Meccanica dei Fluidi

Teorema di Cauchy

Dato un fluido, in quiete o in movimento, è possibile conoscere lo sforzo in un punto rispetto a qualsiasi giacitura, purché si conoscano gli sforzi nello stesso punto su tre piani ortogonali tra loro.

Definizione della faccia ABC

La faccia ABC ha versore normale m, definito dagli angoli ottusi m_x, m_y, m_z. Faccia ABC = dA m = m_xi + m_yj + m_zk = cosθx i + cosθy j + cosθz k.

Equilibrio e proiezioni degli sforzi

ΣT_m + ΣF_s = dω²x²∅_{mdA = ∅xdAcosiˆ + ∅ydAcosjˆ + ∅zdAcosk}∅_m = ∅_mx + ∅_my + ∅_mz c.v.d.

Proiezioni degli sforzi:

• ∅_x = ∅_xxiˆ + ∅_xyjˆ + ∅_xzk
• ∅_y = ∅_yxiˆ + ∅_yyjˆ + ∅_yzk
• ∅_z = ∅_zxi + ∅_zyjˆ + ∅_zzk

∅_mx = ∅_xxm_x + ∅_yxm_y + ∅_zxm_z

∅_my = ∅_xym_x + ∅_yym_y + ∅_zym_z

∅_mz = ∅_xzm_x + ∅_yzm_y + ∅_zzm_z

Tensore degli sforzi

Φ̅ =

Equilibrio rotazione: ∅_ij = ∅_ji ⇒ Φ̅ =

Fluido isotropo

∅_i ⊥ τ_ij π_zx∅_x ⊥ l²gx

Φ̅:

• ∅_xx = ∅_xx
• ∅_xy
• ∅_ij ⊥ ∅_ij

Φ̅ = ∅_mx = ∅_xxm_x

∅_my = ∅_yym_y

∅_iz ∅_zyk∅_m = m_xiˆ + m_yjˆ + m_zk (scomposto nelle componenti x, y, z)∅_m = ∅_mcosi + ∅_mcosj + ∅_mcosk =Φ̅ = ∅_m ι + ∅_mjˆ + ∅_mk

Teorema di Cauchy - Ripetizione

Dato un fluido, in quiete o in movimento, è possibile conoscere lo sforzo in un punto rispetto a qualsiasi giacitura, purché si conoscano gli sforzi nello stesso punto su tre piani ortogonali tra loro.

La faccia ABC ha versore normale m, definito da angoli ottenuti m_i, m_j, m_k. Faccia ABC = dA m = m_xi + m_yj + m_zk = cos m_ii + cos m_jj + cos m_kk.

Equilibrio e proiezioni degli sforzi - Ripetizione

ΣT_m + ΣF_s = dv_a ggdV + φ_x dAx + φ_y dAy + φ_z dAz + φ̅_mdA = gδv_aφ̅_m dA = -Φ̅_x dA cos m_i + -Φ̅_y dA cos m_j + Φ̅_z dA cos m_kΦ_m = Φ_mx + Φ_my + Φ_mzc.v.d.

Proiezioni degli sforzi:

• Φ̅_i = [ Φ_xx i + Φ_xy j + Φ_xz k ]
• Φ̅_j = [ Φ_yx i + Φ_yy j + Φ_yz k ]
• Φ̅_z = [ Φ_zx i + Φ_zy j + Φ_zz k ]

Φ_mx = Φ_xx m_x + Φ_yx m_y + Φ_zx m_z

Φ_my = Φ_xy m_x + Φ_yy m_y + Φ_zy m_z

Φ_mz = Φ_xz m_x + Φ_yz m_y + Φ_zz m_z

Tensore degli sforzi - Ripetizione

Φ̅ =

Equilibrio rotazione: Φ̅_ij = Φ̅_ji

Fluido isotropo: Φ̅_x = [ Φ_xy ]