Dimostrazioni di Meccanica dei fluidi

Meccanica dei Fluidi

Teorema di Cauchy

Nello studio dei sistemi continui valgono due tipi di forze:

• Forze di massa: comprendono tutte le forze esterne che si esercitano a distanza su tutte le particelle del sistema, es. forza gravitò: F^*pdW (forza del campo grav. infinitesimo)
• Forze di superficie: comprendono tutte le forze che vengono esercitate su una parte qualsiasi del sistema continuo attraverso la sua superficie di contorno.

Si dfl. lo sforzo unitario Φ = dF/dA → dF = ΦdA

OSS: lo sforzo Φ ammette componenti normali e tangenziali; la comp. normale può essere di trazione e compressione ma la maggior parte dei fluidi non sopportano la trazione quindi, avendo solo compressione, conviene annullare il versore n in modo che la σ_n risulti sempre positivo.

Si consideri il tetraedro elementare: le tre facce nel vertice sono orientate // ai tre piani coordinati mentre la faccia ABC ha versore normale m, dfl. da angoli α_x, α_y, α_z con le direz. dei 3 assi.

Siano  , ,  gli sforzi agenti nelle facce e dA la faccia obliqua, le quinte risultano:

-  dA cos mê ;  dA cos mŷ ; - dA cos mẑ e  dA

quindi si applica la equ. cardinale della statica:

∫ Ė dw + Ėx dîx + Ėy dîy + Ėz dîz + d Ėm = 0

∫ Ėdw + ϕ cos îx dA + ϕ cos îy dA + ϕ dA = 0

infin. ordine ⇒

quindi: =  cos mˆ +  cos mŷ +  cos mẑ

teorema del tetraedro di Cauchy

secondo il quale lo sforzo agente in un punto su un elemento di generica giacitura è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti, nel punto stesso, su tre giaciture fra di loro ortogonali.

Ora si considerano le proiezioni degli sforzi:

φ_x = φ_xx + φ_xy  + φ_x îx  φ_y = φ_yx  + φ_yy  + φ_yz îx  φ_z = φ_zx  + φ_zy  + φ_zz îx

riduco le incognite da ∞³ a 9:

quindi :

     = φ_xx cos îx + φ_yx cos îy + φ_zx cos îz     y = φ_xy cos îx + φ_yy cos îy + φ_zy cos îz      = φ_xz cos îx + φ_yz cos îy + φ_zz cos îz

⇒ tensore degli sforzi :

Φ

=

[ φ_xx φ_xy φ_xz φ_yx φ_yy φ_yz φ_zx φ_zy φ_zz ]

Equazione indefinita dell’idrostatica

Prendiamo un volume infinit. di fluido in quiete, di lati dx, dy, e dz. La seconda legge della dinamica vale:

∑ Fs_superficie + ρf_{forza di massa} dW = 0

Si distinguono le tre facce che hanno per normali i vettori î, ĵ, k̂ dalle tre che distano dx, dy, e dz aventi per normali i versi opposti -î, -ĵ e -k̂. Sulle tre facce con versi positivi le forze ha solo componente normale pari alla pressione p. Sulle altre tre la pressione si dett. con un’espressione di Taylor al I ord. Poiché le forze è pari a pressione per superficie allora la (1) > into:

ρ dY dz î + ( p + _∂p/_∂x dx ) dy dz (-î) + ρ dx dz ĵ + ( p + _∂p/_∂y dy ) dxdz (-ĵ) + ρ dxd z k̂ + ( p + _∂p/_d dz ) dxdy (-k̂) = - ρf dW

Semplificando per dW = dxdy dz la (2) diventa:

∇p = ρ f

con ∇p = _∂p/_∂xi î

equ. indefinita della statica

OSS:

• Se l’unica forza di volume presente è la forza peso (statica dei fluidi pesanti) allora ρf = -g ∇z ⇒ ∇p = -ρg ∇z
• L’equ. deve essere soddisfatta per ogni punto della massa in quiete; essa indica che la pressione cresce nel verso delle forze di massa.
• Le sup. equipotenziali sono anche di ugual pressione (isobare).
• Le sup. equipotenziali sono anche di ugual densità (isocore).

Integrando nell'intera superficie:

S_x = ∫ ρdA_x = δ h_yA_y ; S_y = ∫ ρdA_y = δ h_yA_y ; S_z = ∫ ρdA_z = δ.W

peso del volume di fluido nel vol. di controllo

S₀ = √(S_x² + S_y²)

Infine vale l'equazione globale dell'equilibrioStatico: G + P_to + G = O con ad es. G = P_to = -G - P_to

PRINCIPIO DI ARCHIMEDE :

Volume di controllo riempito del fluido γ in cui è immerso

Equazione globale: G + P_to = O

con G = P_to = -G con |G| = γ.W ⇒ G = -γW [PRINC. ARCHIMEDE]:

quindi la spinta è pari al volume spostato!

Sostituendo i termini, div:

\rho_a =\frac{\partial (\rho v)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho pv)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho pv v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho uv)}{\partial z} \int\end{math>

\int \rho V dA = -\frac{\partial }{\partial t}W \quad e \int\int \rho v W = p \iint(\overline{v}_m \\pdv \overline{v} )dA \quad con u_0 w \iint_\mathrm(V_m x + u v cos My + w cost \vec{n}_{\partial a})\end{p>

\math $ V_m : \text { comp. velocità in direz. normale } \\ alla \text { superficie }$ \end{p>

\Rightarrow v_{m_0} =\iint (\partial \sigma W) =\rho_v_0 = \frac{\partial }{\partial t}p \iint_v_a ,\math \quad a(Q_a) \math

v\iint_u \int_W$ \end{p>\int

\iint_{(\delta \overline{\outer a})} s F q W =0 \math (W)

\iint , aV U_0

\sigma \text { il } p J V(t) $ \text{prima}. $ \end{p>

Significato dei termini:

1. Risultante delle forze di massa (tipicamente peso del fluido)

   < \math G =\int F d W , \quad ! G ! = r : W ! \end{p>

2. Risultante degli sforzi che vengono esercitati sul fluido attraverso la superficie di contorno (\quad \text{questa})$ è uguale e contraria alla \quad alla \quad spinta \quad che \quad il \quad fluido \quad esercita \quad nella \quad superficie \quad A

   \math \mathrm{\Pi} \text { = } \math \iint A&\end{p>

3. Osservando che \math (pd_a = \overline{Q}), \math \text{ allora } , (\rho),\Pi_v_0 \iint ) dQ.\math \end{art>

   +--RIGHT! # M = d= \overline{bd O) \end{p>

   M \quad fare \quad considerata \quad \int bW \quad vT \math \end{pOND} \mathrm V v_0 v$> \quad Which p,& $ = \int \begin{This_line | \board\math place}