Meccanica dei Fluidi - Appunti

Meccanica dei fluidi (introduzione) - Principio di conservazione della massa

La meccanica dei fluidi è governata da una serie di principi. Il primo che analizziamo è il principio di conservazione della massa. Consideriamo un sistema fisso X e il nostro volume di fluido:

Tale volume non sta fermo, ma si muove e può subire delle deformazioni. Tuttavia, tale volume verrà detto volume materiale in quanto è sempre formato dello stesso numero di particelle. Vogliamo calcolare la massa. Per farlo, calcoliamo la massa di un volumentto:

dT = ρdV dove ρ = densità di massa. La massa totale sarà uguale a:

∫ dt = ∫ ρdV

In particolare, modo il principio di conservazione della massa ci dice che:

d_derivata /dt_totale∫ ρdV = 0

Tale derivata è quella materiale, la variazione della massa è uguale a zero rispetto ad un osservatore che si muove col fluido (eogergonico). Dalla teoria eogergonica tuttavia è importante passare a un sistema euleriano. Per far questo utilizziamo il teorema del traposto. Integriamo:

d/dt ∫_V ρdV = ∫_cV ρv. ds

dove V è il volume di controllo attraverso cui senso del flusso di massa: il numero di particelle in tal volume varia ( il numero di particelle totale rimane lo stesso): tale volume di controllo è fisso nello spazio. Superfice S è la superfice di controllo dell'ultimo integrale e da il valore del flusso lungo la superfice di controllo.

Perche il volume di controllo è fisso non dipentende del tempo possiamo portare la derivata temporale dentro l'integrale:

d/dt ∫_V ρdV + ∫_V ρ v.n ds = 0

Cerchiamo di analizzare meglio il terzo integrale. In particolare vediamo come la superfice può essere divisa in 2 parti:

• S dove v.n > 0 (flusso in uscita)
• S_i dove v.n < 0 (flusso in entrata)

Quindi appneddiamo che:

∫_v (dρ/dt + ρ) ds + ∫_v (ρ v.n) ds = 0

Meccanica dei fluidi (Introduzione) - Principio della quantità di moto

Tale legge può anche essere scritta come:

∂t ∫Ẻ Qₑ - Qᵢ = 0

Dove Qₑ e Qᵢ sono la portata in uscita e in ingresso.

Sempre il principio di conservazione della massa possiamo scriverlo anche in forma differenziale.

Riprendiamo lo scrittore integrale:

∂t ∫ Ẻ PdV + ∫ p*v dS = 0

Portiamo nuovamente la derivata dentro e sfruttando il teorema della divergenza trasformando l’integrale di superficie in volume:

∫ ∂t dV + ∫ V₀ ∂ρ/∂t dV = 0

Dove ∇ è l’operatore “Nabla” che è definito come: ∇ = [∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z]

Sommiamo i due integrali ed otteniamo:

∂ρ/∂t + ∇ ⋅ ∫p*dV = 0

Può essere uguale a zero è necessario che la funzione integranda sia 0:

∂ρ/∂t + ∫ρ*v dV = 0

Svolgendo la divergenza otteniamo:

∂ρ/∂t + ∫ V⋅∇ρ = 0

Meccanica dei fluidi (Introduzione) - Principio della quantità di moto

Ci accorgiamo che ( - ) è la derivata material:

DP/DT + ρ∇⋅=0

Il secondo principio che richiamiamo è quello della quantità di moto

Conosciamo la 2ª legge di Newton cioè E=F=ma. Tale principio non è altro che la legge di Newton espresso per i fluido. Per questo sostituiamo a mo:

E=∂/∂t [mv]

Riuniamo quindi ora ciò che abbiamo scritto per corpi rigidi reattorialde ad un fluido (defromabile). Rendiamo un fluido e una piccola massa dM=ρdV. Calcoliamo la quantità di moto che accr: ∂t ∫ ρvdV=∫F

Ovviamente sulla massa piccola che ho scelto agirasun delle forze. Sicuramente ciara la forza di gravità (volume). Oltre ad esse giaranno anche delle forse da superficie delle tensian (τ). Sulla superficie vi sono delle tensioni. Per cui la variazione di quantità di moto a causa di forze di volume e di superficie.

I Fluidi

I fluidi comprendono corpi che si trovano allo stato liquido o gassoso. Sappiamo che un solido è un corpo che mantiene, a livello macroscopico, una propria forma e volume; invece il liquido è un corpo che mantiene il proprio volume ma non mantiene la propria forma. Un liquido si adatta al contenitore in cui si trova. Un gas invece non mantiene né forma né volume, la differenza con il corpo rigido è fondamentale.

