Meccanica dei Fluidi - Cinematica e Dinamica

Lez. 5

martedì 17 novembre 2020   16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Cinematica dei fluidi:

1. definizione di velocità e accelerazione.
2. approcci lagrangiano ed euleriano.
3. Rappresentazione grafica del campo di moto:
   1. Traiettorie.
   2. Linee di corrente.
   3. Linee di fumo.
4. tipi di moto
   1. Vario.
   2. Permanente.
   3. Uniforme.
5. equazione di continuità nelle forme:
   1. Indefinita.
   2. Globale.
   3. per correnti.

CINEMATICA

DEFINIZIONI

Def. VELOCITÀ: r¯ = r¯ + v¯dt + w∇t

Def. ACCELERAZIONE: ā = dν̄/dt

applico la REGOLA DI DERIVAZIONE EULERIANA

...

... ACCELERAZIONE LOCALE

... ACCELERAZIONE CONVETTIVA

1. PUNTI DI VISTA / APPROCCI LAGRANGIANO & EULERIANO

PUNTI DI VISTA / APPROCCI LAGRANGIANO & EULERIANO

Considero una regione di spazio in cui c’è un fluido che si muove. Tante particelle che si muovono con dipendenza del tempo e dello spazio.

1. LAGRANGIANO: Legato alla particella.
2. EULERIANO: Legato ai punti.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL CAMPO DI MOTO

1. TRAETTORIE: Luogo dei punti occupati da una particella nel tempo.
2. LINEE DI CORRENTE: Linee che punto per punto sono tangenti alle velocità.
3. LINEE DI FUMO: Fissata una “sorgente”, sono linee che uniscono i punti che rappresentano particelle che sono passate per quella sorgente.

Queste rappresentazioni coincidono in caso di MOTO PERMANENTE.

TIPI DI MOTO

Considero: ^α

1. MOTO VARIO: esiste acc. locale (∃ dipendenza di tempo).
2. MOTO PERMANENTE (o STAZIONARIO): nessuna dipendenza di tempo.
3. MOTO UNIFORME: La velocità non dipende dallo spazio.Esempio: Moto in condotta.

Casi particolari:

• Se moto stazionario → ∫_A ρ &vec;v . &vec;m dA = 0 ⇔ φ m = cost
• Se inoltre fluido incomprimibile → ∫_A &vec;v . &vec;m dA = 0 ⇔ φ Q = cost

III) Forma per correnti

Def. corrente: Flusso organizzato in cui posso individuare una direzione preferenziale di provenienza.

Def. tubo di flusso: Regione di spazio compresa tra due linee di corrente.

Nel tubo il fluido entra ed esce solo dalla faccia che delimitano la porzione di tubo perché perpendicolari alla velocità.

Sotto ipotesi di fluido e fluido deformabile e utilizzando l'ascissa curvilinea (λ):

m_u - m_r = ρQΔt - &left[ (ρQφ) &frac{Δρ}{Δt} &right] &frac{Δφ}{Δλ} &frac{Δρ}{Δt} &frac{Δd}{Δλ} m_u

Equazione di continuità per correnti

Casi particolari:

• Se moto stazionario → &frac{Δ(ρQ)}{Δλ} = 0
• Mentre se fluido incomprimibile → &frac{Δφ}{Δd} = -ω.
• Se solo fluido incomprimibile → &frac{Δφ}{Δt} = &frac{Δd}{Δλ} = ω

Attenzione!!

L’equazione di continuità è l’1º in 4 linguette

→ non può risolvere le moto di un fluido da sola

m ∫_b^a-∂p∂ζz_ξ-νr = ζr d^¯m

b ∫_b^a-∂p∂ζz_ζ = ζr

applicando l'ipotesi di FLUIDO INCOMPRIMIBILE

m 1_b = (z_f + ν2R²) = 0

z_f R→∞ (traiettorie strette) m: 1_b (z_f + pf_ω) = 0

z_f ≠ Cost e non dipende dalle direzioni m e b: Se prende una reione

trasversale in queste condizioni la DISTRIBUZIONE DELLE PRESSIONI E

IDROSTATICA.

