Dimostrazioni di Meccanica dei fluidi

Meccanica dei Fluidi

Teorema di Cauchy:

Nello studio dei sistemi continui valgono due tipi di forze:

• Forze di massa: comprendono tutte le forze esterne che si esercitano a distanza su tutte le particelle del sistema, es. forza gravitò. → F_g dW (forza del campo grav. infinitesima)
• Forze di superficie: comprendono tutte le forze che vengono esercitate su una parte qualunque del sistema continuo attraverso la sua superficie di contorno.

Vedi fig.: generico volume di fluido W in cond. di equ., sotto l'azione di forze di massa e di superficie. Immaginiamo di dividere il W in due parti mediante una superficie A e di mantenere le cond. di equ.

Si def. lo sforzo unitario Φ = dΠ/dA → dΠ = ΦdA

OSS: lo sforzo Φ ammette componenti normali e tangenziali. La comp. normale può essere di trazione o compressione ma la maggior parte dei fluidi non sopporta la trazione quindi, avendo solo compressione, conviene ammettere il versore n in modo che la F_n risulti sempre positiva.

Si consideri il tetraedro elementare: le tre facce nel vertice sono orientate //ai tre piani coordinati mentre la faccia ABC ha versore normale n, def. da angoli ^MX_x, ^My_y, ^Mz_z con le direz. dei 3 assi.

Meccanica dei Fluidi

Teorema di Cauchy

Nello studio dei sistemi continui valgono due tipi di forze:

• Forze di massa: comprendono tutte le forze esterne che si esercitano a distanza su tutte le particelle del sistema, es. forza gravità → F pdW (presa del campo grav. infinitesima)
• Forze di superficie: comprendono tutte le forze che vengono esercitate su una parte qualunque del sistema continuo altra verso la sua superficie di contorno.

Vedi fig.: generico volume di fluido W in cond. di equ. sotto l’azione di forze di massa e di superficie. Immaginiamo di dividere il W in due parti mediante una superficie A e di mantenere le cond. di equ.

Si dif. lo sforzo unitario Φ = dΓ/dA ⇒ dΓ = Φ&dA

Oss: lo sforzo Φ ammette componenti normali e tangenziali. La comp. normale può essere di trazione e compressione ma la maggior parte dei fluidi non sopporta la trazione quindi, avendo solo compressione, conviene annullare il versore n in modo che la P_n risulti sempre positiva.

Si consideri il tetraedro elementare: le tre facce nel vertice sono orientate // ai tre piani coordinati mentre la faccia ABC ha versore normale n_A, dif. da angoli, θttoni M^x M^y M^z con le direz. dei 3 assi.

Siano _x, _y, _z e _n gli sforzi agenti sulle facce e dA la faccia obliqua; le quinte risultano:

-_x dA cos ̂x ; -_y dA cos ̂y ; -_z dA cos ̂z e _n dA

quindi si applica la I equ. cardinale della statica:

∫ dω + d_x + d_y + d_z + d _n = 0

∫ dω + _x d + _y d + _z d + _n dA = 0

∩ infiniti^III ordine ⇒ MISURABILE!

quindi : _n = _x cos ̂_x + _y cos ̂_y + _z cos ̂_z

secondo il quale lo sforzo agente in un punto su un elemento di superficie giacitura è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti, nel punto stesso, su tre giaciture fra di loro ortogonali.

Ora si considerano le proiezioni degli sforzi:

_x = ̂_x + ̂_y + ̂_z

_y = ̂_x + ̂_y +