da ottenere un numero adimensionale parametro [-].

Sappiamo che:

−1 −2

∶ [ ] ∶ [ ] ℎ ∶ []

0

quindi fissato h al numeratore in un ipotetico rapporto, si avrà:

1

[ ]

ℎ []

= = =

0 −1 −2 − −2

[ ] [ ] [ ] [ ]

∗ ∗ ∗

da cui si deve risolvere un sistema che annulli gli esponenti nel rapporto:

: 1 − − = 0

: − − 2 = 0 = 2 = −1,

da cui si ricava facilmente e giungendo quindi alla conclusione:

ℎ ℎ

= = 2

2

0

0

∗ ()

= 0 = ,

Quindi se nella sappiamo che allora:

02

ℎ

= = → ℎ =

02

Dove è una costante numerica determinabile sperimentalmente, o analiticamente come segue, grazie

1 02

= = ℎ

all’equilibrio fra l’energia cinetica nel punto iniziale e l’energia potenziale nel punto di

2

massima altezza: 02

1 1

02

= ℎ → ℎ =

2 2

Da questo esempio pratico si giunge al

Teorema di Buckingham

( )

= , , , … , = 0

Data una funzione definita su variabili, in un problema descritto da grandezze

1 2 3 ∗ ( )

= , , , … , = 0

fondamentali, si può riscrivere in termini di gruppi adimensionali come 1 2 3

= − .

considerando

È facile verificare che il teorema vale per l’esempio 2.1. ,

Esempio 2.2 Si supponga ora di avere una condotta a sezione tonda, di diametro che presenti una superficie

∶ [], .

interna irregolare, la cui rugosità è definita da nella quale scorra un fluido a velocità Si vuole

determinare la tensione tangenziale lungo le pareti della condotta, esprimibile come:

= (, , , , )

10

Il fenomeno complessivo si può dunque esprimere come una nuova funzione:

̂( , , , , , ) = 0

che è definita su 6 variabili, esprimibili in funzione delle grandezze fondamentali come segue:

−2 −1 −1 −1

∶ [ ] ∶ [] ∶ [ ]

−1 −3

∶ [] ∶ [ ] ∶ [ ]

dove le prime tre (in rosso) vanno espresse mediante combinazione delle rimanenti, scelte arbitrariamente

ma in maniera ragionata in modo da semplificare i calcoli, nelle quali compaiono tutte le grandezze considerate

, . = 6, = 3 → = 3

nel sistema, cioè la lunghezza il tempo e la massa Infatti per il Teorema di

Buckingham. Dunque, seguendo i procedimenti adottati nell’esempio 2.1: =1

[] []

0 0 0 = 0

[ ]

= = = = → → =

{

1 1

−1 −3 − −3

[] [ ] [ ] [ ][ ][ ] =0

e allo stesso modo:

=

2 2

=

3

A questo punto, dall’esempio appena concluso si possono estrapolare alcune interessanti relazioni; 1

corrisponde alla(1)

Scabrezza relativa

=

è il reciproco del

3

Numero di Reynolds

= =

e è il reciproco quadrato del

2

Coefficiente di Chezy

ℎ = ∗

dove il termine al denominatore è la

Velocità di attrito ∗ τ

= √

∗

11

̃(,

ℎ = ),

È noto sperimentalmente che, essendo per valori elevati del numero di Reynolds, in particolare

maggiori di 1000, il moto del fluido è turbolento pienamente sviluppato, e il coefficiente di Chezy risulta

3

≫ 1, > 10 ℎ = ().

dipendente dalla sola scabrezza relativa, cioè se allora Viceversa, se il numero

ℎ = ().

di Reynolds risulta piccolo, il moto sarà laminare e

Ora, tenendo conto del coefficiente di Chezy nella forma corrispondente a : (1)

2

1

=

2 2

ℎ

la formula (35) del capitolo 1 si può riscrivere come: (2)

1 3

= 3 =

2 2

e ricordando la formula del numero di Reynolds si avrà: (3)

1 3

=

2

ℎ

dove tra l’altro si riconosce il

Parametro di Darcy-Weisbach 1

= 2

ℎ

12

Qualora sia necessario analizzare il comportamento di una struttura di grandi dimensioni o in condizioni

difficilmente riproducibili in scala reale all’interno di laboratori, può risultare utile ricorrere alla creazione di

Modelli in scala

Affinché i risultati degli esperimenti condotti su un modello in scala ( ) rispecchino determinate

caratteristiche del prototipo reale () è necessario adottare una similitudine in modo che i valori adimensionali

associati ai due casi rimangano costanti. Ad esempio si può utilizzare il numero di Reynolds, applicato ad un

fenomeno riprodotto in scala con gli stessi materiali e fluidi del prototipo, ricavando: (4)

() ()

() () () ()

= → = → = → =

() ()

() ()

Allo stesso modo si potrebbe considerare anche un’altra grandezza adimensionale, che governa il

comportamento di un moto a superficie libera, il

Numero di Froude

= √

da cui si potrebbe analogamente ricavare la relazione: (5)

()

= √

() () () ,

o ancora si potrebbe sfruttare il concetto di scabrezza relativa e così via. 80 ,

Esempio 2.3 Si consideri adesso un fiume (prototipo), largo da sponda a sponda e si pensi di doverlo

0.8 , 80 .

riprodurre in laboratorio in scala 1:100: il modello in scala ridotta sarà dunque largo cioè Allo

1 , 1 .

stesso modo, se il fiume è profondo il modello dovrà essere profondo Considerando la scabrezza

, 3 ,

relativa se i sedimenti sul letto del fiume hanno dimensioni ipotetiche di nel modello tale valore sarà

0.03 , 300.

scalato a cioè Si consideri che risulta difficile riprodurre sedimenti silicei (vale a dire della

100 .

stessa natura di quelli che si trovano sul letto del fiume) di dimensioni inferiori ai La velocità della

1 / 0.1 /

corrente pari a nel prototipo, scalata attraverso il numero di Foude, varrà nel modello. A

questo punto di dovrebbe valutare la corretta similitudine fra i due sistemi attraverso il numero di Reynolds,

3 3 −3 6

= 10 / = 10 /, = 10

ma se si svolgono i calcoli, con e si osserverà che , mentre

()

3

= 10 ; ciò significa che mentre il fluido nel prototipo si trova in una situazione di turbolenza piena,

()

quello nel modello in scala è soltanto nella zona trans