Meccanica dei Fluidi

Meccanica dei Fluidi

Introduzione:

Equ. cardinali statica:

Γ: ∑ F = R = 0   con F interne esterne

∑ M_i = M&Macr; = 0   con M&Macr; = b × F

Quantità di moto: m&Macr;

m&Macr; = ∑ m_i V_i

Momento della quantità di moto Γ¯

Γ¯ = ∑ p_i × m V_i

Teorema quantità di moto:

dm&Macr;/dt = R

Teorema Momento quant. moto:

dΓ¯/dt = M&Macr;

Energia cinetica: T = ∑ m_i V_i ²   (punto occial.)

Lavoro: dL = F&Macr; · dp_i

Campo conservativo → dL = dU , U = U(x, y, z)

(dip. da posizione)

(Teorema en. cinetica)

T - U = E cost (lecurno)

Forzo tensore:     I = mA

Risolo dinamico come statica (Eqn. come statica)

F + Σ = R ⁰

Campo scalare:     a = a (x, y, z, t)

Campo vettoriale:     a = a (x, y, z, t)

Campo tensorele:     a = a (x, y, z, t)

dove     a = a_xi + a_yj + a_zk

|a| = √  (a_x² + a_y² + a_z²)

ORDINE Tensore    M :     elementi      3^m

M = 0    →   scalare

M = 1    →   vettore         A =      a_xx a_xy a_xz a_yx a_yy a_yz a_zx a_zy a_zz

M = 2    →   9 elementi

Prodotto scalare :

vettore :   a . b = (a_x a_y a_z) (b_x b_y b_z)

                           = a_xb_x + b_ya_y + a_zb_z       (Scalare)

Riprendiamo:

Per ogni sup infinitesima agisce una forza di questo

Analizzo singolarmente considerando le forze che naturalmente

Utlizzo verso entrante

Applico equil card:

1. R = 0
2. M = 0

Analoga per x, z

Equilibrio possibile

Applico equ cord. I statica.

Pf_ddW + dI_x + dI_y + dI_z + dI_n = 0

Df SFORZO: φ =

• dI_n = φ_xdA_x

Proprietà dei fluidi :

• Densità (ρ), la sua costanza dip. delle condizioni di pressione e temperatura

ρ = lim_Δv→0 Δm/Δv

ρ = M/V [kg/m³]

N.B. ρ_H2O = 1000 Kg/m³ (4°C)

Osservazione: H2O ha ρ particolare: unica da tra 0-4°C dim. la ρ invece di aumentare. Infatti a 0°C: ρ = 999,8 Kg/m³, ρ⁴ = 999,9 Kg/m³

In generale ρ tra 700-13'600 Kg/m³ per liquidi

Per i gas: 0,3-3,5 Kg/m³ (posso trascurare ρ nomin)

ρ_aria.o° = 1,29 Kg/m³

• Pressione

[F/L²] = [N/m²] = [Pa]

dipende quota

pressione atm

p^* = 1 assoluta

p → relativa (anche -)

p^* verso linearmente com la quota.

quindi: p⁺ = p + pa^*

= (p + 101325) Pa

Def: Equazione di Newton

τ ∝ ∂ v / ∂ y τ = M ∂ v / ∂ y M (viscosità) [Pa · s]

con M = 10^-3 Pa · s

Fluide in movimento sviluppano sforzi tangenziali.

OSS: Equazione valida per fluidi Newtoniani (aria, acqua...) Rheologia per altri fluidi (dipendono dal tempo)

M = 0 → fluidi perfetti M = ∞ → plastici perfetti (solidi)

M = coeff. angolare

• Bingham → comp. solido fino a τ₀, poi lig (es. dentifricio)
• Pseudoplastici → tendono a fluire al crescere dello sforzo (es. tinte pareti)
• Dilatanti → es. sabbia premuta div. perde liquido

Sostanze Tissotropiche → dep. tempo nelle citazione (es. olio macchina)

Sost. Reopettiche → tendono diventare solide al passare tempo (es. cucina - meringa maionese)

Valida per mezzo continuo

Fluido incomprimibile

quindi se

definizione

piano carichi idrostatica

quindi:

quota

altezza piezometrica

quota piezometrica const in fluido

definizione

uso pressione relativa

con

quindi: h_aria = h₁ h_acqua = h₂

OSS: 0,4 ≤ f_ac ≤ 5700 ≤ f_eq ≤ 15.000

⇒ Plex ≠ 10³

h_aria ≈ 1000 hz

ma più elevato l'aria più sarà piccolo l'angolo inclinazione della retta (dep. del peso specifico):

ho quindi: una retta; considero pressione uniformequindi trovarono il peso (massa provoca l'aumento di pressione).

→ γ_gas ≠ 0

Trascurare peso specificodi gas per applicazioni "umane".

OSS: picometro nonversa la quota massimasecondo l’attacco.Arriverà un decremento di pressione!

Considero sistema: tubo area!

Uso orto tale X Y obliquo alla parete per tracciare ale c

Spinta clou servietata pela penetrazione

dΓ = ^M_B ρdA

ponte X come distanza tra palo llibero e particella

volvoo quindi dato h e inclinazione α:

h = xsenα

ρ = h:y = xsenα

quindi Γ_AB = ∫_A^{B M}_B xsenα ∙ δ bdx

⇒ Γ_AB = ∫₁^{dA M}_B xsenα dA

OSS: X_G = ∫_A x dA / A

= ^M_B senα

⇒ X_G senα = h_o, affondamento

p_o = γ h_o, pressione al besoanerto

24/10/14

G + Γ = 0

I = ∫ r̅ × ρ dA

Segue la quinta l.f. e applico l'equ. generale.

G̅ + Γ̅_y + Γ̅_x + Γ̅_z + Γ̅₀ = 0

Vale che: S̅ = - Γ̅₀.

S̅ = G̅ + Γ̅_y + Γ̅_x + Γ̅_z + Γ̅_2x

∑_x = Γ̅_1x + Γ̅_2x = 0

∑_y = Γ̅_y

∑_z = - G̅

Vale che: ρ