Meccanica dei fluidi

MECCANICA DEI FLUIDI

Fluido considerato come un sistema continuo

Non considero la distribuzione discreta di atomi/molecole

\[\rho (x,t) = \rho (x,y,z,t) = \frac{dm}{dV}\]

Forze in un fluido

• Forze di volume, proporzionali a dV
• Forze di superficie, proporzionali a dS

Si eserciano sulla superficie e contiamo dFm e dFE

• Spostamenti reciproci:
  • Fn: \( \frac{dFm}{dS} \) = pressione
  • Ft: \( \frac{dFE}{dS} \)

Effetto alla viscocità

Pressione

In un fluido in quiete Fn gli elementi sono ortogonali alla superficie di separazione e alternativamente dal movimento

Il valore della pressione in un punto del fluido non dipende da l'orientazione di dS → P è grandezza scalare

Lavoro della forza di pressione

Superficie dS a cui è applicata una forza dF si sposta di dr

dW = dF . dr = pdSdr = pdV → \[W = \int pdV\]

Il lavoro provoca una variazione di volume

Equilibrio statico

Le forze si equilibrano

1. Forza di volume: \[dFE = \rho d\omega = \rho_{z}\rho dV\]
2. Forze di superficie: \[dF = \frac{S}{z}\]

\[dF_{z} = \rho(t) dS - \rho(z + dz) dS\]

\[1 - \left(\rho \cdot \frac{\partial z}{z} - \rho(z) \right) dS = 1 - \frac{\partial \rho}{2} \frac{dz \cdot dS}{z}\]

\[\left(1 - \frac{\partial P}{\partial z}\right) dV\]

MECCANICA DEI FLUIDI

Fluido considerato come un sistema continuo

Non considero la distribuzione discreta di atomi/molécole

densità ρ (x, t) = ρ (x, y, z, t) =

dm / dV

Forze in un fluido

• Forze di volume proporzionali a dV es. forza peso
• Forze di superficie proporzionali a dS

Si esprimono sulla superficie e contiamo

dFm e dFe

Spostando il ragionamento:

pn = dfm / dS = pressione

τe = df / dS legata alla viscosità

Celefies

In un fluido in quiete tutti gli elementi sono ortogonali alle superficie di separazione, altrimenti c’è spostamento.

Il valore della pressione in un punto del fluido non dipende da orientamento di dS —> P è grandezza scalare

Lavoro della forza di pressione

Superficie dS a cui è applicata una forza dF si sposta di dr

dW = dF . dr = pdS . dr = pdV —>

Ws = ∫ pdV

Se lavoro provoca una variazione di volume

Equilibrio statico

Le forze in equilibrio

• Forza di volume dEf = ρ dV = fz p dV
• 2 forze di superficie: dFs

dEs = ρ(x, t) dS - ρ(z + dz) dS

1 - (ρ (z + dz) - ρ(z)) dS

1 - _ρ / _z dz dS

1 ^{- ∂P} / ∂z ∂V

Ho equilibrio

∂P/∂z = ρg

∂P/∂x = ρfx

∂P/∂y = ρfy

∂P/∂z = ρfz

Condizione di equilibrio statico

Caso della forza peso:

f_z = g (a₀ − g)

∂P/∂x = −ρg

Se F_o demista è costante

z₁ = (z₂ − z₁)

Legge di Stevino

P₁ = P₂ + ρg (z₂ − z₁)

P₂ + ρg (z₂ − z₁)

P_x = cost → superfici equipotenziali

Principio di Pascal

Una variazione di pressione esterna indegno a una variazione uguale di pressione indotto ie fluido

ΔP_e = ρ (P_z) − ρ_xg

Barometro di Torricelli

Patm = ρg h

h = 0.76 m

1.01 · 10⁵ Pa

Altro esempio: tubo a U

P₁ − P₂ + ρg h

h = (P₁ − P₂)/ρg

Principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del volume di fluido spostato

F_v = F_b - mg_f = F_R = 0 → F_P = -mg_f

Sostituendo alla massa m_f una massa m_i di ugual volume m_i - ρ_fV

F_P non vince

mg - F_P = F_t = mg - mg_f (m_i - m_f = ∫(g)(1-ρ) Vg)

risultante dipende da ρ _i = ρ

Attrito interno, viscosità

Fluido in movimento

Forza di attrito interno:

• direzione tangenziale
• senso contrario alla velocità relativa

F - (ci opponiamo sempre al moto)

F = η S Δv / Δr

[η] = kg/m.s

viscosità del fluido

area di contatto

γ_s = F / S = η Δr / Δr = η Δv / Δy

Moto di un fluido:

Linee di corrente: traiettorie descritte dagli elementi di un fluido

velocità tangente alla linea di corrente

Tubo di flusso:

maggiore densità delle linee di corrente

maggiore velocità

Fluido perfetto:

Se la viscosità (η) è nulla ed è incomprimibile

ρ costante

ogni sua porzione mantiene lo stesso volume indipendentemente dalle pressioni che si esercitano su di esso

Nei fluidi reali

(con viscosità) per velocità più grandi di una certa velocità critica si entra in un regime turbolento che porta alla formazione di vortici.

