Appunti teoria Meccanica applicata alle macchine

Corpi e catene cinematiche

Definizioni:

• Elementi cinematici: Sono le superfici a contatto dei due corpi che interagiscono
• Coppia cinematica: È l'insieme dei due elementi
• Catena cinematica: Insieme di corpi interagenti mediante vincoli o coppie cinematiche. Possono essere "chiuse" o "aperte" se in presenza o meno di loop

Richiami di cinematica del corpo rigido

• Formula fondamentale dei corpi rigidi

Le velocità di due generici punti del corpo rigido "P" e "O" sono legate dalla formula fondamentale dei corpi rigidi:

_^vP = _^vO + _^ω ∧ (P-O)

Quindi, dato un corpo rigido in moto piano, con tale formula siamo in grado di conoscere la velocità di qualsiasi punto del corpo.

• Centro istantaneo di moto (o centro di istantanea rotazione)

Sia "C" il centro istantaneo di moto, istante per istante avremo

_^vC = 0

Tale punto nello spazio si trova sull’asse istantaneo di moto, ovvero quell'asse costituito dai punti del corpo rigido aventi velocità parallela alla velocità angolare.

• Istantaneamente ogni punto dell'asse può muoversi solo parallelamente all'asse stesso
• Pure caso rotolamento puro

Posso determinare il centro di istantanea rotazione sfrutto il Teorema di Chasles

"Noti due punti A e B e le loro velocità (parallele o non), intersecando le normali a tali velocità tracciate rispettivamente per A e B nell'intersecare trovo "C".

Siano gli spostamenti del punto esprimibili come: _P = _P + _P dove _P è lo spostamento assoluto del punto rispetto S.d.R. fisso, _P è quello relativo (del punto rispetto al S.d.R. mobile) e _P quello di trascinamento ( è lo spostamento del S.d.R. mobile rispetto a quello fisso).

Derivando l’_P sopra si ottiene: , ancora:

Si nota che compare il termine relativo all’accelerazione di Coriolis che si ha tutte le volte che il moto di trascinamento è di tipo ROTATORIO o ROTTOTRASLATORIO, dove '' è la velocità angolare del S.d.R mobile rispetto a quello fisso.

Esempio di calcolo: MANOVELLISMO DI SPINTA

Voglio determinare la velocità di “B”

• Da avanti abbiamo visto, in convenzione, la velocità del battente di manovella è rappresentata dal vettore .
• La velocità di “B” è incognita ma ne conosciamo la direzione: in quanto il pistone (numero 3) scorre orizzontalmente rispetto al telaio. IN CONVENZIONE sarà quindi verticale.
• La velocità relativa di “B” rispetto ad “A”, che indichiamo con è incognita, ma la sua direzione è nota. Infatti il moto relativo tra due punti di un corpo rigido è un moto di rotazione e quindi, in convenzione, è diretta come il segmento BA.

Posso quindi tracciare il triangolo di velocità:

Supponendo di voler calcolare la velocità di un qualsiasi punto “P” del corpo mobile solidale alla biella (corpo 2)

L’equazione che esprime _P in funzione di ha troppe incognite e non può essere risolta:

Infatti la direzione di non è nota!

RENDIMENTI

Il concetto di rendimento lo si può definire a partire del principio di conservazione dell'energia:

dU = δQ - δL ma considerando δQ = 0 dU = -δL

Sia dU la variazione di energia del sistema, di questa si consideri solo l'energia cinetica T segue:

dT = -δL dove δL è l'energia uscente del sistema sotto forma di lavoro.

Posso vedere il δL come composto da vari lavori:

-δL = δLm - δLr - δLp

• dove: δLm è il lavoro motore entrante nella macchina
• δLr è il lavoro resistente utile compiuto dalla macchina
• δLp è il lavoro uscente associato alle perdite.