A differenza della legge di Stevino non ho più come riferimento

il P.C.I. ma L.P.

Dimostrazione:

In questo caso la distribuzione delle pressioni non è di tipo idrostatico: lungo il contorno P^* = P_atm o P = 0 e sperimentalmente è verificato che anche i punti all’interno possiedono la stessa pressione.

Questo accade perché:

1. Considero una colonna di fluido

1) Si considera uno strato (Δz) della colonna

2. Considero le forze che agiscono sullo strato ed effettuo l’equilibrio alla traslazione:

A (P + ρ * γ * Δz + γ * A * Δz = PA) → ∂P/∂z + γ = 0

3. Questo strato non può cadere perché “sorretto” dalle forze che il fluido sottostante esercita a sua volta sorrette dalla reazione vincolare che esercita il fondo.

Se considero uno strato dz ≤ alla sezione contratta:

Lo strato considerato non è più sostenuto da altro fluido ma mantiene la sua quota perché esiste un equilibrio alla traslazione lungo l’asse verticale → ∃ F_in = dm * g = ρ * g * A * dz = γ * A * dz

Applico Bernoulli alla traiettoria bidimensionale:

⟹ z_A + P_a + V_A²/2g = z_B + P_a + V_B²/2g

V_B = √2g (z_a + P_a/g - 2P) dove z_a + P_a/g = H

1 = √2g h_b h_b = profondamento rispetto al pelo libero

PRINCIPALI PERDITE LOCALIZZATE:

• IMBOCCO ➔ λ = 0.5 ^V2/_2g
• SBOCCO ➔ λ = ^V2/_2g

BRUSCO ALLARGAMENTO ➔ λ = ^{(V_out - V_in)2}/_2g

V_out

V_in

V_out ⇒ V_out < V_in ⋆ A₂ > A₁ & Q = V A = C

DIVERGENTE (O DIFFUSORE) ➔ λ = ^m/_2g (V_in - V_out)² + 5λ

V_out

V_in

Avendo una lunghezza n considero anche le perdite distribuite.Se iniziare alle sbocca bisogna considerare anche le perdite allo sbocco realizzato con V_out.

POMPE E TURBINE ➔ "λ" = ΔH (prevalenza)

V_P = γQΔH_P; V_E = γQΔH_T^MP

ΔH_P ➔ sottratto alle perditeΔH_P ➔ sommatore alle perdite.

⇒ H_B = H_a - 5L - Imbocco - Isbocco

≅ considerato A e B punti sulle restine a peli liberi si rebottoieH_B = z_B + ^P/_γ = z_A (vale)

H_B = z_A + ^P/_γ = z_A (monte)

z_B = z_A - 5L - Imbocco - Isbocco

⇒

Lez. 10

martedì 17 novembre 2020 16:22

ARGOMENTI LEZIONI:

Determinazione della cadende (J):

1. Moto in condotta:
   1. Moto turbolento:
      • formula di Darcy-Weisbach.
      • Formule empiriche (λ).
   2. Moto laminare.
2. Abaco di moody.
3. Substrato limite viscoso.

=> Da Eq. di continuità:

• Q = cost
• oltre D = cost => V = Q_π

=> D & Q costanti anche S è costante (Pendenza L.C.T. costante)

=> L.P // L.C.T.

Sappiamo che :

• J_s = -^∂H/_∂s
  • già candidando le considerazioni fatte: V²_g = cost
• -∂/∂s(z + p) = z = cost & ρ = cost
• 1/ρ ∂p/∂s

Integro su un tratto di lunghezza finita L => ∫L=ΔP/⟨em>L => J_s = ΔP_L

La relazione appena trovata mi permette di ricavare S poiché hoequazione e delle QUANTITÀ MISURABILI.