Meccanica dei continui e delle strutture

meccanica dei continui

ANALISI STATICA: MODELLO DI CONTINUO DI CAUCHY

• separazione dell'oggetto solido
• idealizzazione tramite modello semplificato
• definizione delle sollecitazioni esterne agenti
• definizione dei vincoli e delle reazioni che contrastano le azioni esterne

Ipotesi di Cauchy

lim (ΔF/ΔS) = σ_i ΔS→0 ΔS lim (ΔM/ΔS) = 0 ΔS→0 ΔS

Relazione di Cauchy

σ_ac = σ_c * ñ_a

Proprietà del tensore degli sforzi:

• Simmetria   σ_ij = σ_ji
• Cambiamento del sdr   σ_aα = σ_mn m_a,m m_α,n
• Coniugazione degli sforzi tangenziali   σ_αα = n_αm n_α,n σ
• Decomposizione dello stato di sforzo

Direzioni principali di sforzo e sforzi principali

σ_x = σ_na - [σ - S] ñ_a = 0   det[σ - S] = 0

INVARIANTI di σ

I₁^σ = σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃ = σ_ii I₂^σ = [σ₁₁σ₂₂ + σ₂₂σ₃₃ + σ₁₁σ₃₃] - [σ₁₂σ₂₁ + σ₁₃σ₃₁ + σ₂₃σ₃₂] I₃^σ = det σ = σ₁₁σ₂₂σ₃₃ + 2σ₁₂σ₂₃σ₃₁ - [σ₁₁σ₂₃² + σ₂₂σ₁₃² + σ₃₃σ₁₂²]

Stato di sforzo cartesiano:   S¹² = S²² = S³² Stato di sforzo cilindrico:   S¹² ^σ

Stato di sforzo sferico: s' = s₁ = s₂ = s₃

Condizioni principali

Stato di sforzo 3D e Arbelo di Mohr

σ_α = σn̂_α + τ_α

| s₁ 0 0 | | 0 s₂ 0 | | 0 0 s₃ |

H_p: s₃ ≥ s₂ ≥ s₁

τ_MAX = 1/2 MAX |s₁ - s₂|, |s₂ - s₃|, |s₃ - s₁|

Stato di sforzo piano (s₃ = 0) e cerchio di Mohr

| σ₁₁ τ₁₂ | | τ₂₁ σ₂₂ |

σ = σ_m ± R₀ + cos 2α + τ_m sen 2α

τ = -τ₁₂ cos 2α + σ₁₂ sen 2α

R = √[(σ₁₁ - σ_m)² + τ₁₂²]

τ_MAX = 1/2 MAX |σ₁ - σ₂|

C: C > 0 se USCENTI, C < 0 se ROTAZIONE ORARIA

Convenzioni

• Se S_i > 0 Trazione
• Se S_i < 0 Compressione

Relazione d'ordine fra gli angoli

S_α ad ogni angolo sotteso fra due giaciture nel piano fisico corrisponde un angolo doppio nel piano di Mohr

Equazioni di equilibrio indefinito

Il potenziale elastico w riconosce due contributi energetici:

ESISTE UN'UNICA SOLUZIONE PER IL PROBLEMA ELASTICO!

meccanica delle strutture: sistemi di travi

atto di moto rigido ADMR: campo vettoriale rototraslatorio che associa una velocità istantanea ad ogni punto del corpo rigido

centro di istantanea rotazione CIR

Un corpo rigido nel piano possiede in tutto 3 GDLUna struttura nel piano possiede in tutto 3n GDL

ANALISI CINEMATICA: studio dei possibili admr

• Individuare i gdl della struttura
• Individuare i gdv della struttura e sottrarli ai gdl dell’ insieme

Struttura ipostatica gdl>gdvStruttura iperstatica gdl<gdvStruttura isostatica gdl=g dv

• Analisi CIR: considerare i CIR assoluti e relativi delle singole travi e verificare che non siano allineati tra loro!

● Se coincidono in un unico CIR

● Se non sono allineati

Carichi esterni concentrati e distribuiti

n(x) e ρ(x)= intensità del carico distribuito

Se n(x)=m e ρ(x)=q, allora abbiamo carico uniforme

Vincoli esterni ed interni e reazioni vincolari

L'asse baricentrico si atteggia come un arco di parabola, e non come un arco di circonferenza, come suggerito dalla linearità di proposta dalla cinematica del problema di DSV, il che viene motivato dall'ipotesi di piccole deformazioni e piccoli spostamenti

Flessione retta: momento in direzione y

• cambio di segno: un momento positivo causa una curvatura negativa del solido
• soluzione esatta per un solido di DSV soggetto a momento flettente costante coincidente con l'asse y
• lo sforzo normale varia linearmente con la distanza z dall'asse neutro (z=0)
• massimo sforzo normale (in valore assoluto): fibra più lontana dall'asse neutro
• piano di flessione e piano di sollecitazione coincidenti
• asse neutro perpendicolare all'asse di sollecitazione

Flessione deviata

M_y = M sin α,    M_z = M cos α.

y e z assi principali di inerzia s.d.r. baricentrico Stato di sforzo monoassiale Compresenza di momenti flettenti uniformi e lineari, pertanto la soluzione si trova mediante il principio di sovrapposizione

σ_xx = - M_z / I_zz + M_y y / I_yy

y = M_y I_zz / M_z I_yy = tan θz

L'asse neutro non coincide con uno degli assi coordinati y o z. La sua equazione è:

direzione dell’asse neutro:

direzione del momento risultante:

tan θ = I_yy M_y / I_zz M_z

Presso-Flessione

Compresenza di azione assiali e momenti flettenti: vale il principio di sovrapposizione Sdr baricentrico y e z assi principali di inerzia

σ_xx = N / A + M_z y / I_zz + M_y z / I_yy

Limite elasticofrontiera entro la quale il materiale mantiene comportamento elastico lineare isotropo.

Solidi deformabili

Materiale fragile: il superamento della soglia elastica precede di poco la rottura improvvisa

Materiale duttile: oltre alla soglia elastica ammette deformazioni plastiche, che possono essere valutate modificando il legame costitutivo

OSSERVAZIONI

• a) limite di snervamento dei materiali duttili (in valore assoluto) pari a trazione e compressione
• b) Deformazioni plastiche (permanenti) avvengono a volume costante!
• c) la sezione resistente quando si avvicina l'evento critico si striziona trasversalmente

CONSEGUENZE

• a) il criterio deve essere simmetrico
• b) l'aggiunta di una pressione idrostatica p non altera il limite di snervamento: le deformazioni non dipendono dalla variazione di volume

Grandezza indice di pericolo GIP

metrica utilizzata per determinare la severità di un determinato stato di sforzo nei confronti della resistenza del materiale. Dipende dal tipo di materiale!

Criteri di resistenza

Criterio di Galileo-Rankie-Navier

GIP: Lo sforzo principale massimo

Criterio:

\(\sigma_c \leq s_i \leq \sigma_t \quad (i = 1,2,3)\)

Funziona bene per materiali che presensano una resistenza a trazione modesta rispetto alla resistenza a compressionePer materiali ugualmente resistenza ti a trazione e compressione, il criterio di Rankie considera ugualmente sicuri i due casi seguenti:

\(\sigma^+ \; \leq \; \sigma_c \; \leq \; \sigma_D\)

Il caso B sembrerebbe meno gravoso del caso A in quanto più vicino ad uno stato puramente idrostatico

\(\sigma_u\): Limite elastico del materiale

Criterio di Von Mieses

GIP: La energia di deformazione deviatorica

Criterio: