Meccanica dei fluidi

Meccanica dei fluidi

I liquidi e i gas non sono continui ma formati da elementi molto piccoli e distanti fra loro.

Dal punto di vista meccanico, è utile schematizzarli come corpi continui e costanti (si sta prendendo un volume di gas o liquido).

Particella fluida: deve essere sufficientemente grande perché contiene un grande numero di molecole ed elimina le discontinuità ma abbastanza piccola da essere considerata puntiforme.

Ad un fluido in equilibrio può essere partita una parte di fluido con un sistema di forze che mantenga l'equilibrio.

lim (d\vec{T}/dA) = \vec{f} sforzo

Lo sforzo non è univocamente definito, ma dipende dalla giacitura (posizione della superficie dA) descritta da un vettore normale alla superficie dA.

lim (d\vec{t}/dA) = \vec{\phi}

La \phi_nn (pressione) è + entrante.

Tetraedro di Cauchy

R = 0

\phi = \phi_x cos nx + \phi_y cos ny + \phi_z cos nz

\phi_nx = \phi_xx \ \ \ \ \ \ \ \phi_yx \ \ \ \ \ \ \ \phi_zx

\phi_ny = \phi_xy \ \ \ \ \ \ \ \phi_yy \ \ \ \ \ \ \ \phi_zy

\phi_nz = \phi_xz \ \ \ \ \ \ \ \phi_yz \ \ \ \ \ \ \ \phi_zz

M = 0 in f simmetrico (\phi_ij = \phi_ji)

Per la simmetria si può esprimere il tensore in funzione di σ (normale) e τ (tangenziale)

∣6x τyz τzx∣∣τxy 6y τxy∣∣τxz τyz 6z∣

Inoltre da nove componenti si è passati a 6

σ = 6x + 6y + 6z = cost → ρ = _{6x + 6y + 6z}/³ Pressione

3 direzioni principali: direzioni lungo le quali τ = 0.

Si conclude che il fluido ideale ha un comportamento isotropo scelto in punti il valore 6x + 6y + 6z = cost indipendentemente dalla terna scelta.

N.B.: in un fluido in quiete τ = 0 quindi un fluido reale in quiete si comporta come un fluido ideale.

PROPRIETÀ DEI FLUIDI

Densità: ρ = _m/^V [Kg/m³] → Peso specifico: γ = g_lρ [N/m³]

Comprimibilità: variazione del volume di fluido al variare della pressione

dW = -₁/^ε W dp, ε = [Pa]

p₀dW = costp₀W + Wdp = 0

_dW/^W = -_dp/^ρ

_dW/^W = - _dp/^ε, → dρ/ρ = dp/ε

Ricordando che in statica R = 0.

ρF = ^∂⁄_∂xi + ^∂⁄_∂yj + ^∂⁄_∂zk = quad ρ

eq. indefinita equilibrio statico

Si può passare alla forma globale integrando

∫_w ρF dw = ∫_w quad ρ dw

G = ∫_A ρn dA

G + Π = 0 eq. globale equilibrio statico

Globalmente Σ_iG_i + Σ_i Π_i = 0.

Statica dei fluidi pesanti incomprimibili

Ora si esprime

F = -q quad z - qk

Sostituendo poppa

-qρ quadz = quad ρ

grad z = ¹⁄_γ quad ρ

Se γ(ρ) costante => LIQUIDI

- grad z = grad ^ρ⁄_γ

grad (z + ^ρ⁄_γ) = 0 => z + ^ρ⁄_γ = cost.

Legge di Stevino

La z è detta quota geodetica e deve essere riferita rispetto ad uno scelto riferimento.

La ^ρ⁄_γ è detta altezza piezometrica.

Le termine z + ^ρ⁄_γ è detto quota piezometrica.

CALCOLO DELLE SPINTE

Spinta su Superficie piana

Le spinte elementari dS esercitate dal liquido su ogni elemento infinitesimo valgono

dS = p_n dA = ∫_A h γ n dA

Nasce quindi una spinta complessiva diretta normalmente alla superficie di modulo

S = ∫_A ρ dA = ∫_A γ h dA

La retta di intersezione del PCI col piano della superficie premuta è detta retta di sponda.