Per velocità più basse della velocità critica, i vari filetti di fluido scorrono contemporaneamente la loro traiettoria, e procedono in un regime di impermeabilità gel in rapporto agli altri, anche in presenza di ostacoli che frenammo rapidamente.

Regime laminare (impermeabilità totale in un fluido perfetto)

Regime stazionario: velocità costanti, siccome il fluido non cambia nel tempo.

Il passaggio da regime laminare a turbolento è dovuto alla velocità, in un fluido perfetto esiste un regime laminare.

Fluido ideale

(incomprimibile e μ = 0)

p(x,t) tal. impermeabilità tra tubi di flusso

Δm₁ = ρ ΔV

Δm₁ = ρ A₁ Δx₁ Δt

Δm₂ = ρ A₂ Δx₂ Δt

Δm₁ = Δm₂

∮A₁ Δx₁ = ∮A₂ Δx₂

equazione di continuità

Rv = A v

portata volumica ^[m³/s]

portata di massa [Kg/s]

Rm = ρ Rv

portata di massa ^[Kg/s]

La portata volumica è costante nel tempo

Consequenza:

Se A₂ < A₁ → Δⱼ? > A₁ v₁ = A₂ v₂

Teorema di Bernoulli

Relazione tra velocità e pressione nel fluido nelle diverse sezioni

Applicazione del teorema dell'energia cinetica

Per l'equazione di continuità: dv₁ di v₂ dv₀

Forze agenti + forze passive -d

d(W) = d(EP) - d(mg) (z₂ - z₁)

= -ρd v g (z₂ - z₁)

• Forze di pressione (forze di pressione delle parti meno gravose riconole) Δm

perpendicolare allo spostamento

dWP₁ = ∮ F̅ · ΩS = ∮ (F̅, dS) = -P₁ S dS z P₁ dS z₂ z :

1(P₁ - P₂) dv̅

Non ho forze di viscosità perché fluido ideale

aderenti alle pareti

Variazione di energia cinetica:

• dE_k1 ≠ dAlm1_z1
• dE_k2 = dAlm1_z2 - λ/2 • ρdV (v²₂-v²₁)

dW₁ + dW₂ = p₁p₂dV(-s₂-z₁) + (p₁-p₂)dV

• p₁ + 1/2 ρv² + ρgz₁ = p₂ + 1/2 ρv² + ρgz₂

• p + 1/2 ρv² + ρgz = costante

Estensione della conservazione dell'energia meccanica

• energia cinetica
• densità di energia cinetica
• densità di energia potenziale

Se v = 0

• pressione

p₁ = p₂ - ρg(z₂-z₁)

• Legge di Stevin

Se il tubo è orizzontale

• ΔA₁ = ΔA₂
• Legge di continuità
• A₁v₁ = A₂v₂

z₁ = z₂

• p₁ + 1/2 ρ v² = cost

Effetto di Bernoulli

v₁ < v₂ --> p₂ < p₁

In corrispondenza di una strozzatura v aumenta ma p diminuisce

Applicazioni:

• Tubo di Flurostato:
• Tubo di Pitot

Tubo a sezione costante --> v costante

p₁-ρgz₁ = p₂-ρgz₂

• Pressione potabile

p₁-ρgh = p₂

• Potenziale

Teorema di Torricelli:

p₁ + 1/2 ρv² + ρgz₁ = (p₁ + 1/2 ρv² + ρgz₁)_sup

∀(A)_sup(∀ A)passo

Lo scorrio superficiale libero

A --> a A(up arrow) --> V (down arrow) --> Passo tenendo V rispetto Cl =

v = √(2gh)

FORZE DI RESISTENZA VISCOSA

L'effluido esercita una forza di attrito viscous RR = I R I = (Aη + Bρ v²) v² (base ridotta non troppo elevata)R = |R| = Aη + Bρ v²A, B, coefficienti che dipendono dalla forma e dalle dimensioni del corpo e dal tipo di fluido  f ρη[ A  m B  αρ] R = Aη + B ρ v²

• due termini paragonabile se Aη = Bρ v²
• v_α^* مقا v_α^2A B regŲimea phạm ταšina
• vnv_α^*(^B Bپnn)·l·lynç
regónime turbaleũto

Legge di Stokes:  spegno in regiozo laminaľا&erasers;

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