Sia quindi dT = δLm - δLr - δLp e integrando su un intervallo di tempo Δt si ottiene: ΔT = Lm - Lr - Lp

Si studia il moto delle macchine a regime e si può distinguere:

• Regime ASSOLUTO (ΔT = 0)
• Regime PERIODICO (l'energia cinetica ha un certo periodo : ΔT = T(tf) - T(ti))

Di conseguenza in condizioni di regime (periodico o assoluto) si può scrivere

Lm = Lr + Lp (ΔT=0). (Lm = Lr = Lmo in assenza di perdite)

Posso quindi definire il RENDIMENTO a regime:

γ = Lr / Lmo = Lm / Lm e 1-γ = Lp / Lm = è la perdita di rendimento

Ovviamente γ dovrà soddisfare le condizioni 0 ≤ γ ≤ 1 dove nel caso γ = 1 si avrà moto ideale (Lp = 0)

Per quanto riguarda il rendimento delle macchine in SERIE: η = Lrn / Le

dove Le è il lavoro elettrico in ingresso

γ = γ1 · γ2 · ... · γn = (Le · 2μ)

Prendendo in considerazione una "fettina" del volume consumato di dimensioni dx · b · l₀(x) ed applicando Reye:

• Sia "S" lo spostamento relativo:

dL = μ_eP(x) b dx,

• Il volume asportato è:

dV = b l₀(x) dx

Quindi, secondo Reye dL ∝ dV ➔ μ_eP(x) b dx ∝ b l₀(x) dx.

Da queste si scrive:

P(x) = C l₀(x) = C l₀ (1 + _uX/^a) = C₁(1 + u_X/^a)

dove u e C₁ sono costanti da determinare (si è espresso la proporzionalità tra pressioni di contatto (lavoro) e altezza (volume asport.) tramite le due costanti da determinare).

Per ricavare "u" e "C₁" si deve imporre l'equilibrio alle traslazione lungo "y" e alla rotazione attorno a "z".

Sia la forza matricie diretta lungo x sul piano XZ (H_z = 0) allora:

• Trasl. su y ➔ - Q + ∫₀^aP(x) b dx = 0
• Rotaz. su z ➔ - QX₀ + ∫₀^aP(x) b x dx = 0

Sostituendo P(x) = C₁(1 + u_X/^a) e svolgendo ottengo :

• Trasl. su y ➔ Q = a b C₁(1 + u/²)
• Rotaz. su z ➔ QX₀ = a² b C₁(¹/₂ + u/³)

Dividendo membro a membro :

X₀ = Q( ^{3 + 2u}/_{2 + u} ) ➔ X₀ + u X₀/² = a/² + u a/³

Da queste ricavo "u" ➔ ^{6X₀ - 3a}/_{2a - 3X0}

Sostituendo x in una delle prime due equazioni ottengo:

r(−φ_e(t) + arctg( ¹/_e l₂(φ_e(t))) )sin[arctg( ¹/_e l₂(φ_e(t)))]+e+l₂(φ_e(t))

È un equazione univoca che per ogni φ_e(t) mi rende una funzione f(x(φ_e(t)))⇒ l(φ_e(t))=f(φ_e(t))

Sono ricavabili anche le derivate della legge di moto della puntina.

Problema cinematico inverso:

Lo scopo è quello di trovare la funzione della camma (r(t)) una volta note la legge di moto della puntina l₂(φ_e(t)), la legge di moto della sognola φ_e(t) e la forma della puntina.

Si ha sempre il punto di contatto in coordinate:

• 1 r(x)cos(φ_e(t) + γ)
• 2 r(t)sin(φ_e(t) + γ)
• 3 0

^e/_e+l2(φe(t))=

Divido membro a membro la seconda per la prima e ricavo “γ”.Quindi elevo al quadrato e sommo le prime due equazioni:

r(x)² = e² + (e + l₂(φ_e(t)))²

Ho così risolto il problema inverso.

3) CAMMA - BILANCIERE

La camma 1 rotando a velocità angolare costante impone al bilanciere 2 un moto di rotazione alternato.

Problema cinematico diretto:

Lo scopo è quello di trovare le leggi di moto del bilanciere φ₂(t), r(t), W(t) note il moto della bilanciere d di δ, φ_e e φ₂.

Il punto di contatto sarà in coordinate:

• 1 r(x)cos(φ₂(t) + γ)
• 2 r(t)sin(φ₂(t) + γ)
• 3 0

Divido membro a membro le prime due equazioni, il risultato lo elevo al quadrato e poi lo sommo, ottengo due espressioni diverse di “l” in funzione di δ, φ_e e φ₂. Uguagliando queste ottengo un’equazione implicita che una volta risolta per ogni valore di φ₁ e φ₂ permette di determinare δ(φ₁, φ₂).