S = ∫_A γ h dA = ∫_A γ x p_n dA = γ p_n ∫_A x dA = γ p_n x₀ A = ρ₀ A

Il modulo della spinta è dato dal prodotto della pressione nel baricentro con l’area della superficie.

𝛡 + 𝘗_x + 𝘼_AB = 0

𝘘_x = -𝘗_x = -𝛡 + 𝘼_AB

|𝛡| = W . 𝛀

|𝘼_AB| = AB . L . 𝛄 . h

Nel caso dei gas si può trascurare il termine 𝛡

|𝘼_i| = AB . L . ρ

𝘘_x = -𝘗_x = 𝘼_i

Formula di Mariotte: dimensionamento e verifica di tubazioni

ρD d𝑕 = 26𝑔g d

𝑔 = ρD / 26

𝜎_lim = ρD / 2g

La superficie di controllo può essere suddivisa in tre parti:

• A_u v_n = 0 ⇒ ∫_Au v_n dA = 0
• A_e v_n > 0 ⇒ ∫_Ae v_n dA = Q_e
• A_u v_n < 0 ⇒ ∫_Au v_n dA = -Q_u

L'equazione globale di continuità si può riscrivere come

∫_A v_n dA - ∫_Ae v_n dA + ∫_Au v_n dA = Q_e - Q_u = 0

Nella pratica è comodo applicare questi ragionamenti alle correnti, direzioni privilegiate dalle traiettorie delle particelle di fluido.

Se il moto è permanentemente corrente = tubo di flusso.

• A = sezione trasversale della corrente
• Nella per. iniziale entra massa ρQ dt
• Nella per. finale esce [ρA + ∂(ρQ)/∂λ dλ] dt

È presente un pezzo di massa che deve essere equilibrato da

+ ∂(ρA)/∂t dλ dt

⇒ (∂Q/∂λ) + (∂(ρA)/∂t) = 0

Se ρ = cost ⇒ ∂Q/∂λ + ∂A/∂t = 0

Grazie alla regola di derivazione euleriana

dν/dt + ∂ν/∂t + ∂ν/∂n dn/dt = ∂ν/∂t + l/2 ∂ν²/∂s

(z + P/γ) × ∂/∂s = 1/g ∂ν/∂t * 1/g ∂ν²/2 ∂s

∂/∂s (z + P/γ + ν²/2g) = -1/γ ∂ν/∂t

Per hp l - 1/g ∂ν/∂t = 0 → ∂/∂s (z + P/γ + ν²/2g) = 0

Detti H carico totale, z quota geodetica, P/γ altezza piezometrica

e ν²/2g altezza cinetica, si esprime il teorema di Bernoulli

z + P/γ + ν²/2g = H = cost

cioè nel moto permanente di un fluido perfetto pesante e

incomprimibile il carico totale si mantiene costante.

Quando un libro luce, venturimetro, tubo di Pitot

Stampo n° 37

Equazioni di Navier-Stokes

Lo stato di sforzo di un elemento è definito dalle 3 comp. tang. e da 3 comp. normali che prese singolarmente assumono valori differenti, ma la loro somma è invariante.

=> ogni elemento di fluido sarà soggetto a una pressione p che vale

p = G_x + G_y + G_z

Lo stato di sforzo può quindi essere considerato come la sovrapposizione di due parti; una dovuta agli sforzi normali (idrostatica) (caso fluido perfetto) e una dovuta alla viscosità (μ ≠ 0) (deviatore degli sforzi) (caso fluido reale). Procediamo con lo scomporre il tensore degli sforzi.

• Tensore degli sforzi
• Componente idrostatica
• Deviatore degli sforzi

Ricordiamo la relazione di Newton, che lega la variazione di velocità (normale o singolare) alla comparsa di uno sforzo tangenziale.

G_y = -μ ^du/_dz = μ dΓ/dt

Considero un elementino di fluido, siano u, v, w le componenti della velocità del vettore (O, x, y, z). Invece le comp. di vel. del vertice A sono

u + du/dx ; u + du/dx dx ; u + du/dx (velocità)