Quando vogliamo studiare il moto di una macchina, lo studiamo usando le equazioni di moto:

_R^→=m_a^→

_M^→=I_w^→ m=costante

Per un fluido tali equazioni devono essere corrette adattate per i fluidi. Infatti, per i fluidi è impossibile seguire un corpo di massa m. Per lo studio dei fluidi si può usare quindi, osservazione = (in cui seguire un corpo di massa m nel suo moto), a adottare un sistema euleriano in cui quindi sto fermo e osservo ciò che avviene.

Proprio per questo cambiamento di sistema devo modificare le equazioni, introdurre il Teorema del trasporto di trasporti e le equazioni del sistema euleriano.

Le equazioni vengono quindi modificate ed otteniamo le equazioni annunciate nell'introduzione.

Riguardo tali equazioni è importante conoscere che la prima equazione è quella di continuità per lo nuovo e scalare; le altre due sono vettoriali. Tuttavia di tutte le equazioni è importante conoscere sia la forma integrale che differeniale.

Sempre riguardo i fluidi abbiamo definito il peso specifico e la densità.

Per cui possiamo scrivere

Questa prende il nome di equazione definita della statica.

In forma integrale può essere scritta come:

Nella statica si può scrivere:

• dove sono le risultanti della forza di massa e superficiale.

In forma integrale dove:

Prendiamo ora un sistema di riferimento cartesiano. Deduciamo che il vettore è la forza di gravità.

Reazioni

Reazioni come si legge è lungo i 3 assi cartesiani:

dove la forza è estesa solo lungo l'asse z. Analizziamo l'equazione lungo l'asse z ed otteniamo:

• Sostituendo a:

Integrando ed ottenendo costante di pressione circa spostandoci verso il basso.

Detto questo, riprendiamo

In particolare modo è una forza conservativa, per cui può essere scritta come gradiente di dare è un potenziale.

Reazioni queste equazioni lungo z:

Da questo otteniamo che è costante. Questo passaggio ci permette di modificare le ()

• Raggruppiamo:

Quindi costante.

Ricordiamo che è una lunghezza.

Per capire prendiamo il caso di un serbatoio contenente acqua. Per definire il carico piezometrico dobbiamo definire un sistema di riferimento.

• Poniamo il livello di riferimento.
• Il carico piezometrico in è 0:

Legge di Stevin (in particolare la pressione in è costante quando )

dove = peso specifico liquido

Analogamente la pressione in sarà uguale ad

Adesso, date le unità di pressione, dobbiamo calcolare la risultante della pressione.

Quando prendiamo un recipiente e decidiamo di mettiamo una superficie con un'inclinazione α. Si deforma sotto la spinta e interseca tra il PCP e il arco della superficie.

Se prendiamo un elemento dS della superficie, esso avrà un approfondimento dx pressione dovuto al CLS valiacione p.

dF = p(x_i, y_i) dS

Quindi la forza infinitezza sarà: dF = PdS.

Quindi sostituendo nella pressione df = γxdS

Assolutamente questa è la forza infinitezza, quindi per calcolare la forza totale F:

F = ∫ dF = ∫ γx dS = ∫γ dS = γ∫dS

Quando osserviamo F: S_yy = ∫ x sin α

Dove I_x è il momento statica.

La forza area f = limitate M_hz: S = y*o: p dS

Quando la forza hz agisce sulla superficie è proporzionale al prodotto tra la pressione gente nel baricentro e l'area della superficie.

L'ottimo di una forza dobbiamo definire anche la direzione ed il punto di applicazione su due direzioni e quella ortogonale ad S ed il suo verso coincide alle pressione nel punto di applicazione e su il teorema di Huygen. Cioè il momento della risultante è uguale alla risultante del momento. Sappiamo che dF = pdS

s_yv = ∫∫ dtn = xm_y

M_hz

Quando scriviamo M_x, p_c = ∫L dtn - ∫ n. PdS = ∫ n dS = ∫ n_ddS.

scrivxxdx

Quando abbiamo trovato che η_c = I_xx

Il momento di un'area, con il teorema di Huygen lo posso calcolare rispetto ad un asse posizbe per il baricentro. M, I_g, y = M_hz - p_dz

Questa è la prima coordinata del centro di spinta, il centro di spinta quindi è sempre in basso del baricentro

Adesso calciamo l'altra coordinata equilibriamo in momento rispetto all'asse M η _c yl.

Το= rest

x_c = ∫ L dtn: S ^-f 8 dS = M ∆ 8S v _{ad / s} 8

Riscrivi il momento descrivente un nucleo rispetto ad un asse di simmetria. In particolare modo stiamo nuclea che la porzione del centro di spinta verso una base sola varia cerca di χ